Differentialligninger - Matematik og naturfag i verdensklasse

Hvordan opstiller man modeller?
Hvordan opstiller man modeller?
Efter at have set så mange modeller kan vi begynde at danne os nogle generelle ideer om, hvordan
man opstiller differentialligningsmodeller.
Den første afledede kan tolkes som noget med hastighed. Så når vi opstiller differentialligningen
udtrykker vi, at vi ved noget om hastigheden hvormed noget ”stof” udvikler sig. Dette abstrakte begreb
”stof” kan være mange ting. Vi har foreløbig set på en population og mængden af et eller andet
kemisk stof i en tank.
Først og fremmest gælder det altså om at fokusere på, at vi skal have fat i nogle ”strømme”. Det er
ofte frugtbart at tænke på at holde styr på hastigheden hvormed noget strømmer ind og hastigheden
hvormed noget strømmer ud.
Det hjælper at tegne en lille skitse, hvor man starter med en kasse, som udgør det ”stof”, modellen
skal sige noget om. Hvis det skal være fint kalder man det et ”kompartment” og modellerne for
”kompartmentmodeller”. Man kan så sætte tilløb og udløb på denne kasse og på den måde få sig et
billede af de strømme, der har betydning for indholdet i kassen. Differentialligningsmodellen opstilles
ud fra disse tilløb og udløb.
A
B
Vejsalt
5 kg/1000 m 3
500 m3/dag
750 m3/dag
Sø
1250 m3/dag
Figur 1 Begyndelsen til en kompartmentmodel for den forurenede sø. Man prøver at få styr på de forskellige tilløb og
udløb
I karmodellerne (eller søen som vist på figur 1) kunne vi direkte udregne hastigheden af det stof, der
kom ind som ”tilløb” og trak så hastigheden af det stof som løb væk fra.
I populationsmodeller kan man tilsvarende have led, der angiver fødsler, og led der angiver dødsfald.
Sat sammen giver de så en model for populationsvækst. Imidlertid kan man også opstille modeller
ud fra en antagelse om at populationen vokser på en bestemt måde, fx. proportional med antallet
af individer. Så på den måde har vi fat i ”tilløbet”. Der kan også i disse modeller være et ”udløb”
i form af fangst, som man så kan sætte på som et negativt led.
Når man så opstiller modellerne skal man have øje for de forskellige dele:
• den uafhængige variabel, som i modeller ofte er tiden og som vi derfor kalder t,
• den afhængige variabel som vi kalder ved et stort bogstav, fx P for population og S for
sukker eller salt.
• parametre, som typisk er nogle proportionalitetskonstanter eller mere generelt hastighedskonstanter,
som kan bruges til at kalibrere modellen med. Fx vokser mange forskellige populationer
efter den logistiske model, men med forskellige hastigheder. Elefantpopulationer
er en del langsommere end bakterier. Med hensyn til fortegn på parametrene kan man passende
sætte parameterværdier der øger mængden af stof som positive og de værdier der
knytter sig til fjernelsen af stof som negative.
C
25