Integration i flere Variable

Kapitel 1
Introduktion
Denne note handler om parameterfremstillinger for kurver, flader og rumlige områder og om
integration af funktioner på sådanne geometriske objekter. Formålet er primært at opstille og
motivere de generelle definitioner og beregninger af henholdsvis kurve- flade- og rum-integraler.
Udgangspunktet er Taylor’s grænseformel (til 1. orden) for de koordinatfunktioner, der benyttes
til parameterfremstillingerne for kurverne, fladerne og de rumlige områder. Parameterfremstillingerne
betragtes under ét som vektorfunktioner dvs. vektorafbildninger fra de simplest mulige
parameterområder (simple delmængder af enten R, R 2 , eller R 3 ) ind i rummet, dvs. ind i R 3 . For
fladerne benyttes således altid et rektangulært parameterområde i R 2 ; og for de rumlige områder
benyttes altid et retvinklet kasseformet parameterområde i R 3 .
De punktvis lineariserede vektorfunktioner benyttes til konstruktion af de såkaldte Jacobifunktioner.
Jacobifunktionen for en given parameterfremstilling måler hvor meget parameterområdet
lokalt deformeres når det udsættes for den tilhørende afbildning. Det er Jacobi-funktionerne,
der således giver direkte anledning til approksimerende sumformler for den totale længde, det
totale areal og det totale volumen af henholdsvis kurver, flader og rumlige områder. Og det er
disse summer, der på naturlig måde motiverer og illustrerer de generelle beregningsudtryk for
kurve- flade- og rum-integralerne.
Undervejs introduceres Integrator8. Det er en pakke med Maple procedurer, som er udviklet
specielt med henblik på eksempelbaseret visuel læring af de indledende integrationsbegreber
og deres mangfoldige anvendelser. Vi giver eksempler på, hvordan integration i flere variable
anvendes til beregning og forståelse af rumfang, vægt, massemidtpunkter, inertimomenter, kraftmomenter,
etc.
Flowkurverne for et givet vektorfelt i rummet kan findes og visualiseres med Integrator8. De
vigtige begreber divergens og rotation for et vektorfelt fremtræder derved som naturlige størrelser
til beskrivelsen af den bevægelse i rummet, der har et givet vektorfelt som hastighedsfelt.