Differentialligninger - Matematik og naturfag i verdensklasse

Analytiske løsninger
dy
Differentialligninger af typen: = yb ( −a⋅ y)
dx
Endelig behandles differentialligningen
dy
#1: ———— = y·(b - ay)
dx
hvor a>0.
Det ses, at y = 0 og y = b/a er løsninger.
Alle funktionerne med regneforskriften
b
———
a
#2: f(x) := ——————————————
- b·x
1 + c·ê
er løsninger ( y = b/a svarer til c = 0 ), for venstre side giver:
#3: f'(x)
2 b·x
b ·c·ê
#4: ———————————————
b·x 2
a·(ê + c)
og højre side giver:
#5: f(x)·(b - a·f(x))
2 b·x
b ·c·ê
#6: ———————————————
b·x 2
a·(ê + c)
Er omvendt f(x) en løsning, som vi ikke umiddelbart kender
regneforskriften for, og som ikke er 0 for noget x, ses på en hjælpefunktion g(x):
#7: f(x) :=
b
———
#8: a
g(x) := —————— - 1
f(x)
Hvis y = f(x) opfylder, at 0 < y < b/a er
b
———
#9: a
—————— > 1
f(x)
og dermed er g(x) > 0 for alle x.
Så differentieres g:
#10: g'(x)
35