Experimentelle¨Ubungen I O6 - Jan-Gerd Tenberge

1 Matrikel-Nr. 349658
2 Matrikel-Nr. 350069
Experimentelle Übungen I
O6 – Beugung
Protokoll
Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2
18. Mai 2009

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 1
Inhaltsverzeichnis
1 Theorie 2
1.1 Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Beugung an Mehrfachspalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Versuchsdurchführung 6
2.1 Spektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Dioden-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Auswertung und Diskussion 15
3.1 Intensitätsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Doppelspalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 s = 0,1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 s = 0,15 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 s = 0,2 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Mehrfachspalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 2
1 Theorie
Weicht die Lichtausbreitung den Gesetzen der geometrischen Optik, so kann man
dies mit Beugung erklären. In diesem Versuch wird Beugung hinter einem Spalt,
Doppelspalt und Gitter untersucht.
Die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen wird durch die Maxwellschen
Gleichungen beschrieben:
div E = ρ
ɛɛ0
(1)
div B = 0 (2)
rot E =
˙H −µµ0
(3)
rot H =
˙E ɛɛ0 + j (4)
Eine spezielle und wichtige Klasse von Lösungen sind ebene Wellen:
mit | k| = 2π
λ
Ausbreitungsrichtung und es gilt:
E = E0e i( kr−ωt)
H = H0e i( kr−ωt)
= ω
v , dem Wellenzahlvektor. Die Richtung von k ist gleich der
(5)
(6)
H = 1 k vµ0 | k| × E (7)
Die Energiestromdichte (Quotient Energie durch Fläche und Zeit) in Ausbreitungsrichtung
ist durch den Poyntingvektor S gegeben, mit:
S = E × H (8)
Setzt man E und H der ebenen Wellen ein und Bildet den zeitl Mittelwert, so
erhält man die Größe, auf die unsere Augen oder andere Detektoren reagieren
(Intensität):
|〈 S〉| = 1
2vµ0
1.1 Beugung am Einzelspalt
Nach dem Huygensschen Prinzip ist jeder Punkt der Öffnung Ausgangspunkt
einer neuen Elementarwelle. Zerlegt man nun die Öffnung in N Streifen der Breite
β, mit Nβ = s so gehen von jedem Streifen Teilbündel der Amplitude 1
N E0 aus.
E 2 0
(9)

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 3
Abbildung 1: Zerlegung in Teilbündel
Abhängig vom Winkel ϕ sind diese Teilbündel gegeneinander Phasenverschoben.
Ist d die Gangdifferenz der beiden Randstrahlen, dann beträgt ihre Phasendifferenz:
∆ = d · k = 2πd
(10)
λ
Zwei benachbarte Teilbündel haben somit die Phasendifferenz δ = ∆ Somit lässt
N
sich nach dem Superpositionsprinzip die Summe aller Amplituden der in Richtung
ϕ gebeugten Teilbündel berechnen zu
ESp(ϕ) = 1
N E0 · 1 + e −iδ + e −2iδ + . . . + e −i(N−1)δ
(11)
= 1
N E0
1 − e−iNδ
·
1 − e−iδ (12)
Letztere Umformung gilt nach der endlichen geometrischen Reihe.
Zerlegung der 1 im Zähler und Nenner in Produkte zweier Exponentialfunktionen
sowie einige triviale Umformungen ergeben:
ESp(ϕ) = 1
N E0
∆
∆ ∆
−i i sin
· e 2 · e 2N 2 ·
cos ∆
2N
(13)
Führt man jetzt noch den Grenzübergang N → ∞, d.h. die Zerlegung in immer
mehr Teilbündel, durch, so erhält man:
ESp(ϕ) = E0
sin ∆
∆
N −i
e 2 (14)
∆
2
Einsetzen von ∆ (10), Einsetzen in die Definition des Poyntingvektors und
einige Umformungen ergeben schließlich:
〈SSp(ϕ)〉 = S0 · sin2 ( πs
λ
sin ϕ)
( πs
λ sin ϕ)2 mit S0 = 1 1
2 cµ0
E 2 0
(15)

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 4
Aus dieser Gleichung lässt sich die Lage der Beugungsminima berechnen und
die Lage der Maxima nähern: Minima treten auf, wenn der Zähler Null wird, aber
der Nenner von Null verschieden ist:
sin ϕmin = nλ
s
(n = 1,2,3, . . .) (16)
Beugungsmaxima sind näherungsweise an den Stellen zu beobachten, wo der
Zähler maximal wird, d.h:
sin ϕmax ≈
2n + 1
2
· λ
s
Für die Intensitäten der Maxima n-ter Ordnung gilt:
S = S0 ·
1
( 2n+1
2 π)2
1.2 Beugung an Mehrfachspalten
Abbildung 2: Beugung am Doppelspalt
(n = 1,2,3, . . .) (17)
(n = 1,2,3, . . .) (18)
Wird das Licht nicht nur durch einen Spalt, sondern durch N kongruente, regelmäßige
Spalte gebrochen, so wird von jedem einzelnen Spalt die Gesamtamplitude
ESp(ϕ) gebeugt. Nach Abb. 2 ist der Gangunterschied zwischen 2 benachbarten
Spalten d2, dann haben diese einen Gangunterschied von
δ2 = 2πd2
λ
= 2πg
λ
· sin ϕ (19)
Bildet man nun wieder die Summe der von allen in φ-Richtung gebeugten Amplituden,
schreibt diese als geometrische Reihe und setzt dies in den Poyntingvektor

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 5
ein, erhält man:
sin
〈SG(ϕ)〉 = S0
2 ( πs sin ϕ) λ
( πs
λ sin ϕ)2 · sin2 (N πg
λ
sin2 ( πg
λ
sin ϕ)
sin ϕ)
mit S0 = 1
2cµ0
E 2 0
(20)
Anschaulich ist das Ergebnis eine Überlagerung von der Intensitätsverteilung der
Beugung am Einzelspalt (erster Bruch) und der Intensitätsverteilung durch das
Zusammenwirken von N Spalten (zweiter Bruch). Nach Fraunhofer bezeichnet
man die Maxima und Minima eines Einzelspalts als Interferenzen I. Klasse; jene
die durch das Zusammenwirken mehrere Spalte entstehen, als Interferenzen II.
Klasse. Für
sin ϕmax = kλ
g
(21)
werden Zähler und Nenner gleichzeitig Null. An diesen Stellen befinden sich die
Maxima II. Klasse, die sogenannten Hauptmaxima. Anschaulich ist der Gangunterschied
zwischen zwei benachbarten Spalten unter diesem Winkel ein Vielfaches
der Wellenlänge; die Teilbündel überlagern sich in Phase.

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 6
2 Versuchsdurchführung
2.1 Spektrometer
In diesem Versuchsteil werden mit Hilfe eines Spektrometers hinter einem Gitter
viele Ordnungen der Beugungsmaxima der NA-D-Linie bestimmt. Durch Auftragen
von sin ϕ gegen k kann man aus der Steigung nach Formel (21) die Gitterkonstante
g bzw. 1
g bestimmen.
ϕ ± 0,1[Grad] sin ϕ k ∆ sin ϕ
20,40 0,35 15 0,002
19,50 0,33 14 0,002
18,10 0,31 13 0,002
16,60 0,29 12 0,002
15,20 0,26 11 0,002
13,80 0,24 10 0,002
12,50 0,22 9 0,002
11,00 0,19 8 0,002
9,60 0,17 7 0,002
8,30 0,14 6 0,002
6,90 0,12 5 0,002
5,50 0,1 4 0,002
4,10 0,07 3 0,002
2,70 0,05 2 0,002
1,50 0,03 1 0,002
0,00 0 0 0,002
Tabelle 1: Messwerte der verschiedenen Ordnungen der NA-D Linie hinter einem
Gitter mit 1/g=42/mm
Graphisch ergibt dies eine Gerade mit der Steigung m = (0,024±0,001). Nach
(21) ergibt sich die Strichdichte 1 m 0,024±0,001
= = =)40,72 ± 1,70)/mm. Die
g λ 589,3nm
Fehler sind mit Fehlerfortpflanzung berechnet worden:
∆ sin ϕ = | cos ϕ · ∆ϕ| (22)
∆ 1
g
= |∆m | (23)
λ

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 7
s in ϕ
0 ,3 5
0 ,3 0
0 ,2 5
0 ,2 0
0 ,1 5
0 ,1 0
0 ,0 5
0 ,0 0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
Abbildung 3: sin ϕ gegen k ( 1
g
k
= 42/mm)
Für die anderen beiden Gitter ist die Rechnung analog:
s in ϕ
0 ,8
0 ,7
0 ,6
0 ,5
0 ,4
0 ,3
0 ,2
0 ,1
0 ,0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5
Abbildung 4: sin ϕ gegen k ( 1
g
k
= 50/mm)

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 8
s in ϕ
1 ,0
0 ,8
0 ,6
0 ,4
0 ,2
0 ,0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
Abbildung 5: sin ϕ gegen k ( 1
g
k
= 100/mm)
Aus den Steigungen lassen sich widerum die Strichzhlen berechnen:
Erwartete Strichzahl[1/mm] Steigung m Berechnete Strichzahl [1/mm]
42 0,024 40,72±1,70
50 0,029 49,21±0,6
100 0,059 100,12±0,9
2.2 Dioden-Laser
Tabelle 2: Berechnete Strichzahlen der Gitter
In diesem Versuchsteil wird das Licht eines Lasers durch verschiedene Spaltanordnungen
gebeugt. Mit einer Photodiode lässt sich anhand des Kurzschlussstroms
die Intensitätsverteilung bestimmen.
2.2.1 Einzelspalt
Die Intensitätsverteilungen sehen wie folgt aus:

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 9
I[m A ]
1 4
1 2
1 0
8
6
4
2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x [c m ]
Abbildung 6: Intensitätsverteilung mit der Spaltgröße s=0,1mm
I[m A ]
6 0
5 0
4 0
3 0
2 0
1 0
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
x [c m ]
Abbildung 7: Intensitätsverteilung mit der Spaltgröße s=0,2mm

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 10
I[m A ]
1 2 0
1 0 0
8 0
6 0
4 0
2 0
0
-2 -1 0 1 2
x [c m ]
Abbildung 8: Intensitätsverteilung mit der Spaltgröße s=0,4mm
2.2.2 Doppelspalt
Die Intensitätsverteilungen der 3 Doppelspalte:
I [m A ]
2 4
2 2
2 0
1 8
1 6
1 4
1 2
1 0
8
6
4
2
0
-2
-2 -1 0 1 2
x [c m ])
Abbildung 9: Intensitätsverteilung hinter dem Doppelspalt mit dem Spaltabstand
g=0,25mm und s=0,1mm

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 11
I[m A ]
6 0
5 0
4 0
3 0
2 0
1 0
0
-2 ,0 -1 ,5 -1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0 1 ,5 2 ,0
x [c m ]
Abbildung 10: Intensitätsverteilung hinter dem Doppelspalt mit dem Spaltabstand
g=0,25mm und s=0,15mm
I[m A ]
8 0
6 0
4 0
2 0
0
-2 ,0 -1 ,5 -1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0 1 ,5 2 ,0
x [c m ]
Abbildung 11: Intensitätsverteilung hinter dem Doppelspalt mit dem Spaltabstand
g=0,25mm und s= 0,2mm

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 12
2.2.3 Gitter
Es ist die Intensitätsverteilung verschiedener Mehrfachspalte gemessen worden.
Es ergeben sich folgende Graphen:
I [m V ]
4 0
3 0
2 0
1 0
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
x [c m ]
Abbildung 12: Intensitätsverteilung mit N=2, Spaltgröße s=0,2mm
I [m A ]
6 0
5 0
4 0
3 0
2 0
1 0
0
-2 -1 0 1 2
x [c m ]
Abbildung 13: Intensitätsverteilung mit N=3, Spaltgröße s=0,2mm

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 13
I [m A ]
1 2 0
1 0 0
8 0
6 0
4 0
2 0
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
Abbildung 14: Intensitätsverteilung mit N=4, Spaltgröße s=0,2mm
I [m A ]
1 2 0
1 0 0
8 0
6 0
4 0
2 0
0
A
-3 -2 -1 0 1 2 3
x [c m ]
Abbildung 15: Intensitätsverteilung mit N=5, Spaltgröße s=0,2mm

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 14
I [m A ]
1 2 0
1 0 0
8 0
6 0
4 0
2 0
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
x [c m ]
Abbildung 16: Intensitätsverteilung mit N=40, Spaltgröße s=0,2mm

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 15
3 Auswertung und Diskussion
3.1 Intensitätsrelation
Aus für uns nicht nachvollziehbaren Gründen liegen unsere Messwerte weit über
den nach Formel 42 errechneten Erwartungswerten. Die Erwartungswerte S1e und
S2e für die Spaltenbreiten s = 0,1, 0,2 und 0,4 sowie unsere Messwerte S1, S2 zeigt
die folgende Tabelle.
s S0 S1e S1 S2e S2
0,1 13,7 0,62 1,5 0,22 1,1
0,2 51,3 2,31 3,75 0,83 1,8
0,4 102,45 4,613 5,1 1,66 2,25
3.2 Doppelspalte
3.2.1 s = 0,1 mm
k sin ϕ U
9 0.0230 0.7 mV
8 0.0217 0.55 mV
7 0.0178 0.7 mV
6 0.0153 0.85 mV
5 0.0136 0.55 mV
4 0.0102 1.45 mV
3 0.0080 1.1 mV
2 0.0046 2.9 mV
1 0.0023 14.05 mV
0 0 21.5 mV

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 16
s in ϕ
0 ,0 2 5
0 ,0 2 0
0 ,0 1 5
0 ,0 1 0
0 ,0 0 5
0 ,0 0 0
0 2 4 6 8 1 0
Abbildung 17: sin ϕ gegen k bei dem Doppelspalt mit s=0,1mm
Daraus ergibt sich eine Steigung von 0,0026 ± 0,0001 und mit der Gitterkonstante
g = 0,25mm eine Wellenlänge von λ = 0,25mm ∗ 0,0026 = (650 ± 25)nm.
3.2.2 s = 0,15 mm
k sin ϕ U
12 0.0254 0.7 mV
11 0.0237 0.55 mV
10 0.0224 0.7 mV
9 0.0175 0.85 mV
8 0.0160 0.6 mV
7 0.0146 0.8 mV
6 0.0139 0.7 mV
5 0.0100 1.6 mV
4 0.0086 0.65 mV
3 0.0069 1.35 mV
2 0.0052 3.55 mV
1 0.0021 15.75 mV
0 0 52.3 mV
k

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 17
s in ϕ
0 ,0 2 5
0 ,0 2 0
0 ,0 1 5
0 ,0 1 0
0 ,0 0 5
0 ,0 0 0
0 2 4 6 8 1 0 1 2
Abbildung 18: sin ϕ gegen k bei dem Doppelspalt mit s=0,15mm
Daraus ergibt sich eine Steigung von 0,0021 ± 0,0001 und mit der Gitterkonstante
g = 0,25mm eine Wellenlänge von λ = 0,25mm ∗ 0,0021 = (525 ± 25)nm.
3.2.3 s = 0,2 mm
k sin ϕ U
0 0 80.9 mV
1 0.0021 12.2 mV
2 0.0050 4.5 mV
3 0.0062 0.7 mV
4 0.0076 1.95 mV
5 0.0102 1.45 mV
6 0.0125 1.1 mV
7 0.0143 0.7 mV
8 0.0152 0.8 mV
9 0.0167 0.6 mV
k

Experimentelle Übungen I O6 Tenberge, Südkamp 18
s in ϕ
0 ,0 2 5
0 ,0 2 0
0 ,0 1 5
0 ,0 1 0
0 ,0 0 5
0 ,0 0 0
0 2 4 6 8 1 0 1 2
Abbildung 19: sin ϕ gegen k bei dem Doppelspalt mit s=0,2mm
Mit der sich ergebenden Steigung von 0,0018±0,0001 und g = 0,25mm ergibt
sich hier ein λ = (450 ± 25nm).
3.2.4 Zusammenfassung
Die drei verschiedenen Werte im Bereich von 650 bis 450nm deuten darauf hin,
dass hier schwerwiegende Messfehler passiert sein müssen, da immer der selbe Laser
benutzt wurde. Erwartungsgemäß hätte sich ein Wert um λ = 660nm ergeben
sollen, da der Laser von roter Farbe war. Die niedrigen Fehlerwerte jeder Ausgleichgeraden
für sich genommen lassen aber keine weitergehenden Rückschlüsse
zu, wo der Fehler gelegen haben könnte.
3.3 Mehrfachspalte
Bei den Mehrfachspalten zeigt sich, dass die Hauptmaxima eine größere Intensität
haben, je höher die Anzahl N der Spalte ist. Die Intensität der Nebenmaxima
nimmt dabei ab, sie werden aber zahlreicher. Insgesamt zeigen sich bei höherer
Spaltenzahl mehr Maxima als bei niedrigeren Werten.
k