Differentialligninger - Matematik og naturfag i verdensklasse

Analytiske løsninger
Differentialligninger som kan løses ved separation af de variable
Separation af de variable er en løsningsmetode, der kan bruges, hvis højresiden i differentialligningen
dy
#1: ———— = g(x, y)
dx
er et produkt af funktionerne p og q, hvor p afhænger af x alene, og q afhænger af y alene,
altså
dy
#2: ———— = p(x)·q(y)
dx
Opfattes venstresiden nu som en almindelig brøk, ganges på begge sider med dx og divideres
(under passende forudsætninger om, at q(y) ikke er 0) med q(y) på begge sider, fås
ˆ 1 ˆ
#3: ¦ —————— dy = ‰ p(x) dx
‰ q(y)
Nu findes stamfunktionerne på begge sider af lighedstegnet, og der skal så løses med hensyn
til y.
I DERIVE kan man bruge SEPARABLE_GEN-funktionen:
for at få den generelle løsning.
SEPARABLE_GEN(p(x),q(y),x,y,c)
For at få løsningen gennem (x0,y0) kan man bruge SEPARABLE-funktionen:
SEPARABLE(p(x),q(y),x,y,x0,y0)
Med eksemplet fra tidligere, nu med "neutrale" betegnelser, fås
dy
#4: ———— = 0.04·y
dx
med x=0 og y=4.6
#5: SEPARABLE(0.04, y, x, y, 0, 4.6)
5·y ‚ x
#6: LN¦—————¦ = ————
23 ƒ 25
der løses med hensyn til y
5·y ‚ x ‚
#7: SOLVE¦LN¦—————¦ = ————, y, Real¦
23 ƒ 25 ƒ
40