Diplomprüfung für Wirtschaftswissenschaftler ...

Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass aus den Kolmogoroffaxiomen für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß
P und zwei beliebige Mengen A,B die nachstehenden Eigenschaften folgen:
a) P (A ∩ B) ≥ 1 − P (A C ) − P (B C )
b) P (A ∩ B) ≤ min(P (A), P (B))
c) Falls P (A) = 0.8 und P (B) = 0.4, so gilt 0.25 ≤ P (B|A) ≤ 0.5
(5 + 4 + 3 = 12 Punkte)
Aufgabe 2
Zwei Würfel sind äußerlich nicht zu unterscheiden, aber einer von ihnen ist
gefälscht. Bei dem gefälschten Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für die
Augenzahlen 1 bis 5 jeweils 1/7, und für die Augenzahl 6 entsprechend 2/7.
Bei dem regulären Würfel treten die Augenzahlen 1 bis 6 alle mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit auf. Es wird nun einer der beiden Würfel zufällig
ausgewählt und zweimal geworfen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen 7
beträgt.
b) Angenommen die Summe der gewürfelten Augenzahlen beträgt tatsächlich
7. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um den gefälschten Würfel?
(6 + 4 = 10 Punkte)
Aufgabe 3
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig, wobei X bzw. Y die stetige
Verteilungsfunktion F bzw. G habe. Außerdem sei p(z) die Wahrscheinlichkeit,
dass der feste Wert z zwischen min(X, Y ) und max(X, Y ) liegt, d.h. es gilt
a) Zeigen Sie, dass gilt
P (min(X, Y ) < z < max(X, Y )) = p(z).
p(z) = F (z) + G(z) − 2F (z)G(z).
b) Nehmen Sie nun an, dass X und Y identisch verteilt sind, d.h. es gilt F (z) ≡
G(z). An welcher Stelle nimmt p(z) seinen maximalen Wert an?
(8 + 4 = 12 Punkte)