Integration i flere Variable

1.2. APPROKSIMERENDE SUMMER OG EKSAKTE INTEGRALER 13
3
2.5
2
1.5
1
0.5
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u
Figur 1.5: Output fra kommandoen leftbox i student-pakken i Maple brugt på funktionen f (u) =
1+u+u 2 . Figuren viser areal-repræsentationen af integralsummen I( f ,n,[−1,1]) i opgave 1.6 med n = 20
delintervaller i intervallet [a,b] = [−1,1]. De 20 addender i summen er repræsenteret ved rektangulære
søjler med den fælles bredde (b − a)/20 = 1/10 og højder givet ved værdierne af funktionen f (u) =
1 + u + u 2 i delintervallernes venstre endepunkter.
OPGAVE 1.6
Lad f (u) = 1 + u + u 2 , u ∈ [−1,1]. Så er
I( f ,n,[−1,1]) =
=
i=n
∑
i=1
i=n
∑
i=1
(
1 +
(
−1 + (i − 1) 2 ) (
+ −1 + (i − 1) 2 ) ) 2
2
n
n n
( 8 + 4n + 2n 2 − 16i − 4in + 8i 2 )
n 3
.
(1.8)
Benyt igen Maple til at beregne denne sum som funktion af n og dernæst til at eftervise
∫ 1
lim I( f ,n,[−1,1]) = (
1 + u + u
2 ) du = F(1) − F(0) = 8
n→∞ −1 3
, (1.9)
idet en stamfunktion til f (u) i dette tilfælde jo er F(u) = u + 1 2 u2 + 1 3 u3 således at F(1) = 8 3 og
F(0) = 0.
Bevis uden brug af Maple, at der gælder følgende om størrelsen af de del-summer, der (pånær faktorer,