Experimentelle¨Ubungen I O4 – Fresnelsche Formeln Protokoll

1 Matrikel-Nr. 349658
2 Matrikel-Nr. 350069
Experimentelle Übungen I
O4 – Fresnelsche Formeln
Protokoll
Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2
6. Mai 2009

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 1
Inhaltsverzeichnis
1 Thema 2
2 Theorie 2
3 Durchführung 8
3.1 Transmission von Glasplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Brechzahlen von Glasplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Extinktionskoeffizient von Graugläsern . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Reflexionsvermögen einer Glasplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Auswertung 10
4.1 Transmission von Glasplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Brechzahlen von Glasplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Extinktionskoeffizient von Graugläsern . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Reflexionsvermögen einer Glasplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Diskussion 13

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 2
1 Thema
Licht, das durch eine Grenzfläche mit zwei unterschiedlichen Brechzahlen tritt,
wird reflektiert und gebrochen. Je nach Polarisation und Einfallswinkel sind die
Amplituden bzw. Energien anders verteilt - dies wird durch die Fresnelschen
Formeln beschrieben.
2 Theorie
Abbildung 1: E- und B-Feld senkrecht zur
Einfallsebene polarisiert
Abbildung 2: E- und B-Feld parallel zur Einfallsebene
polarisiert
Die Fresnelschen Formeln sind vier Koeffizienten; zwei Reflexionskoeffizienten ρ
und zwei Transmissionskoeffizienten τ. Sie beschreiben das Verhältnis zwischen
einfallender und reflektierter bzw. transmittierter Amplitude des elektrischen Feldes
des Lichtes. Ist das elektrische Feld senkrecht der Einfallsebene polarisiert, so
gelten ρ⊥ und τ⊥ (siehe Abb. 1). Ist jenes parallel zur Einfallsebene polarisiert,
so gelten ρ und τ (siehe Abb. 2).
Die Fresnelschen Formeln:
ρ⊥ = Er⊥
Ee⊥
τ⊥ = Et⊥
Ee⊥
ρ = Er
Ee
τ = Et
Ee
= cos α − n cos β − β)
= −sin(α
cos α + n cos β sin(α + β)
2 cos α 2 cos α sin β
=
=
cos α + n cos β sin(α + β)
= n cos α − cos β tan(α − β)
=
n cos α + cos β tan(α + β)
2 cos α
=
n cos α + cos β =
2 cos α sin β
sin(α + β) cos(α − β)
(1)
(2)
(3)
(4)

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 3
Die letztere Umformung lässt sich leicht mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz
machen. Die Herleitung dieser Formeln folgt immer aus der Stetigkeit: Im Fall,
dass das elektrische Feld senkrecht zur Einfallsebene steht, gilt für die Beträge
des elektrischen Feldes und die zur Grenzfläche tangentiellen Komponenten der
magnetischen Feldstärke (das elektrische Feld ist immer tangential zur Grenzfläche):
Ee⊥ + Er⊥ = Et,⊥ (5)
He⊥ · ey + Hr⊥ · ey = Ht⊥ · ey (6)
He⊥ cos α − Hr⊥ cos α = Ht,⊥ cos β (7)
Nutzt man nun die Beziehung zwischen den Amplituden von dem elekrischen
und magnetischen Feld aus: H0 = 1
vµ0 E0, wobei v die Ausbreitungsgeschwindig-
keit der Welle im Medium mit v < c und c
v
= n ist, folgt:
Ee⊥ − Er⊥ = c
v Et⊥
cosβ
cos α
=
cosβ
n · Et⊥
cos α
Addiert man nun (5) dazu erhält man die gesuchte Relation zwischen einfallender
und gebrochener Welle:
2Ee⊥ =
cos β
Et⊥(1 + n
cos α
=
cos α + n cos β
Et⊥
⇒ τ⊥ =
cos α
2 cos α
cos α + n cos β
Bildet man die Differenz jener Gleichungen findet man ρ⊥:
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
2Er⊥ =
cos β
Et⊥(1 − n )
cos α
(13)
= Et⊥ cos α − n cos β
Ee⊥
Ee⊥ cos α
(14)
⇒ ρ⊥ =
cos α − n cos β
cos α + n cos β
(15)
Die Herleitung von ρ und τ erfolgt analog aus der Stetigkeit für die tangentiellen
Komponenten hinsichtlich der Grenzfläche.
Schaut man sich die Fresnelschen Formeln etwas genauer an, fallen zwei Dinge
auf: Zum Einen ist in ρ⊥ ein Minuszeichen; dies beschreibt den Phasensprung, der
bei der Relfexion an optisch dichteren Medien stattfindet. Zum Anderen ist im
gegen Unendlich,
Nenner von ρ die Tangensfuntion. Diese geht an der Stelle π
2

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also: lim(α+β)→ π tan(α + β) = ∞. In diesem bestimmten Fall hat der reflektier-
2
te Lichtstrahl höchstens die Komponente senkrecht zur Einfallsebene, ist also
vollständig durch Reflektion polarisiert worden, bzw. wird unter diesem Winkel
nicht reflektiert, falls der Strahl zuvor senkrecht der Einfallsebene polarisiert gewesen
ist. Für den Fall, dass α + β = π versieht man die Winkel mit einem
2
p-Indize; αp heißt Brewster Winkel:
sin βp = sin π
2 − αp
sin αp = n sin βp ⇒ n
=
=
cos αp
sin αp
sin βp
(16)
(17)
= sin αp
cos αp
(18)
n = tan αp (19)
(17) ist das Snelliussche Brechungsgesetz und (19) das Brewstersche Gesetz.

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 5
Abbildung 3: Berücksichtigung der Bündelquerschnitte
Interessiert man sich anstatt der Amplituden für die Energie bzw. Intensität
des Lichts, da man diese messen (und sehen) kann, führt man die Begriffe
Reflektions- und Transmissionsvermögen - R und T - ein. Sie sind durch den
Quotienten von reflektierter bzw. transmittierter und einfallender Lichenergie
definiert. Man erhält die Lichtenergie eines Lichtbündels, wenn man die Lichtintensität
mit der Querschnittsfläche multipliziert. Die Querschnittsfläche von einfallendem
und reflektiertem Lichtbündel ist gleich (vgl. Abb. 3). Die Beziehung

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 6
zwischen der Querschnittsfläche von einfallender und transmittierter Fläche ist
cos β = At
(20)
A
cos α = sin( π
− α) (21)
2
= Ae
A
Damit folgt für das Reflektionsvermögen R:
R = | < Sr > |Ar
| < Se > |Ae
Und für das Transmissionsvermögen:
T = | < St > |At
| < Se > |Ae
= E2 r
E 2 e
= c E
v
2 t cos β
E2 e cos α
= |ρ| 2
= n|τ|2 cos β
cos α
(22)
(23)
(24)
R und T gelten sowohl für den Fall, dass das Licht senkrecht der Einfallsebene
polarisoert ist, als auch für den anderen. Ebenfalls lässt sich die Übereinstimmung
mit dem Energiesatz zeigen:
T + R = 1 (25)
Senkrechter Lichteinfall; Berücksichtigung mehreren Grenzflächen
und Absorption
Für den Fall, dass α und β Null sind, erhält man:
n − 1
ρ =
n + 1
n − 1
R =
n + 1
2
und τ = 2
n + 1
und T =
4n
(n + 1) 2
(26)
(27)
Da das Reflexionsvermögen mit n = 1,5 sehr klein ist (4%), können Mehrfachreflektionen
vernachlässigt werden. Bei einer Glasplatte muss man zwei Grenzflächen
berücksichtigen, bei zwei hintereinander gestellten Platten vier. Sei Se die
auf die Glasplatte einfallende Lichtintensität, St1 die durch die erste Grenzfläche
und St1 die durch die zweite Grenzfläche transmittierte Lichtintensität. Dann
gilt:
St2
St1
=
4 1
n
1
n + 1 2 =
Bei k Grenzflächen gilt entsprechend:
Stk
Se
= T k
4n St2
= T ⇒
(n + 1) 2
Se
⇒ T = k
Stk
Se
= T 2
(28)
(29)

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 7
Aus einem gemessenen Transmissionsvermögen kann man nach (27) Rückschlüsse
auf die Brechzahl ziehen:
2 2
2
n1,2 = − 1 ± − 1 − 1 (30)
T T
Ein Ergebnis liefert n und ein Ergebnis 1 , das die Brechzahl beim Übergang vom
n
optisch dichteren zum dünneren Medium widerspiegelt. Absorbiert ein Medium
Licht, so nimmt die Intnsität exponentiell mit zunehmender Eindringtiefe x ab:
S(x) = Se · e −κx
κ ist der Extinktionskoeffizient. Liegen zudem noch k Grenzflächen vor, so gilt:
Stk(x) = Se ·
4n
(n + 1) 2
k · e −κx
(31)
(32)

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3 Durchführung
3.1 Transmission von Glasplatten
Die Grafik veranschaulicht den Versuchsaufbau zur Messung der Transmission
von Glasplatten. Vor der eigentlichen Messung werden die Elemente so angeordnet,
dass das Amperemeter einen möglicht hohen Wert zeigt.
3.2 Brechzahlen von Glasplatten
Mit Hilfe von (30) wollen wir die Brechzahlen verschiedener Glasplatten bestimmen.
Wir bringen sie dazu einzeln und zusammen in den Strahlengang und messen
Stk und Se. Die Anzahl der Grenzflächen k entspricht der doppelten Anzahl der
Glasplatten.
3.3 Extinktionskoeffizient von Graugläsern
Zur Bestimmung des Koeffizienten wird grundsätzlich der gleiche Versuchsaufbau
wie zuvor genutzt. Die Brechzahl der Graugläser ist mit n = 1,5 bereits bekannt.
Zu messen sind erneut Stk und Se, sowie die Dicke der Platten. Sie wird mit der
Mikrometerschraube bestimmt.

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 9
3.4 Reflexionsvermögen einer Glasplatte
Den Versuchsaufbau zeigt die obige Grafik. Die Anordnung wird zentriert und es
wird zunächst das Gerät so eingestellt, dass ein möglichst kleiner Lichtfleck auf
der einseitig geschwärzten Glasplatte zu sehen ist. Nun wird die Intensität des
reflektierten Lichts in paralleler und senkrechter Polarisationsrichtung gemessen.
Die Glasplatte wird dazu in Schritten von 5 ◦ gedreht und die Photozelle jeweils
bis zum maximalen Ausschlag geschwenkt.

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4 Auswertung
4.1 Transmission von Glasplatten
Der maximal erreichbare Wert am Amperemeter betrug I = 498µA. Entsprechend
der Anzeige des Gerätes gehen wir von einem Fehler ∆I = 1µA aus.
4.2 Brechzahlen von Glasplatten
Die Tabelle zeigt die Ergebnisse der Messung. Die Brechzahl n fanden wir durch
einsetzen in Formel (30). Den dazu nötigen Wert von T lieferte Formel (27).
I[µA](±1) k T n
Ohne Plättchen 498 0
Dickes Plexi 462 2 0,96 1,47
Dünnes Plexi 474 2 0,98 1,37
Beide Plexi 441 4 0,97 1,42
Glasplatte 1 471 2 0,97 1,40
Glasplatte 2 474 2 0,98 1,37
Beide Glas 452 4 0,98 1,37
4.3 Extinktionskoeffizient von Graugläsern
I [µA] (±1) k −κx d [mm] ∆d[mm]
Dickes Grauglas 229 2 -0,70 2,04 0,01
Dünnes Grauglas 367 2 -0,22 0,95 0,01
Beide Grauglas 130 4 -1,18 2,99 0,02
Der Tabelle sind die gemessenen Stromstärken bei den verschiedenen Graugläsern
sowie ihre Dicke zu entnehmen. Außerdem findet sich das Ergebnis der Formel
aus der Versuchsanleitung:
Stk
4n
− κx = ln − k · ln
(n + 1) 2
(33)
Se
Aus der grafischen Auftragung von −κx gegen x soll nun der Extinktionskoeffizient
bestimmt werden. In der folgenden Grafik sind die drei Messwerte und
ein linearer Fit dazu aufgetragen:

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 11
0,00
‐0,20
‐0,40
‐0,60
‐0,80
‐1,00
‐1,20
‐1,40
0
 0,5
 1
 1,5
 2
 2,5
 3
 3,5
y
=
‐0,4678x
+
0,233
Der Extinktionskoeffizient beträgt also κ = 0,46.
4.4 Reflexionsvermögen einer Glasplatte
Datenreihe1
Linear(Datenreihe1)
Die gemessenen Intensitäten sehen wie folgt aus. Auf Grund technischer Gegenbeheiten
konnten Winkel unter 15 ◦ nicht gemessen werden.
α[ ◦ ](±1) |ρ|[µA](±0,1) |ρ⊥|[µA](±0,1)
15 1,38 1,52
20 1,34 1,58
25 1,26 1,67
30 1,18 1,82
35 1,05 1,97
40 0,95 2,14
45 0,77 2,30
50 0,55 2,61
55 0,32 2,93
60 0,55 3,32
65 1,05 3,83
70 1,84 4,36
75 2,77 5,14
80 4,20 5,94
85 5,50 6,60
Der entsprechende Graph sieht so aus:

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 12
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
0
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 70
 80
 90
 100
Parallel
Senkrecht
Der gesuchte Nulldurchgang scheint nicht vorhanden, wir nehmen ihn aber bei
55(±5) ◦ an. Hier ist eventuell Umgebungslicht auf die Photodiode gefallen, so dass
in jedem Falle ein kleiner Grundstrom floss. Wenn dies nun also der Brewsterwinkel
αB ist, so beträgt die Brechzahl n = tan(αB) = 1,43(±0,30).

Experimentelle Übungen I O4 Tenberge, Südkamp 13
5 Diskussion
Unsere Werte lagen im Rahmen der Erwartungen. Das Umgebungslicht im Raum
mag trotz Abdunklung das Ergebnis verfälscht haben, da vor allem beim letzten
Versuchsteil teils extrem kleine Ströme flossen. Hier hätte man sicherlich
einmal den Wert ablesen können, den das Amperemeter bei abeschalteter Lampe
zeigt, um diesen dann von den Messwerten abzuziehen. Leider haben wir er
versäumt, diesen Wert bei der Durchführung aufzunehmen, so dass diese Korrektur
nachträglich nicht mehr möglich war.