Experimentelle¨Ubungen I M1 – Pendel Protokoll - Jan-Gerd Tenberge

1 Matrikel-Nr. 349658
2 Matrikel-Nr. 350069
Experimentelle Übungen I
M1 – Pendel
Protokoll
Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2
4. Dezember 2008

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 1
Inhaltsverzeichnis
1 Theorie 2
1.1 Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Das Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Das Pohlsche Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Freier, ungedämpfter Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Freier gedämpfter Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 erzwungener, gedämpfter Fall . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Beschreibung des Versuches 7
2.1 Zubehör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Auswertung 8
3.1 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Das Pohlsche Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Diskussion 12

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 2
1 Theorie
1.1 Das mathematische Pendel
Ein mathematisches Pendel ist ein Pendel, bei dem die gesamte Masse m im
Massepunkt liegt. Dieser Massepunkt ist durch eine starre Verbindung der Länge
l vom Aushängepunkt reibungsfrei verbunden.
Damit die Rückstellkraft Fϕ = FG−
Fr linear zur Auslenkung ist, darf die
Auslenkung nur klein sein, sodass die
Näherung sinϕ = ϕ gilt. Mit dieser Näherung
ist die Rückstellkraft:
Abbildung 1: Mathematische Pendel
Fϕ = −mgϕ (1)
Und mit der Newtonschen Bewegungsgleichung
F = ma = F = m¨s = ml ¨ϕ
erhält man die Bewegungsgleichung des
mathematischen Pendels zu:
ml ¨ϕ = −mgϕ
⇔ ¨ϕ + g
ϕ = 0 (2)
l
Dies ist eine homogene Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators mit
der allgemeinen Lösung:
ϕ = A sin ω0t + B cos ω0t (3)
ϕ = C sin(ω0t + δ) (4)
A, B oder C und δ erhält man aus den Anfangsbedingungen. ω0 = g
= 2πf l
ist die Kreisfrequenz. Damit erhält man für die Schwingungsdauer T = 2π
ω0 :
l
T = 2π
g
(5)

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 3
1.2 Das Federpendel
Abbildung 2: Federpendel
Wird eine Feder aus der Gleichgewichtslage
ausgelenkt, wirkt auf sie eine
Rückstellkraft, die nach dem Hook’schem
Gesetz wie folgt gilt:
F = −Dx (6)
Mit der Proportionalitätskonste D als
materialabhängige Federkonstante.
Auch hier erhält man die Bewegungsgleichung der Schwingenden Masse über die
Newtonsche Bewegungsgleichung zu :
m¨x = −Dx
¨x + D
x = 0 (7)
m
Gleichung (7) beschreibt eine analoge Bewegung wie schon Gleichung (2) und
man erhält ω0 =
D
m und
m
T = 2π
D
Da die Feder ebenfalls eine Masse mF besitzt, die wie die Masse m schwingt,
muss diese noch brücksichtigt werden. Dazu setzt man die Gesamtmasse m zu
m + mF zusammen. Die Herleitung ist wie folgt:
3
Man betrachte einen Federabschnitt dl der Gesamtlänge a im Abstand l von
der Aufhängung: Dieser Abschnitt hat die Masse:
dmF = mF
sowie die Geschwindigkeit (v: Geschwindigkeit vom Federende und anhängender
Masse):
vl = v l
(9)
a
Also besitzt unser Abschnitt den Anteil kinetische Energie:
Durch Integration folgt:
EF eder =
dl
a
dE = 1
2 dmF v 2 l = 1
2 mF v
dE =
a
0
1
2 mF v
2 l2
2 l2
(8)
dl (10)
a3 1 mF
dl =
a3 2 3 v2
(11)

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 4
Die kinetische Energie des Systems samt anhängender Masse:
1.3 Das Pohlsche Rad
Ekin = 1 mF
(m +
2 3 )v2
(12)
Zur genaueren Untersuchung von freier und erzwungener und Schwingung im ungedämpften
und gedämpften Fall benutzen wir ein sogenanntes Pohlsches Rad.
Dieses besteht im wesentlichen aus einer Spiralfeder, die entweder manuell ausgelenkt,
oder über einen Motor in erzwungene Schwingung versetzt werden kann.
Eine Dämpfung erreicht man durch hinzuschalten einer Wirbelstrombremse.
Abbildung 3: Das Pohlsche Rad
Unsere bisherigen Ergebnisse bezüglich des linearen, harmonischen Oszillators
lassen sich leicht auf das Pohlsche Rad übertragen: Hier liegt eine harmonische
Drehschwingung vor und wir kommen zu den selben Formeln, wenn wir Strecke
x(t) ersetzen durch Winkel ϕ(t), Kraft F durch Drehmoment M, Masse m durch
Trägheitsmoment J und die Federkonstante D durch Torsionskonstante K.
1.3.1 Freier, ungedämpfter Fall
Die Bewegungsgleichung in diesem Fall lautet:
¨ϕ + K
ϕ = 0
J
(13)
⇒
K 2π
ω0 = = 2πf =
J T
(14)
Wir werden (14) brauchen um die Eigenfrequenz ω0 des Pohlschen Rades zu
ermitteln.

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 5
1.3.2 Freier gedämpfter Fall
Wir betrachten hier eine Dämpfung die linear, proportional zur Winkelgeschwindigkeit
ist M = −r ˙ϕ. Die Bewegungsgleichung lautet dann in Normalform:
⇒ ¨ϕ + r
J
K
˙ϕ + ϕ = 0 (15)
J
r entspricht hierbei einer Dämpfungskonstanten. Wir verwenden folgende Abkürzungen:
2ρ = r
. Die Bewegungsgleichung lautet somit:
J sowie ω2 0 = K
J
¨ϕ + 2ρ ˙ϕ + ω 2 0ϕ = 0 (16)
Als Lösungsansatz wählt man die e-Funktion ϕ(t) = c · e λt und erhält durch
zweimaliges Differenzieren:
mit der Lösung:
λ 2 + 2ρλ + ω 2 0 = 0 (17)
λ1,2 = −ρ ±
ρ 2 − ω 2 0
(18)
Nun kann man zwischen 3 verschieden starke Dämpfungen unterscheiden. Im
Versuch wird aber nur der dritte Fall behandelt:
• Bei sehr starker Dämpfung tritt der Kriechfall auf. ρ ist größer als ω0 und
somit sind die beiden Lösungen von (18) beide reel und positiv. Eingesetzt
in den Lösungsansatz erhält man zwei langsam monoton abfallende Terme,
es kommt also zu keiner Schwingung.
• Falls die Dämpfung ρ genau so groß ist wie die Eigenfrequenz kommt es
zum aperiodischem Grenzfall. Es gibt dann nur eine Lösung von (18),
die reel und positiv ist. Es muss eine zweite linear unabhängige Lösung für
die Bewegungsgleichung gefunden werden. Mit dem Ansatz
ϕ(t) = (A + Bt) · e ωt
(19)
Mit den sinnvollen Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = ϕ0 und ˙ϕ(t = 0) = 0
erhält man:
ϕ(t) = ϕ0(1 − ω0t) · e −ω0t
(20)
• Für die geforderte schwache Dämpfung also für ρ < ω0 ergibt sich mit der
Abkürzung: ω 2 = ω 2 0 − ρ 2 0:
λ1,2 = −ρ ± √ −ω 2 = −ρ ± iω (21)
Als Lösung erhält man mit den Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = ϕ0 und
˙ϕ(t = 0) = 0:
ϕ(t) = ϕ0e −ρt cos (wt + δ) (22)

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 6
Man erhält also eine (co)sinus-förmige Schwingung, die durch eine exponentielle
Abnahme eingehüllt wird. Im Grenzfall ρ −→ 0 erhält man den
ungedämpften freien Fall mit der Kreisfrequenz ω0. Ist ρ = 0 so verringert
sich die Kreisfrequenz zu ω = ω 2 0 − ρ 2
1.3.3 erzwungener, gedämpfter Fall
Schaltet man einen periodischen Antrieb mit dem Drehmoment M0cos(ωt) an die
Drehscheibe, so ergibt sich als Bewegungsgleichung:
¨ϕ + 2ρ ˙ϕ + ω 2 0 = µcos(ωt) mit µ = M0
J
(23)
Die durch den Antrieb erzeugte Schwingung überlagert sich ggf. mit der freien
Schwingung des Systems, welche bei Dämpfung langsam abklingt. Ist dieser Einschwingvorgang
abgeschlossen, gleicht die Energiezufuhr durch den Antrieb die
Reibungsverluste aus und der stationäre Zustand ist erreicht. Eine Lösung der
Bewegungsgleichung ist:
ϕ(t) = ϕ0cos(ωt − α) (24)
mit ϕ0 =
µ
(ω2 − ω2 o) 2 + 2ρ2ω2 −2ρω
und tan(α) =
ω2 − ω2 0
Ist ω = ω 2 0 − 2ρ 2 , so befindet sich der Antrieb in Resonanz und die die Amplitude
maximal. Bei kleinen Dämpfungen ρ wird die Resonanz ausgeprägter. Für
ρ → 0 tritt die sogenannte Resonanzkatastrophe ein (ρ → infty).

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 7
2 Beschreibung des Versuches
2.1 Zubehör
• 1 Fadenpendel mit Halterung
• 1 Federpendel mit Bügel, Gewichtsschälchen und Wendelfeder
• 1 Pohlsches Rad mit Steurung
• 1 Waage
• 1 Messlatte
• 1 Schieblehre
• 1 Stoppuhr
2.2 Durchführung
Mathematisches Pendel
In diesem Versuch wollen wir mit Hilfe des mathematischen Pendels die Erdbeschleunigung
g bestimmen. Dazu haben wir die Schwingungsdauer in Abhängigkeit
von der Pendellänge l für je fünf verschiedene Pendellängen mit einer Stoppuhr
gemessen (Abbildung 1)
Federpendel
Ziel dieses Versuchs war es, die Federkonstante D der Feder zu bestimmen. Es
wurden zwei unterschiedliche Methoden verwendet:
• Bei der statischen Methode haben wir fünf verschiedene Gewichtsstücke
auf das Gewichtsschälchen gelegt und die jeweilige Auslenkung gemessen.
• Für die dynamische Methode wurde die Schwingungsdauer für fünf verschiedene
Gewichte gemessen.
Aufgebaut ist die Feder wie in Abbildung 2.
Pohlsches Rad
Zunächst haben wir uns mit den verschiedenen in der Theorie näher erläuterten
Bewegungsmöglichkeiten des ebenfalls dort beschriebenen Pohlschen Rades vertraut
gemacht. Danach haben wir die Eigenfrequenz einmal durch Messung der
Schwingungsdauer mit Hilfe einer Stoppuhr und ein zweites Mal durch Verwendung
des bereitgestellten Sensors inklusive Laptops mit der Software CassyLab.

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 8
Mittels der Wirbelstrombremse der Vorrichtung des Pohlschen Rades haben wir
zwei unterschiedliche Dämpfungen eingestellt und die Eigenfrequenz mit Hilfe
von CassyLab ermittelt. Dieser Versuchsteil wurde ohne äußere Anregung durchgeführt.
Im letzten Teil des Versuchs haben wir zunächst eine Eichkurve für die Frequenz
der Anregung ω und der angelegten Spannung am Tachoausgang. Anschließend
haben wir für zwei verschiedende Dämpfungen die Abhängkeit von der Amplitude
der Schwingung ϕ0 zu w für 20 Messwerte gemessen. In der Umgebung der
Resonanzfrequenz wurden die Messabstände dichter gewählt.
3 Auswertung
3.1 Mathematisches Pendel
Um die Unsicherheit der Zeitmessung unter 20% der Gesamtunsicherheit zu halten
muss folgende Vorraussetzung gelten:
Es gilt:
∆g
g =
∆g
g =
→ ∆T
T =
∆T
T
≤ 0, 2∆g
g
2 1 (4π T 2 ∆l) 2 2 l − (8π T 3 ∆T ) 2
(4π 2 l
T 2 ) 2
( ∆l
l )2 − 2 ∆T
0, 04 ∆l
0, 84 l
T )2
(25)
(26)
Mit ∆T = 0, 2s ergeben sich je nach Länge l sehr hohe Messzeiten (Im Bereich
zwischen 2000s - 10000s). Da aber das Pendel bedingt durch äußere Einflüsse
nicht so lange schwingt, haben wir jeweils 50 Schwingungen gemessen:
Länge l [cm] gemessene Zeit [s] ±0, 5s Periodendauer Tp [s]
30,6 ±0, 1 55,65 1,13 ±0, 023
43,2 ±0, 1 65,69 1,31 ±0, 027
55,5 ±0, 1 74,54 1,49 ±0, 030
70,0 ±0, 1 83,90 1,68 ±0, 034
88,2 ±0, 1 84,12 1,68 ±0, 034
Tabelle 1: Messzeiten für die Bestimmung der Erdbeschleunigung
Mit diesen Messwerten ergibt sich folgendes Diagramm:

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 9
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
Pendelzeit
[t]
gegen
Wurzel
der
Pendellänge
[cm]
y
=
0,19x
0,00
 2,00
 4,00
 6,00
 8,00
 10,00
 12,00
Wurzel(l)
Linear(Wurzel(l))
Abbildung 4: Pendelzeit gegen die Wurzel der Pendellänge
Die Steigung der linearen Regression (erstellt mit Excel 2008) beträgt s =
0, 19 ± 0, 052 s √ . Daraus ergibt sich für g = cm 4π2
s2 = 1093 ± 299 cm
s2 Der Literaturwert für g liegt bei g = 981 cm
s2 .
3.2 Federpendel
Um auch bei dieser Messung die Unsicherheit der Zeitmessung bei weniger als
20 % der Gesamtunsicherheit zu halten wurde eine zum mathematischen Pendel
analoge Rechnung durchgeführt. Auch hier würde eine Messung benötigt werden,
die weit über der tatsächlichen Schwingungsdauer des Pendels liegen würde. Die
Messung wurde daher mit folgenden Werten durchgeführt:
Masse m [g] Auslenkung x [cm] D [ g
s 2 ] ∆D
12,50 0,8 ±0, 2 15328 3860
25,00 1,4 ±0, 2 17517 2559
50,00 2,8 ±0, 2 17517 1361
100,00 5,6 ±0, 2 17517 823
200,00 11,3 ±0, 2 17362 613
Tabelle 2: statische Bestimmung der Federkonstante
Für die Federkonstante ergibt sich damit im Mittel ¯ D = 17049 ± 1843 g
s2 . Die
Fehler wurden per Fehlerfortpflanzung berechnet:
∆D =
g m
∆x
x2 2
+
m
x ∆g
2 (27)

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 10
Die Werte für die dynamischen Bestimmung folgen:
Masse m [g] Periodendauer Tp [s] D [ g
s 2 ] ∆D
100 0,68 ±0, 035 11517 2172
150 0,63 ±0, 033 18051 3633
200 0,71 ±0, 037 18164 3250
250 0,79 ±0, 041 17965 2901
300 0,86 ±0, 044 17958 2673
Tabelle 3: dynamische Bestimmung der Federkonstante
Für die Federkonstante ergibt sich damit im Mittel ¯ D = 16731 ± 2926 g
s2 .
Die Fehler sind wieder mit Fehlerfortpflanzung berechnet worden:
8π
2 2
m
∆D = ∆T
(28)
T 3
3.3 Das Pohlsche Rad
Zunächst haben wir die Eigenfrequenz des pohlschen Rades für die freie (näherungsweise
ungedämpfte) Schwingung auf zwei verschiedene Arten bestimmt. Nach ω = 2π
T
und ∆ω =
2π
∆T
T 2 folgt:
Periodenzeit T [s] Eigenfrequenz ω0 [ 1
s ]
Stoppuhr 1,87 ± 0,08 3,65 ± 0,023
CassyLab 1,88 ± 0,01 3,60 ± 0,003
Tabelle 4: Bestimmung von ω0 für die freie Schwingung
Mit Hilfe der Wirbelstrombremse wurden anschließend zwei verschiedene Dämpfungen
(300mA und 500mA) eingestellt und die Eigenfrequenz und die exponentielle Abnahme
in CassyLAB mit Hilfe der Funktion Einhüllende“ abgelesen. Die Werte
”
betragen für ρ 0, 06 1
1
1
1
bzw. 0, 146 und für ω 3, 32 bzw. 3, 35 s s s s .
Danach wurde das Pendel mit Hilfe des Exzenters und der Wirbelstrombremse
zu einer erzwungenden und gedämpften Schwingung angeregt. Zur einfacheren
Auswertung wurde eine Eichkurve erstellt, die den Zusammenhang zwischen der
Frequenz der Anregung und der Spannung am Tachoausgang wiedergibt.

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 11
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
‐0,2
y
=
0,067x
‐
0,0284
0
 5
 10
 15
 20
 25
Abbildung 5: Eichkurve
Datenreihe1
Linear(Datenreihe1)
Anschließend haben wir für zwei verschiedene Dämpfungen die Abhängigkeit
der Amplitude ϕ0 und ω gemessen. Die Messwerte sind in den folgenden Diagrammen
dargestellt, wobei die Spannung unter Verwendung der Eichkurve direkt in
die Eigenfrequenz umgerechnet wurde.
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
Amplitude
[m]
gegen
Erregerfrequenz
[1/s]
bei
Dämpfung
mit
300mA
0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
Abbildung 6: Messwerte der ersten Dämpfung
Das Maximum dieses Diagramms liegt bei 3,271 1.
Damit folgt nach
s
2 ω0 − ω2 = ρ (29)
2
für die Dämpfung ρ1 = 1, 09.

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 12
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
Amplitude
[m]
gegen
Erregerfrequenz
[1/s]
bei
Dämpfung
mit
500mA
0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
Abbildung 7: Messwerte der zweiten Dämpfung
Bei dieser Dämpfung liegt das Maximum hei 3,13 1.
Damit lässt sich die
s
Dämpfung berechnen: ρ2 = 1, 286.
4 Diskussion
• Unsere Versuchsergebnisse beim mathematischen Pendel haben uns den
Wert für g sehr exakt bestimmen lassen, es zeigte sich dass auch eine Messung
von nur 50 Schwingungen hinreichend genau ist. Die Messung bei der
größten Fadenlänge wurde durch eine Kollision mit der Wand leicht abgefälscht.
• Bei dem Versuch mit dem Federpendel konnten wir bei der statischen Be-
stimmung D sehr genau berechnen. Obwohl der errechnete Fehler bei 1844 g
s 2
liegt, beträgt die Standardabweichung der Werte nur 964 g
s 2 . Die dynami-
sche Bestimmung erwies sich mit einer Standardabweichung von 3143 g
s 2 und
einem errechneten Fehler von 2546 g
s 2 als weit weniger geeignet.
• Die Messungen am Pohlschen Rad sind durch den Einsatz mit Cassy-
LAB sehr genau. Die Frequenzen, Amplituden und Dämpfungen ließen sich
entsprechend gut ermitteln.