Integration i flere Variable

4.1. HVAD ER ET OMRÅDE I PLANEN? 49
Definition 4.2 Parameterfremstillingen (4.1) siges at være en regulær parameterfremstilling
for det plane område hvis der gælder følgende:
Jacobi r (u,v) > 0 for alle u ∈ [a,b] , v ∈ [c,d] . (4.4)
Definition 4.3
Som for parametriserede flader siges parameterfremstillingen i (4.1) at være
en-entydig hvis forskellige punkter i definitionsmængden afbildes i forskellige punkter i billedmængden
i planen.
OPGAVE 4.4
Vis, at Jacobi r (u,v) (i (4.3)) også kan findes som den numeriske værdi af determinanten af den matrix,
der som søjler har koordinaterne for de to vektorer r ′ u(u,v) og r ′ v(u,v).
Eksempel 4.5
Det parametriserede elliptiske område i planen (se Figur 4.4)
P r : r(u,v) = (avcos(u), bvsin(u), 0) , u ∈ [−π,π] , v ∈ [0,1].
har arealet
∫
Areal(P r ) = 1dµ =
P r
∫ 1 ∫ π
0 −π
abv du dv = abπ ,
idet Jacobi r (u,v) = abv. Sammenlign med beregningen af længden af ellipsen i Eksempel 2.14.
Eksempel 4.6
Det parametriserede spiral-afgrænsede område i planen (se Figur 4.5)
P r : r(u,v) = (vucos(u), vusin(u), 0) , u ∈ [0,π/2] , v ∈ [0,1].
har arealet
∫
Areal(P r ) = 1dµ =
P r
∫ 1 ∫ π/2
0 0
v 2 u du dv = π 3 /48 ,
idet Jacobi r (u,v) = v 2 u. Sammenlign med beregningen af længden af spiralen i Eksempel 2.13.