Experimentelle¨Ubungen I E6 – Schwingkreis Protokoll - Jan-Gerd ...

1 Matrikel-Nr. 349658
2 Matrikel-Nr. 350069
Experimentelle Übungen I
E6 – Schwingkreis
Protokoll
Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2
26. Januar 2009

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 1
Inhaltsverzeichnis
1 Theorethische Vorbereitung 2
1.1 Thema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Serienresonanzkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Die Güte Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Parallelresonanzkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Zubehör 9
3 Versuchsaufbau 10
4 Durchführung 11
4.1 Serienresonanzkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Parallelresonanzkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Serienresonanzkreis 12
5.1 RV = 0Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 RV = 200Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.3 RV = 500Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Parallelresonanzkreis 19
6.1 Rp = ∞Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.2 Rp = 10kΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3 Rp = 2kΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 Diskussion 25
7.1 Serienresonanzkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Parallelresonanzkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 2
1 Theorethische Vorbereitung
1.1 Thema
Bei diesem Versuch geht es um elektrische Schwingkreise. Ein Schwingkreis ist
eine Schaltung, welche aus einer Spule, einer Kapazität und einem ohmschen
Widerstand besteht. Durch Anlegen einer Wechselspannung entsteht Selbstinduktion
an der Spule und Auf- bzw. Entladung des Kondensators, so bekommt
man ein schwingfähiges System. Dieses System hat eine bestimmt Eigenfrequenz.
Wird es mit eben dieser Frequenz betrieben, tritt elektrische Resonanz auf.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 3
1.2 Theorie
1.2.1 Serienresonanzkreis
Den in Abb. 1.2.1 dargestellten Resonanzkreis, aufgebaut aus, jeweils in Reihe
geschaltet, einem Widerstand R, einer Spule L und einem Kondensator C,
bezeichnet man auch als Serienresonanzkreis. Für die anliegende Spannung gilt
die Kirchhoffsche Maschenregel:
U = UR + UL + UC
= (R + iωL + 1
iωC )I
= ZI (1)
Aus der Gesamtimpedanz mit dem Betrag
|Z| = R2 + (ωL − 1
ωC )2 (2)
folgt die Bedingung für Stromresonanz im Serienresonanzkreis:
Nach Gleichung (1) folgt für den Strom:
|I| = U
|Z|
Dieser nimmt den größten Wert an, wenn |Z| minimal ist. Nach Gleichung (2)
ist das der Fall, wenn gilt:
ω = ω0 = 1
√ LC
In diesem Fall hat |Z| den kleinsten rein ohmschen Wert |Z| = R. Für den daraus
resultierenden Strom gilt:
1.2.2 Die Güte Q
|I|(ω0) = |I|max = |U|
R
Um Aussagen über einen Serienresonanzkreis treffen zu können, führt man die
Güte Q ein:
Q := ω0L
R
= 1
ω0CR
Diese erlaubt es z.B., Aussagen über die Halbwertsbreite ∆ω der Resonanzkurve
(s. Abb. 1) sowie über die Resonanzüberhöhung der Kondensator- und Spulenspannung
(siehe Gleichung (9) & (10)) zu treffen.
(3)
(4)
(5)
(6)

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 4
0,5 Imax
2!"
Frequenz " [Hz]
Abbildung 2: Resonanzkurve: Frequenz ω gegen Strom I
Für die Halbwertsbreite gilt dabei näherungsweise:
∆ω = R
L = ω2 0CR (7)
⇒ Q = ω0
∆ω
Für die Spulen-/Kondensatorspannung gilt im Resonanzfall:
|UL(ω0)| = |ZL(ω0)| · |I(ω0)|
= ω0L · |I(ω0)| = ω0L |U|
= Q|U|
R
(9)
|UC(ω0)| = |ZC(ω0)| · |I(ω0)|
=
1
ω0C |I(ω0)| = 1
|U| = Q|U|
ω0CR
(10)
Die beiden Spitzenspannungen an Kondensator und Spule überragen also die Gesamtspannung
|U| um den Faktor Q. Dies ist möglich da sich UC und UL in entgegengesetzter
Phase befinden und deshalb gegenseitig auslöschen. Die verbleibende
am Widerstand R anliegende Spannung ist somit gleich der Gesamtspannung:
(8)
|UR| = |U| (11)

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 5
1.2.3 Experimenteller Aufbau
mV 10"
Frequenz-
generator
!
u(t)
RV
1k"
Ri
L
C
1,1#F
Abbildung 3: Serienresonanzkreis, experimenteller Aufbau
Da der Frequenzgenerator nicht mit ausreichender Genauigkeit eingestellt werden
kann, hält man die Erregerfrequenz ω konstant und variiert stattdessen die Kapazität
des Kondensators C. An Stelle des festen Kondensators verwendet man
im experimentellen Aufbau (Abb. 2) deshalb einen verstellbaren. Außerdem wird
die Schaltung um einen in Reihe geschalteten Widerstand Rv und einen kleinen
10Ω-Widerstand ergänzt, welcher lediglich zur Spannungsmessung dient, bei der
Berechnung des Gesamtwiderstandes aber vernachlässigt werden kann:
R = Rv + Ri
(12)
Ergibt sich für zwei verschiedene Kapazitäten C1 und C2 der Resonanzstrom
|I| = |Imax|
√ 2
so ergibt sich für den Verlustwiderstand R:
|I| = |Imax|
√ 2 = |U|
√ 2R =
⇒ 2R 2 = R 2 + (ωL − 1
⇒ R1/2 =
± ω0L − 1
Aus Addition der Gleichungen folgt:
ωC )2
ω0C1
2R = 1
ω0
⇔ R = 1
2ω0
|U|
R 2 + (ωL − 1
ωC )2
oder R = −ω0L + 1
( 1 1
−
C2 C1 )
ω0C2
( 1 1
− ) (13)
C2 C1

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 6
1.2.4 Parallelresonanzkreis
Aus dem Aufbau aus Abb. 3 ergibt analog zum Serienresonanzkreis Gesetzen für
einen amplitudenkonstanten Strom:
I = IR + IL + IC (14)
= ( 1 1
+ + iωC)U = Y U
R iωL
(15)
IL
IR
L C U=|U|sin(!t+!)
R
I=|I|sin(!t)
Abbildung 4: Parallelresonanzkreis
Dabei bezeichnet man Y , den Kehrwert der Impedanz, als Leitwert bzw. Admittanz.
Da es sich hier um eine Parallelschaltung handelt gilt:
IC
U = UR = UL = UC (16)
= |I|
|Y | =
|I|
1 1
+ (− + ωC)2
R2 ωL
(17)
Mit dem Betrag des Leitwertes:
1
1
|Y | = + (ωC −
R2 ωL )2 (18)
Analog zum Serienresonanzkreis gilt für die Resonanzfrequenz bei rein ohmschem
Leitwert:
ω 2 0 = 1
LC
(19)
In diesem Fall hat die Spannung sein Maximum |U(ω0)| = |Umax| = |I|R.
Auch hier wird wieder der Gütefaktor Q eingeführt:
Q = R
ω0L = Rω0C (20)

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 7
Dies ist genau der Kehrwert zur Güte im Serienresonanzkreis. Betrachtet man
die Einzeströme an Kondensator und Spule, ergibt sich:
Q.
|IL(ω0)| = 1 R
|U| = |I| = Q|I|
ω0L ω0L
(21)
|IC(ω0)| = ω0C|U| = Rω0C|I| = Q|I| (22)
Die beiden Einzelströme übersteigen den Gesamtstrom |I| also um den Faktor
1.2.5 Experimenteller Aufbau
Bei diesem Versuch werden Spannung und Frequenz konstant gehalten und stattdessen
die Kapazität des Kondensators reguliert (s. Abb. 1.2.5). Es ist daher
ratsam, anstatt des Spannungsmaximums das Stromminimum zu suchen, um die
Resonanzfrequenz zu ermitteln (vgl. Gl. (17)).
Da jede Spule einen seriell zur Induktivität geschalteten Innenwiderstand Ri aufweist,
kann man sich nun noch den Innenwiderstand durch einen parallel zur
Spule geschalteten Ersatzwiderstand R ′ p ersetzt vorstellen:
iωL + Ri = 1 1
+
iωL R ′ p
⇔ R ′ p = ω2L2 + iωL
Ri
= R′ p + iωL
R ′ piωL
Hier ist der Imaginärteil gegen den Realteil vernachlässigbar klein:
R ′ p = ω2 L 2
Damit gilt für den Gesamtwiderstand der Schaltung:
R = 1
R ′ +
p
1
Rp
Ri
Rp→∞
−→ ω2 L 2
Ri
(23)
(24)
Die Resonanzkurve ermittelt sich beim Parallelresonanzkreis als Funktion I =
f(C). Ergibt sich wieder für zwei Werte C1 und C2 das Stromminimum, so gilt

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 8
für den Verlustwiderstand R der Schaltung:
| Imin | √ 2 =
⇒ 2
R
⇒ 1
| U | √
2 =
R
1
1
+ (ωC −
R2 ωL )2 · | U |
1
1
= + (ωC − 2 R2 ωL )2
R = ω0C1 − 1 1
oder
ω0L R = −ω0C2 + 1
ω0L
L
⇒ 2
R = ω0C1 − ω0C2
2
⇔ R =
ω0(C1 − C2)
(25)

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 9
5cm
5cm
I=|I|sin(!t+!)
U=|U|sin(!t)
R
L
C
UR
UL
UC
Abbildung 1: Serienresonanzkreis
mV 10"
Frequenz-
generator
!
u(t)
L
Ri
Rp
10k"
C
1,1#F
Abbildung 5: Parallelresonanzkreis, experimenteller Aufbau

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 10
2 Zubehör
Für die Durchführung des Resonanzversuchs benötigen wir folgendes Zubehör.
1 Frequenzgenerator zur Erzeugung eines Wechselstroms bestimmter Frequenzen.
1 Oszillograph mit Meßkabel zur genauen Einstellung der Schaltung.
1 Vielfachmessinstrument für die Messung verschiedener Größen.
1 Kapazitätsdekade 0 - 1100 µF zur Einstellung verschiedener Kapazitäten.
1 Potentiometer 10 KΩ als regelbaren Widerstand.
1 Potentiometer 1 kΩ als zweiten regelbaren Widerstand.
2 unbekannte Spulen dessen Induktivitäten bestimmt werden sollen.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 11
3 Versuchsaufbau
Der Versuch besteht aus zwei Verschiedenen Schaltungen, deren Aufbau aus der
theoretischen Vorbereitung und den Abbildungen 2 sowie 1.2.5 zu entnehmen ist.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 12
4 Durchführung
4.1 Serienresonanzkreis
Bei einer festen Frequenz f = 1000Hz und bei fester Spannung U = 2V wurde
für verschiedene Serienwiderstände Rv = 0Ω, 200Ω und 500Ω die Resonanzkurve
I = f( 1 ) gemessen.
C
Im Anschluss wurden die Spannungsabfälle über den Widerstand Rv, die Spule
und den Kondensator gemessen und mit den Messwerten verglichen. Mit Hilfe des
Vielfachmessintruments wurde noch der Innenwiderstand Ri der Spule bestimmt,
um einen Vergleichswert für die Messung zu erhalten.
4.2 Parallelresonanzkreis
Auch in diesem Versuchsaufbau wurde bei einer festen Frequenz f = 1000Hz,
aber bei einer Spannung von U = 5V die Resonanzkurve I = f(C) für drei
verschiedene Parallelwiderstände Rp = ∞, 10kΩ und 2kΩ.
Wie beim vorangegangenen Aufbau wurde auch hier der Innenwiderstand Ri der
Spule mit Hilfe des Vielfachmessinstuments bestimmt.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 13
5 Serienresonanzkreis
5.1 RV = 0Ω
An den Serienresonanzkreis wurde eine konstante Spannung von —U— = 2V
angelegt und bei verschiedenen Kapazitäten der Spannungsabfall am 10Ω Widerstand
gemessen. In der folgenden Tabelle 1 sind die Werte der Resonanzkurve
f(1/C) sowie der gemessene Spannungsabfall eingetragen. Die Fehler für U ergeben
sich bedingt durch das Messinstrument. Die Fehler für die Kapazität wurde
auf dem Bauteil mit 1% der eingestellten Kapazität angegeben, womit sich die
Fehler des Kehrwertes über die Fehlerfortpflanzung berechnen lassen, ebenso wie
berechnet wurde.
die Fehler für die Stromstärke I welche mit der Formel I = U
R
U [mv] Fehler [mV] 1/C [1/µF] Fehler [1/µF] I [mA] Fehler [mA]
15,70 0,10 87,72 0,88 1,57 0,01
17,90 0,10 88,50 0,88 1,79 0,01
21,00 0,10 89,29 0,89 2,10 0,01
25,00 0,10 90,09 0,90 2,50 0,01
30,50 0,10 90,91 0,91 3,05 0,01
37,30 0,10 91,74 0,92 3,73 0,01
43,10 0,10 92,59 0,93 4,31 0,01
42,50 0,10 93,46 0,93 4,25 0,01
36,30 0,10 94,34 0,94 3,63 0,01
29,20 0,10 95,24 0,95 2,92 0,01
23,50 0,10 96,15 0,96 2,35 0,01
19,50 0,10 97,09 0,97 1,95 0,01
Tabelle 1: Werte für Serienschaltung bei RV = 0Ω
Die Werte 1/C und I wurden nun in Diagramm 4 gegeneinander aufgetragen.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 14
I [m A ]
4 ,5
4 ,0
3 ,5
3 ,0
2 ,5
2 ,0
1 ,5
8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8
Abbildung 6: I gegen 1/C aufgetragen für RV = 0Ω
Aus diesem Graphen lassen sich nun die Werte für Imax und 1 ablesen. Der
Cmax
angegebene Fehler ergibt sich bei dieser Vorgehensweise aus dem Ablesefehler.
Imax = 4,37(±0,10)mA
1
= 92,90(±0,10) 1
µF
Cmax
1
Mit Hilfe des Wertes für Cmax
men:
L =
1
=
Cmax(2 · π · f) 2
= 2,35(±0,30)H
lässt sich nun die Indukvität der Spule bestim-
1
1
· 92,90
2 · Π · 1000Hz µF
Der Fehler wurde über die Fehlerfortpflanzung berechnet:
1
∆L =
∆ Cmax
4 · Π2 · f 2
2
∆f
+
Cmax · Π2 · f 3
2 (26)
Um die Halbwertsbreite ∆ω zu bestimmen, muss zunächst der Wert Imax
√ 2 bestimmt
werden, welcher sich zu
Imax
√2 = 3,09(±0,07)A

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 15
ergibt.
Liest man nun die Werte an den beiden Stellen Imax
√ 2 ab, erhält man C1 und
C2:
1
C1
= 90,90(±0,30) 1
µF
1
C2
= 95,10(±0,30) 1
µF
Der Fehler ergibt sich auch hier aus dem Ablesefehler, welcher dieses mal jedoch
auf Grund der Schwierigkeit etwas größer gewählt wurde.
Mit Hilfe dieser beiden Werte, kann nun der Verlustwiderstand des Resonanzkrei-
ses berechnet werden:
R1 = 1
1
2ω0 C2
− 1
C1
= 334,23(±33,93)Ω
Anschließend kann mit Hilfe von R1 auf zwei verschiedene Arten die Güte
Q bestimmt werden. Zum Einen über die Induktivität, zum Anderen über die
Kapazität. Beide Rechnungen folgen:
QL = 2ΠfL
R
Der Fehler wird wieder mit Hilfe der Fehlerfortpflanzung berechnet:
2π∆fL 2 2
2πf∆L −2πfL∆R
∆QL =
+
+
R
R
R2 2 Es ergibt sich für den Wert: QL = 44,24(±7,16)
Alternativ nun die zweite Rechnung:
QC =
1
2πfRCmax
Auch hier wurde der Fehler mittels Fehlerfortpflanzung berechnet:
∆QC =
−∆f
2πf 2
2
1
2
−∆ Cmax −∆R
+
+
CmaxR 2πfR 2πfCR 2
So ergibt sich: QC = 44,24(±4,49)
2
(27)
(28)
(29)
(30)

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 16
Mit Hilfe der Güte lassen sich nun die Spannungsabfälle an der Induktivität
und der Kapazität berechnen:
UL = QL|U| und UC = QC|U|
Die Fehler wurden wieder mit der Fehlerfortpflanzung berechnet:
∆UL = (∆QL|U|) 2 und ∆UC = (∆QC|U|) 2
Es ergeben sich folgende Werte:
UL = 88,48(±14,32)V und UC = 88,48(±8,98)V
Zusätzlich wurden die Spannungsabfälle in der Schaltung direkt gemessen:
UL = 48,10(±0,10)V und UC = 47,60(±0,10)V
(31)
(32)
Wie man sieht stimmen die gemessenen Werte nicht mit den errechneten Werten
überein. Näheres wird in der Diskussion erläutert.
Als Letztes wird der Innenwiderstand Ri experimentell über die Formel Ri =
R − Rv bestimmt.
⇒ Ri = 334,23Ω − 0Ω = 334,23(±33,93)Ω (33)
Mit Hilfe des Multimeters wurde der Wert zu Ri = 52,2 bestimmt. Auch diese
Werte passen, auch innerhalb der Toleranz, nicht gut zueinander.
5.2 RV = 200Ω
Bei dieser Abwandlung der Schaltung können sämtliche Formeln des vorangegangenen
Aufbaus verwendet werden. Sie werden deshalb nicht mehr näher erläutert.
Die folgende Tabelle 2 enthält wieder gemessene und berechnete Werte für U, 1/C
und I sowie deren Fehler.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 17
5.
U [mv] Fehler [mV] 1/C [1/µF] Fehler [1/µF] I [mA] Fehler [mA]
11,60 0,10 86,21 0,86 1,16 0,01
12,80 0,10 86,96 0,87 1,28 0,01
14,20 0,10 87,72 0,88 1,42 0,01
15,80 0,10 88,50 0,88 1,58 0,01
17,80 0,10 89,29 0,89 1,78 0,01
20,10 0,10 90,09 0,90 2,01 0,01
22,80 0,10 90,91 0,91 2,28 0,01
25,20 0,10 91,74 0,92 2,52 0,01
27,00 0,10 92,59 0,93 2,70 0,01
26,70 0,10 93,46 0,93 2,67 0,01
25,10 0,10 94,34 0,94 2,51 0,01
22,30 0,10 95,24 0,95 2,23 0,01
19,50 0,10 96,15 0,96 1,95 0,01
17,00 0,10 97,09 0,97 1,70 0,01
14,80 0,10 98,04 0,98 1,48 0,01
12,90 0,10 99,01 0,99 1,29 0,01
10,80 0,10 100,00 1,00 1,08 0,01
Tabelle 2: Werte für Serienschaltung bei RV = 200Ω
Die Werte 1/C und I wurden wieder gegeneinander aufgetragen, siehe Graph
I [m A ]
3 ,0
2 ,8
2 ,6
2 ,4
2 ,2
2 ,0
1 ,8
1 ,6
1 ,4
1 ,2
1 ,0
0 ,8
8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 1 0 0 1 0 1
Abbildung 7: I gegen 1/C aufgetragen für RV = 200Ω

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 18
Folgende Maximalwerte wurden dem Graphen 5 entnommen:
Imax = 2,71(±0,10)mA =⇒
1
C1
= 89,80(±0,30) 1
µF
1
Cmax
Imax
√2 = 1,92(±0,07)mA
= 92,90(±0,10) 1
µF
1
C2
= 96,20(±0,30) 1
µF
Mit diesen Werten lassen sich nun sämtliche andere Werte berechnen. Die
Ergebnisse folgen nun:
• Die Induktivität ergibt sich zu L = 2,35(±0,30)H
• Der Verlustwiderstand des Resonanzkreises beträgt R2 = 509,30(±34,14)Ω
• Die Werte für die Güte sind wieder an Kondensator und Spule identisch
und haben den Wert QL = QC = 29,03 mit ∆QL = 4,15 und ∆QC = 1,95.
• Die berechneten Spannungsabfälle haben die Werte UL = 58,06(±8,29)V
und UC = 58,06(±3,89)V .
• Leider stimmen sie auch diesmal mit den gemessenen Werten UL = 37,00(±0,10)V
und UC = 35,4(±0,10)V überein.
• Zum Schluss lässt sich noch der Innenwiderstand der Spule berechnen. Es
ergibt sich Ri = 309,30(±34,51)Ω
5.3 RV = 500Ω
Auch bei dieser Versuchsreihe werden die schon erklärten Formeln benutzt und
nicht näher erläutert.
Die folgende Tabelle 3 enthält die gemessenen und berechneten Werte für U, 1/C
und I sowie deren Fehler.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 19
U [mv] Fehler [mV] 1/C [1/µF] Fehler [1/µF] I [mA] Fehler [mA]
11,00 0,10 86,96 0,87 1,10 0,01
11,90 0,10 87,72 0,88 1,19 0,01
12,80 0,10 88,50 0,88 1,28 0,01
13,80 0,10 89,29 0,89 1,38 0,01
14,50 0,10 90,09 0,90 1,45 0,01
15,40 0,10 90,91 0,91 1,54 0,01
16,60 0,10 91,74 0,92 1,66 0,01
17,10 0,10 92,59 0,93 1,71 0,01
17,10 0,10 93,46 0,93 1,71 0,01
16,60 0,10 94,34 0,94 1,66 0,01
15,70 0,10 95,24 0,95 1,57 0,01
14,60 0,10 96,15 0,96 1,46 0,01
13,50 0,10 97,09 0,97 1,35 0,01
12,30 0,10 98,04 0,98 1,23 0,01
11,20 0,10 99,01 0,99 1,12 0,01
9,00 0,10 100,00 1,00 0,90 0,01
Tabelle 3: Werte für Serienschaltung bei RV = 500Ω
In Graph 6 wurden wieder I und 1/C gegeneinander aufgetragen.
I [m A ]
1 ,8
1 ,7
1 ,6
1 ,5
1 ,4
1 ,3
1 ,2
1 ,1
1 ,0
0 ,9
0 ,8
8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 1 0 0 1 0 1
Abbildung 8: I gegen 1/C aufgetragen für RV = 500Ω

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 20
Folgende Maximalwerte wurden dem Graphen 6 entnommen:
Imax = 1,71(±0,10)mA =⇒
1
C1
= 87,90(±0,30) 1
µF
1
Cmax
Imax
√2 = 1,21(±0,07)mA
= 93,10(±0,10) 1
µF
1
C2
= 98,40(±0,30) 1
µF
Mit diesen Werten lassen sich nun sämtliche andere Werte berechnen. Die
Ergebnisse stehen im Folgenden:
• Der Wert der Induktivität beträgt L = 2,36(±0,30)H
• Der Verlustwiderstand des Resonanzkreises beträgt bei dieser Schaltung
R3 = 835,56(±34,78)Ω
• Die Werte für die Güte sind wie bei den anderen beiden Versuchsreihen an
Kondensator und Spule identisch. sie haben den Wert QL = QC = 17,73
mit ∆QL = 2,35 und ∆QC = 0,74.
• Die berechneten Spannungsabfälle haben die Werte UL = 35,47(±4,71)V
und UC = 35,47(±1,48)V .
• Leider stimmen sie auch diesmal mit den gemessenen Werten UL = 26,10(±0,10)V
und UC = 25,80(±0,10)V überein.
• Der Widerstand der Spule berechnet sich zu Ri = 335,56(±35,14)Ω
6 Parallelresonanzkreis
6.1 Rp = ∞Ω
An den Parallelresonanzkreis wurde eine konstante Spannung von —U— = 5V
angelegt und wieder bei verschiedenen Kapazitäten der Spannungsabfall am 10Ω
Widerstand gemessen. In der folgenden Tabelle 4 sind die Werte der Resonanzkurve
f(C) sowie der gemessene Spannungsabfall eingetragen. Die Fehler für U ergeben
sich wieder bedingt durch das Messinstrument. Die Fehler für die Kapazität
errechnen sich wie bei Serienresonanzkreis ebenso die Fehler für die Stromstärke
berechnet wurde.
I welche wieder mit der Formel I = U
R

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 21
U [mv] Fehler [mV] C [µF] Fehler [µF] I [mA] Fehler [mA]
8,20 0,10 0,2851 0,0029 0,82 0,01
7,00 0,10 0,2801 0,0028 0,70 0,01
6,10 0,10 0,2751 0,0028 0,61 0,01
5,20 0,10 0,2701 0,0027 0,52 0,01
4,00 0,10 0,2601 0,0026 0,40 0,01
4,20 0,10 0,2501 0,0025 0,42 0,01
4,60 0,10 0,2451 0,0025 0,46 0,01
5,30 0,10 0,2401 0,0024 0,53 0,01
6,10 0,10 0,2351 0,0024 0,61 0,01
7,10 0,10 0,2301 0,0023 0,71 0,01
8,10 0,10 0,2251 0,0023 0,81 0,01
Tabelle 4: Werte für Parallelschaltung bei Rp = ∞Ω
Die Werte C und I wurden nun in Diagramm 7 gegeneinander aufgetragen.
I [m A ]
0 ,9 0
0 ,8 5
0 ,8 0
0 ,7 5
0 ,7 0
0 ,6 5
0 ,6 0
0 ,5 5
0 ,5 0
0 ,4 5
0 ,4 0
0 ,3 5
0 ,3 0
0 ,2 2 0 ,2 3 0 ,2 4 0 ,2 5 0 ,2 6 0 ,2 7 0 ,2 8 0 ,2 9
Abbildung 9: I gegen C aufgetragen für Rp = ∞Ω
Diesmal werden am Graphen nicht die Maximal-, sondern die Minimalwerte
abgelesen:
Imin = 0,39(±0,10)mA =⇒ Imax · √ 2 = 0,55(±0,14)mA
Cmin = 0,257(±0,002)µF
C1 = 0,238(±0,003)µF C2 = 0,272(±0,003)µF

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 22
Die Induktivität und deren Fehler berechnen sich beim Parallelresonanzkreis
mit Hilfe der Formeln
1
L =
(2πf) 2 (34)
· C
∆f
∆L =
2π2f 3 2
∆C
+
C 4π2f 2C 2
2 (35)
So ergibt sich für die Indukvitität L = 90,43(±1,87)mH.
Der gesamte Verlustwiderstand der Schaltung ergibt sich durch die Formeln
R1
∆R1
=
=
1
(36)
2πf(C2 − C1)
∆f
πf 2 2
2
2 ∆C2
∆C1
+
+
(37)
(C2 − C1) πf(C2 − C1) πf(C2 − C1)
Dieser Widerstand hat den Wert R1 = 8967,49(±1122,29)Ω.
Um den Innenwiderstand der Spule L2 zu berechnen, bedarf es eines kleinen
Umweges. Der Innenwiderstand Ri berechnet sich mit der Formel
R ′ p lässt sich über die Formel
Ri = Ω2 0L 2
R ′ p
R ′ p = RRp
Rp − R
berechnen und anschließend in 38 einsetzen. Die Fehlerberechnungen werden
jeweils über die Fehlerfortpflanzung durchgeführt und sind im Folgenden beschrieben.
8π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ′
2
f∆fL 8π f L∆L −4π f L ∆R p
∆Ri =
+
+
(40)
∆R ′ p =
R ′ p
R ′ p
2
∆R Rp(Rp − R) − (RRp)
(Rp − R) 2
(38)
(39)
(R ′ p) 2
R(Rp − R) − (RRp)
+ ∆Rp
(Rp − R) 2
2 (41)
Da es sich bei RP = ∞ um einen Spezialfall handelt, muss die Formel für den
Innenwiderstand abgeändert werden und es gilt
Ri = (2πf)2L 2
R
(42)
Für diese Schaltung ergibt sich mit Hilfe von Formel 42 der Wert Ri =
39,24(±5,23).
Der gemessene Wert der Spule liegt jedoch bei Ri = 19,0(±0,1), welcher wie
schon beim Serienresonanzkreis nicht in den Toleranzbereich des experimentell
bestimmten Wertes fällt.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 23
6.2 Rp = 10kΩ
Wie schon bei den verschiedenen Schaltungen des Serienresonanzkreises, werden
auch bei Parallelresonanzkreis die selben Formeln zur Berechnung verwendet und
deswegen nicht näher erläutert. Zunächst folgt die Tabelle mit den Werten und
Fehlern für U, C und I.
U [mv] Fehler [mV] C [µF] Fehler [µF] I [mA] Fehler [mA]
13,00 0,10 0,3001 0,0030 1,30 0,01
11,10 0,10 0,2901 0,0029 1,11 0,01
9,40 0,10 0,2801 0,0028 0,94 0,01
8,20 0,10 0,2701 0,0027 0,82 0,01
7,30 0,10 0,2601 0,0026 0,73 0,01
7,70 0,10 0,2501 0,0025 0,77 0,01
8,40 0,10 0,2401 0,0024 0,84 0,01
9,50 0,10 0,2301 0,0023 0,95 0,01
11,20 0,10 0,2201 0,0022 1,12 0,01
13,10 0,10 0,2101 0,0021 1,31 0,01
Tabelle 5: Werte für Parallelschaltung bei Rp = 10kΩ
Wieder wurden die Werte C und I in einem Diagramm gegeneinaner aufgetragen,
siehe Abbildung 8.
I [m A ]
1 ,4
1 ,3
1 ,2
1 ,1
1 ,0
0 ,9
0 ,8
0 ,7
0 ,6
0 ,2 0 0 ,2 1 0 ,2 2 0 ,2 3 0 ,2 4 0 ,2 5 0 ,2 6 0 ,2 7 0 ,2 8 0 ,2 9 0 ,3 0 0 ,3 1
Abbildung 10: I gegen C aufgetragen für Rp = 10kΩ

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 24
Die Minimalwerte wurden wieder im Graphen abgelesen:
Imin = 0,73(±0,10)mA =⇒ Imax · √ 2 = 1,03(±0,14)mA
Cmin = 0,256(±0,002)µF
C1 = 0,225(±0,003)µF C2 = 0,286(±0,003)µF
Mit diesen Werten lassen sich alle anderen Ergebnisse berechnen:
• Die Induktivität der Spule L2 beträgt L = 90,78(±1,88)mH.
• Der Verlustwiderstand hat einen Wert von R2 = 4998,27(±350,92)Ω.
• Der Innenwiderstand der Spule wurde zu Ri = 35,49(±1,62)Ω berechnet.
6.3 Rp = 2kΩ
Auch für einen Widerstand von Rp = 2kΩ folgt zunächst die Tabelle mit den
Werten und Fehlern für U, C und I.
U [mv] Fehler [mV] C [µF] Fehler [µF] I [mA] Fehler [mA]
36,20 0,10 0,3801 0,0038 3,62 0,01
32,60 0,10 0,3601 0,0036 3,26 0,01
29,20 0,10 0,3401 0,0034 2,92 0,01
26,30 0,10 0,3201 0,0032 2,63 0,01
24,20 0,10 0,3001 0,0030 2,42 0,01
23,20 0,10 0,2901 0,0029 2,32 0,01
22,80 0,10 0,2801 0,0028 2,28 0,01
21,70 0,10 0,2701 0,0027 2,17 0,01
21,50 0,10 0,2601 0,0026 2,15 0,01
22,10 0,10 0,2401 0,0024 2,21 0,01
23,40 0,10 0,2201 0,0022 2,34 0,01
25,30 0,10 0,2001 0,0020 2,53 0,01
27,90 0,10 0,1801 0,0018 2,79 0,01
31,10 0,10 0,1601 0,0016 3,11 0,01
34,60 0,10 0,1401 0,0014 3,46 0,01
Tabelle 6: Werte für Parallelschaltung bei Rp = 2kΩ
Auch bei diesem Widerstand wurden die Werte C und I in einem Diagramm
gegeneinaner aufgetragen, siehe Abbildung 9.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 25
I [m A ]
3 ,8
3 ,6
3 ,4
3 ,2
3 ,0
2 ,8
2 ,6
2 ,4
2 ,2
2 ,0
0 ,1 0 0 ,1 5 0 ,2 0 0 ,2 5 0 ,3 0 0 ,3 5 0 ,4 0
Abbildung 11: I gegen C aufgetragen für Rp = 2kΩ
Die Minimalwerte wurden wieder im Graphen abgelesen:
Imin = 2,15(±0,10)mA =⇒ Imax · √ 2 = 3,04(±0,14)mA
Cmin = 0,253(±0,002)µF
C1 = 0,158(±0,003)µF C2 = 0,348(±0,003)µF
Wie gehabt lassen sich mit diesen Werten alle anderen berechnen:
• Die Induktivität der Spule L2 ergibt sich zu L = 91,86(±1,90)mH.
• Der Verlustwiderstand hat einen Wert von R3 = 1604,71(±38,99)Ω.
• Der Innenwiderstand der Spule wurde zu Ri = 44,72(±3,93)Ω berechnet.

Experimentelle Übungen I E5 Tenberge, Südkamp 26
7 Diskussion
7.1 Serienresonanzkreis
Was bei der Auswertung dieses Versuchs aufgefallen ist, ist die Tatsache, dass
sich der errechnete Innenwiderstand der Spule sehr stark von dem, mit dem Multimeter
bestimmten, Innenwiderstand unterscheidet. Eine mögliche Fehlerquelle
liegt in der Erwärmung der Spule, da diese eine lange Zeit an den Stromfluss
angeschlossen war. Bei solch einer großen Abweichung allerdings liegt die Vermutung
nahe, dass hier noch weitere Faktoren eine Rolle spielen.
Die bestimmten Induktivitäten liegen jedoch alle dicht beieinander und im Toleranzbereich.
Weiterhin fällt positiv auf, dass die beiden Werte für die Güte (QL und QC) genau
übereinstimmen. Dieses Ergebnis trifft genau die Erwartungen, die von der
Theorie an das Experiment gestellt wurden.
Vergleicht man außerdem die gemessene Verlustspannung an den Bauteilen mit
den experimentell bestimmten sieht man, dass auch diese sehr weit von einander
entfernt liegen. Eine Fehlerquelle wird sein, dass die Fehler zu klein gewählt
wurden; weitere Fehlerquellen bleiben jedoch offen.
7.2 Parallelresonanzkreis
Wie auch beim Serienresonanzkreis stimmen die ermittelten Innenwiderstände
nicht mit dem Innenwiderstand überein, der mit Hilfe des Multimeters bestimmt
wurde. Die Fehlerquellen werden die gleichen sein, wie bereits beim Serienresonanzkreis.
Positiv fällt jedoch auf, dass auch bei dieser Schaltung die Werte der
Induktivität L2 sehr gut übereinstimmen, hier bedarf es keinerlei Korrektur.