Integration i flere Variable

1.4. TREDOBBELTE SUMMER OG TREDOBBELTE INTEGRALER 19
Eksempel 1.13
Lad f (u,v,w) = uv sin(w) for u ∈ [0,1], v ∈ [0,2] og w ∈ [0,π/2]. Så er
∫ π/2
( ∫ 2
( ∫ 1
0
0
0
) )
uv sin(w)du dv dw =
= 1 2
= 1 2
=
∫ π/2
( ∫ 2
0 0
∫ π/2
( ∫ 2
0
∫ π/2
0
∫ π/2
0
)
v sin(w) [u 2 /2] u=1
u=0 dv dw
)
v sin(w)dv dw
0
sin(w) [v 2 /2] v=2
v=0 dw
sin(w)dw
= [−cos(w)] w=π/2
w=0
= 1 .
Eksempel 1.14
Som vi skal se i Kapitel 5 beregnes volumenet af den massive enhedskugle ved følgende tredobbelte
Riemannintegral (som vil blive motiveret i det kapitel). Dermed verificeres Archimedes’ resultat:
∫ 1
( ∫ π
( ∫ π
)
Vol(Enhedskuglen) =
w 2 sin(u)du
0 −π 0
∫ 1
( ∫ π
= w 2 [−cos(u) ] u=π
u=0 dv
0 −π
∫ 1
( ∫ π
)
= 2 w 2 dv dw
0 −π
∫ 1
= 2 w 2 [v] v=π
v=−π dw
0
∫ 1
= 4π w 2 dw
0
= 4π[w 3 /3] w=1
w=0
= 4π 3
.
)
dv
dw
)
dw
(1.20)