Experimentelle¨Ubungen I M5 – Das Maxwellsche Fallrad Protokoll

1 Matrikel-Nr. 349658
2 Matrikel-Nr. 350069
Experimentelle Übungen I
M5 – Das Maxwellsche Fallrad
Protokoll
Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2
19. November 2008

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 1
Inhaltsverzeichnis
1 Theorie 2
1.1 Fallbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Durchführung 5
2.1 Zubehör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Messgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Auswertung 6
3.1 Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Bestimmung des Abrollradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Diskussion 9

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 2
1 Theorie
Beim Maxwellschen Fallrad handelt es sich um eine Schwungscheibe, die über
eine starre Achse an einem dünnen Faden aufgerollt ist. Beim Abrollen vollführt
sie eine kominierte Dreh- und Fallbewegung. Im Alltag kennt man es unter dem
Namen JoJo vor allem als Spielzeug für Kinder.
1.1 Fallbeschleunigung
Hält man das Ende des Fadens fest und lässt das Fallrad los, so wird es von
der Erdbeschleunigung zu einer Abrollbewegung gezwungen, deren Drehachse
parallel zur Symmetrieachse etwa durch die Mitte des Fadens verläuft. Mit dem
Abrollradius R und der Masse des Rades m lässt sich das Drehmoment M mit
M = Rmg (1)
beschreiben. Nach der Newtonschen Bewegungsgleichung gilt gleichsam
M = J dω
. (2)
dt
Durch Anwenden des Steinerschen Satzes, dass das Trägheitsmoment durch
eine beliebige Achse gleich dem einer Achse durch den Schwerpunkt vermehrt um
mR 2 ist, ergibt sich
dω
dt (Js + mR 2 ) = Rmg. (3)
Zur Herleitung der Bewegungsgleichung wird noch der Fallweg h benötigt,
dann ergibt sich über den Zusammenhang
und
dh
dt
= ωR (4)
d2h gmR2
= = const = g∗
dt2 Js + mR2 schließlich durch zweimalige Integration über t mit h(0) = 0 und dh(0)
= 0
dt
die fertige Gleichung
(5)
h(t) = 1 gmR
2
2
Js + mR2 t2 = 1
2 g∗t 2 . (6)

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 3
1.2 Trägheitsmoment
Das oben bereits benutzte Trägheitsmoment Js setzt sich additiv aus den Teilmomenten
der einzelnen Bauteile des Fallrades, Ring, Speichen, Buchse und Achse
zusammen. Der Versuchsanleitung entsprechend wird der Beitrag der Buchse vernachlässigt.
Achse und Ring lassen sich über die Formel für das Trägheitsmoment
einen Hohlzylinders bezüglich seiner Symmetrieachse berechnen:
J = 1
2 πHϱ(R4 a − R 4 i ) (7)
Das Trägheitsmoment der Speichen wird entsprechend mit der Formel für
Hohlzylinder der senkrecht zur Symmetrieachse gedreht wird berechnet:
1
J = πHϱ
12 H2 (R 2 a − R 2 i ) + 1
4 (R4 a − R 4
i )
(8)
In beiden Fällen sind Ra und Ri Außen- bzw. Innendurchmesser, H die Höhe
des Zylinders und ϱ die Dichte des Materials, die mit ϱ = V
zu bestimmen ist.
m
1.3 Zusatzaufgaben
1.3.1 Bewegungsgleichung
Wir gehen davon aus, dass die Gesamtenergie erhalten bleibt, also keiner zeitlichen
Änderung unterliegt:
˙E = dE
dt
Die Einzelenergien sind dabei
= d
dt (Etrans + Erot + Epot) = 0 (9)
Etrans = m
2 v2 = m
2
Erot = Js
2 ω2 = Js
2R 2
Epot = −mgh
dh
dt
2
dh
dt
Die potentielle Energie ist negativ, da der Ursprung unseres Koordinatensystems
am obersten Punkt des Fadens liegt. Durch einfaches Einsetzen kommt man
zu
0 = d
2 m dh
+
dt 2 dt
Js
2R2
2
dh
− mgh
dt
2

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 4
und die Kettenregel liefert erwartungsgemäß und in Übereinstimmung mit der
Gleichung (6):
1.3.2 Kräfte
0 = m dh d
dt
2h Js
+
dt2 R2 dh d
dt
2h dh
− mg
dt2 dt
⇔ mg = d2h dt2
m + Js
R2
⇔ mg = d2h dt2 2 mR + Js
R2
⇔ d2h mR2
= g
dt2 mR2 + Js
Die Gesamtkraft Fges, die auf die Aufhängung des Rades wirkt, setzt sich zusammen
aus Gravitationskraft Fg (Gravitationskraft) und Frot aus der Rotation des
Rades. Seit Newton wissen wir:
Fg = mg
Frot = −m ¨ h
Auch hier folgt das Minuszeichen aus der etwas ungewöhnlichen Lage des Koordinatenursprungs
oberhalb des Versuches. Die Addition der beiden Kräfte zur
Gesamtkraft lässt sich noch vereinfachen:
Fges = Fg + Frot
= mg − m ¨ h
= mg − mg mR2
Js + mR2
= mg 1 − mR2
Js + mR2
Zwei Dinge fallen auf: Die Gesamtkraft ist zeitunabhängig und das bewegte
Rad übt eine kleinere Kraft auf die Aufhängevorrsichtung aus als das ruhende.

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 5
2 Durchführung
2.1 Zubehör
• 1 Maxwellsches Fallrad mit Aufhängevorrichtung
• 1 Messlatte
• 1 Schiebelehre
• 1 Stoppuhr
2.2 Durchführung
Zur Bestimmung des Trägheitsmoments Js messen wir am Fallrad alle relevanten
Größen mit der Schiebelehre. Auch ohne vorherige Fehlerfortpflanzungsrechnung
zeigt sich, dass die Größen Ra, Ri und H besonders exakt bestimmt werden
müssen um das Trägheitsmoment möglichst exakt zu berechnen. Um vernünftige
Werte zu erhalten messen wir jeden Wert fünfmal an verschiedenen Stellen, mit
dem Durchmesser des Fadens verfahren wir genauso; das Gewicht m bestimmen
wir mit der vorhandenen Waage.
Nachdem der Versuchsaufbau vermessen wurde führen wir den Versuch durch,
indem wir das Fallrad von fünf unterschidlichen Höhen jeweils fünfmal lassen und
die benötigte Fallzeit t mit der Stoppuhr.
2.3 Messergebnisse
2.3.1 Messgenauigkeit
Auf der Waage war die Messgenauigkeit mit ±0,01 g exakt angegeben. Die Messlatte
lässt sich auf ±1 mm genau ablesen, das exakte Anhalten zum Messen der
Höhe ist aber schwierig, wir gehen daher sicherheitshalber von ±2 mm aus. Die
Genauigkeit des Messschiebers beträgt 0,05 mm, da sich das Plastik aber relativ
leicht verformen und damit das Messergbnis leicht verfälschen lässt rechnen wir
mit ±0,1 mm für Ra, Ri und H.
2.3.2 Mittelwerte
Die Mittelwerte unserer Vermessung sehen wie folgt aus:

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 6
Größe Messwert
H 1,16 ± 0,1 mm
Ra 95,1 ± 0,1 mm
Ra − Ri 12,0 ± 0,1 mm
R 4,5 ± 0,1 mm
lAchse 200 ± 0,1 mm
0,80 ± 0,1 mm
dSeil
Aus den jeweils fünf gemessenen Fallzeiten ergeben sich die folgenden Mittelwerte
für unsere einzelnen Fallhöhen von 200, 400, 600, 800 und 1000 mm. g ∗
wurde über den Zusammenhang hmax = 1
2 g∗ t 2 errechnet.
hmax [mm] tmax [s] g ∗ [ m
s 2 ]
200±2 3,436±0,15 0,034
400±2 5,056±0,07 0,031
600±2 6,242±0,07 0,030
800±2 7,310±0,10 0,030
1000±2 8,004±0,07 0,031
Wir werden später einen Wert für g ∗ benötigen und rechnen dann mit dem
Mittelwert ¯g ∗ = 0,031 m
s 2 .
3 Auswertung
3.1 Trägheitsmoment
Zunächst muss die Dichte ρ = m
bestimmt werden. m ist bereits bekannt, V
V
ergibt sich aus der Addition der Volumina der Einzelteile mit
V = 2VSpeiche + VAchse + VRing
= 2(πR 2 2Ri) + (πR 2 lAchse) + (πH(R 2 a − R 2 i ))
= 76,23 cm 3
Mit m = 808,01g führt dies zu einer Dichte von
ρ = 10,60 g
.
cm3 Damit ist das Trägheitsmoment
(10)
Js = 1
2 · π · 20 · 10,6 · 0,45 4
+ 1
2 · π · 1,16 · 10,6 · 9,5 4 − 8,9 4
+ 2 · π · 8,9 4
1
· 10,6
12 0,452 + 1
4 0,454
= 47483 gcm 3
(11)

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 7
3.2 Bestimmung des Abrollradius
Mit dem Ansatz
1 mR2
g
2 Js + mR2 t2 = 1
2 g∗t 2
R =
g ∗ Js
gm − g ∗ m
(12)
(13)
ergibt sich durch Einsetzen des gemessen Wertes für g∗ und Js:
0,031
R =
m
s2 ∗ 47483 gcm2 = 0,43 cm (14)
0,031 m
s 2 ∗ 808,01 g − 9,81 m
s 2 ∗ 808,01 g
Das entspricht einer Abweichung von etwas 5% vom gemessenen Wert 0,45 ±
0,02 cm.
3.3 Diagramme
Es folgen die geforderten Diagramme h/t, h/t 2 und h
t 2 /t. Sie wurden allesamt mit
Excel erstellt.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3,436
5,056
H[mm]
/
T[s]
6,242
7,31
8,004
0
 200
 400
 600
 800
 1000
 1200

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 8
70
60
50
40
30
20
10
0
11,806096
H[mm]
/
T^2[s]
25,563136
38,962564
53,4361
64,064016
0
 200
 400
 600
 800
 1000
 1200
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
H[mm]*T^2^(‐1)[s^2]
/
T
[s]
16,94
15,65
 15,40
14,97
 15,61
‐1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
Beim letzten Diagramm h
t2 /t ist zu beachten, dass die angegebenen Werte die
Einheit mm
s2 haben und entsprechend durch 1000 geteilt werden um auf m
s2 zu
kommen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei 17,91, was g∗ = 2∗0,018 m
s2 =
0,036 m
s 2 entspricht. Das die Messunsicherheit hier recht groß ist zeigt sich schon
daran, dass eigentlich eine Gerade parallel zur x-Achse erwartet worden wäre.
Die Standardabweichung von 0,0074 m
s 2 ist mit 20% des Messwertes groß.

Experimentelle Übungen I M5 Tenberge, Südkamp 9
4 Diskussion
Im Allgemeinen scheinen unsere Messungen relativ genau gewesen zu sein, da
unser errechneter Wert für R sehr nah am gemessenen liegt. Die größten Probleme
traten beim Ablesen der Schiebelehre auf, mit der sich vor allem Ra und Ri
nur schleht bestimmen ließen, da die Drechachse des Rades permanent im Weg
war. Das ausgerechnet diese beiden Werte bis in die vierte Potenz in die Berechnung
einfließen ist dabei besonders problematisch. Ansonsten treten die üblichen
Verdächtigen bei den Fehlerquellen auf: Das Stoppen der Zeit von Hand mit der
Stoppuhr unterliegt immer einem durch die Reaktionszeit bedingten systematischen
Fehler der sich auch durch wiederholtes Messen nicht vermeiden lässt und
obwohl die Genauigkeit der verwendeten Waage mit ±0,01 g angegeben war lassen
Schwankungen von bis zu 2 g auf dem Display vermuten, dass dies zumindest
unter unseren Laborbdingungen nicht den Tatsachen entspricht.