VI MANTIK ÇALIŞTAYI KİTABI

çıkarımın aksiyomlar arasında olmaması gerekliliği üzerinedir. Bu ilke tutarlılık
ilkesi gibi mantıksal bir zorunluluk içermese de dizgenin basitliği ve kesinliği
için önemlidir. Biçimsel bir dizgede bir aksiyom diğer aksiyomlardan çıkarsanabilir
olmamalıdır, aksi tekdirde aksiyomumuz bir aksiyom değil önerme
olurdu. Bir aksiyomun bağımsızlığı olmayana ergi yöntemiyle gösterilebilirdir.
Bu yönteme göre aksiyomun değillemesi alınır ve diğer aksiyomlarla birleştirilir,
çıkan sonuçların tutarlı olup olmadığı değerlendirilir ve sonuçlar tutarlı
ise aksiyomun bağımsız olduğu gösterilmiş olur. 33 Eğer sonuçlar tutarsız ise
aksiyom diğerlerine bağımlıdır ve seçtiğimiz aksiyom bir aksiyom değil önerme
olarak kabul edilir. Örneğin uzun yıllar Eukleides’in 5. postulatının bir postulat
değil önerme olduğu düşünülmüştür. Paralel postulatı da denen bu postulatın
diğer aksiyom ve postulatlardan çıkarılabileceği yani diğer aksiyomlara bağımlı
olduğu gösterilememişse de bu çalışmalar Eukleidesçi olmayan geometrilerin
ortaya çıkmasını sağlamıştır.
Kaynaklar
Barker, Stephan F., Matematik Felsefesi, Çev. Yücel Dursun, İstanbul, İmge
Kitabevi Yayınları, 2004.
Boyer, Carl B., Matematiğin Tarihi, Çev. Saadet Bağcacı, İstanbul, Doruk
Yayınları, 2015.
Bozkurt, Nejat, Bilimler Tarihi ve Felsefesi, İstanbul, Morpa Kültür Yayınları,
2004.
Cooke, Roger, The History of Mathematics: A Brief Course, New York, Wiley-
Interscience, 2005.
Health, T. L., History of Greek Mathematics, Oxford, The Clarendon Press,
1921.
Jones, Alexander, “GreekMathemathicsto AD 300”, History & Philosophy
of the Mathematical Sciences, Baltimore ve Londra, The John Hopkins
University Press, 1994.
Nagel, Ernest –
kurulabileceğini düşünüyorlardı. Bu kanı 1931’de Gödel ile yıkılmıştır diyebiliriz. Gödel’in
ispatladığı iki teorem bize, çok basit sistemler dışında hiçbir dizgenin hem tutarlı aynı
zamanda da tam olamayacağını göstermiştir. Hatta bir sistemin tutarlı olup olmadığını, o
sistemin içinde kalarak yani dışarıdan bir öğe eklemeden gösterilemeyeceğini kanıtlamıştır.
Böylece Gödel’in biçimsel aksiyomatikleştirme çabalarına bir darbe indirdiği söylenebilir.
Çalışmamız özelinde ise, bu kırılma noktasının Gödel sonrasında, modası geçmiş gibi
görünen Kantçı düşünceyi tekrar canlandırdığını söyleyebiliriz. Öyle ki matematiği
tamamen içeriksiz formel yapıya büründürme çabasının başarısızlığı, sistemin içinde başka
yapılar olduğu düşüncesinin önünü açmıştır. Gödel’in bu ispatları için bkz. Ernest Nagel –
James R. Newman, Gödel Kanıtlaması, çev. Bülent Gözkan, Boğaziçi Üniversitesi Yayınları,
İstanbul, 2008.
33 Yıldırım, Matematiksel Düşünme, s. 112.
298