Kontextfreie Sprachen Kontextfreie Grammatiken Definition 13.1 ...

Zum Selbststudium
Begründung für L F(K 1) = L '(K 1) = {a n b n | n * ! 0}
• Es ist sichergestellt, dass $ nur als unterstes Symbol im Keller auftritt.
• Um in q f zu gelangen, muss $ das oberste Symbol auf dem Keller sein. Bei diesem
Übergang wird $ gelöscht. Da damit das unterste Symbol gelöscht wird, ist der
Keller leer.
• K 1 startet in q 0 und solange K 1 in q 0 ist, hat K 1 nur a verarbeitet und sich die Anzahl
der a auf dem Keller gemerkt.
• Sobald ein a verarbeitet wurde, kann K 1 nicht mehr direkt von q 0 in q f wechseln
sondern muss über die Kante von q 0 zu q 1 gehen und dabei ein b verarbeiten.
Anschließend können nur noch b verarbeitet werden.
• Jede Verarbeitung eines b löscht eine 1 vom Keller und versetzt K 1 in Zustand q 1.
• Es können höchstens so viele b verarbeitet werden, wie 1en bei Verlassen von q 0 im
Keller standen.
• Um eine 1 vom Keller zu löschen, muss ein b von der Eingabe gelesen werden.
• Der Übergang von q 1 nach q f erfordert, dass alle 1en gelöscht wurden.
• Es müssen also mindestens so viele b verarbeitet werden, wie 1en bei Verlassen von
q 0 im Keller standen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [67]
Akzeptanzarten unterscheiden sich nicht grundsätzlich
Für das bisherige Beispiel galt
• L F(K) = L '(K)
das ist natürlich nicht immer der Fall. Dennoch gilt allgemein
Satz 13.25
Für jedes Alphabet ! gilt: PDA F,! = PDA ',!
Beweis
1. Teil: PDA F,! + PDA ',!
Dazu konstruieren wir zu einem beliebigen Kellerautomaten K einen Automaten K ', so
dass L F(K) = L '(K ').
2. Teil: PDA ',! + PDA F,!
Dazu konstruieren wir zu einem beliebigen Kellerautomaten K einen Automaten K F, so
dass L '(K) = L F(K F).
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [68]