Kontextfreie Sprachen Kontextfreie Grammatiken Definition 13.1 ...

Kellerautomaten können nur kontextfreie Sprachen akzeptieren
Satz 13.27
Für jedes Alphabet ! gilt: PDA ',! + kfS !
Beweis
Wir konstruieren für einen beliebige Kellerautomaten K eine kontextfreie Grammatik
G K, so dass L '(K) = L(G K).
Diese Konstruktion ist komplizierter als die vorhergehenden Konstruktionen.
• In den Nichtterminalsymbole der Grammatik werden folgende Aspekte einer
Konfiguration des Kellerautomaten kodiert:
• der aktuelle Zustand
• ein Zeichen des Kelleralphabets
• der Nachfolgezustand
• Die Nichtterminalsymbole notieren wir in der Form [pkq], wobei k Kellersymbol
und p, q Zustände von K sind.
• Aus Sicht der Grammatik ist [pkq] aber ein atomares Nichtterminalsymbol.
• [pkq] steht für: K kann unter Verarbeitung (Löschung) von k aus dem Zustand p
(direkt oder über mehrere Schritte) in den Zustand q gelangen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [75]
Konstruktion für den Beweis zu Satz 13.27
Sei K = (!, Q, ", #, q 0, $, ,) ein (nichtdeterministischer) Kellerautomat.
Die kontextfreie Grammatik G K = (!, N, P, S) ist wie folgt spezifiziert:
• N = {S} & (ein spezielles Startsymbol)
{[pkq] | k * ", p, q * Q} (Symbole zur Kodierung von Übergängen in K)
(insgesamt |"| * |Q| 2 + 1 verschiedene Zeichen)
• P = {S ( [q0$q] | q * Q} & (Symbole für den Übergang vom q 0 zu anderen
Zuständen bei Verarbeitung von $)
{[pkp 0] ( x[p 0k 1p 1]…[p r-1k rp r] |
(p 0, k 1…k r) * #(p, x, k),
p, p 0, …, p r * Q, x * ! & {'}, k 1, …k r * !}
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [76]