Integration i flere Variable

1.4. TREDOBBELTE SUMMER OG TREDOBBELTE INTEGRALER 17
Eksempel 1.10
Volumen-repræsentation af integralsummen II( f ,10,10,[0,1] × [0,1]) for funktionen f (u,v) = uv er
vist i figur 1.6. De 100 addender i summen er til højre repræsenteret ved søjler med samme kvadratiske
tværsnit og med højder, som er givet ved de respektive værdier af funktionen f (u,v) = uv i (u,v)-
kvadratets delepunkter. Der opnås derved en approksimation til rumfanget af det område i rummet,
der er afgrænset af (x,y)−planen og graf-fladen for funktionen f (x,y) = xy over kvadratet (x,y) ∈
[0,1] × [0,1], som vist til venstre. Det eksakte volumen er 1 4
. Som vi skal se i Kapitlerne 4 og 5 kan det
volumen både beregnes som et plan-integral af funktionen f (x,y) over kvadratet i (x,y)−planen og som
et rum-integral af den konstante funktion 1 over det omtalte rumlige område imellem graf-fladen og
(x,y)−planen.
1.4 Tredobbelte summer og tredobbelte integraler
Sætning 1.11
Lad f (u,v,w) betegne en kontinuert reel funktion på et kasseformet parameterområde
[a,b] × [c,d] × [k,l] i (u,v,w)-rummet. Intervallet [a,b] deles i n lige store delintervaller,
intervallet [c,d] deles i m lige store delintervaller, og intervallet [a,b] deles i q lige store delintervaller.
Så har hvert u-delinterval længden δ u = (b − a)/n, hvert v-delinterval har længden δ v = (d − c)/m
og hvert w-delinterval har længden δ w = (h − l)/q. Tilsvarende bliver delepunkternes koordinater i
(u,v,w)-parameterområdet [a,b] × [c,d] × [h,l] i R 3 :
(u 1 ,v 1 ,w 1 ) = (a,c,h),
....
(u n ,v m ,w q ) = (a + (n − 1)δ u ,c + (m − 1)δ v ,h + (q − 1)δ w ) .
Lad nu III( f ,n,m,q,[a,b] × [c,d] × [h,l]) betegne følgende tredobbelte sum:
III( f ,n,m,q,[a,b] × [c,d] × [h,l])
( j=m
= ∑
j=1
k=q
∑
k=1
( ) )
i=n
∑ f (u i , v j , w k ) δ u δ v δ w .
i=1
(1.16)
(1.17)
Så gælder
( (
))
lim lim lim III( f ,n,m,q,[a,b] × [c,d] × [h,l])
n→∞ m→∞ q→∞
∫ l
( ∫ d
( ∫ b
) )
=
f (u,v,w)du dv dw .
h
c
a
(1.18)
Summer af typen III( f ,n,m,q,[a,b] × [c,d] × [h,l] ) vil vi kalde tredobbelte integralsummer og
grænseværdien ∫ (
l ∫ (
d ∫ ) )
ba
h c f (u,v,w)du dv dw kaldes Riemannintegralet af f (u,v,w) over
[a,b] × [c,d] × [h,l].