Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II

Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II 

Seminar Portfoliokreditrisiko 

Jan Jescow Stoehr

Gliederung 

1. Einführung / Grundlagen 

1.1 Ziel 

1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 

2. Kreditportfolio 

3. Simulation 

2.1 Konstruktion des Kreditportfolios 

2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 

3.1 Methoden 

3.2 Simulationsergebnisse 

4. Robustheit der Ergebnisse 

5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell 

6. Fazit 

2

1.1 Ziel 

• Bestimmung der Verlustverteilung für beide Modelle 

• Empirischer Test des Modellverhalten 

– Ähnlichkeit der Modelle 

– Sensitivität bzgl. der zugrunde liegenden Parameter 

– Intuition für Verhalten der Modelle in der Praxis entwickeln 

• Notwendig: Synthetische Portfolios, um die Modelle unter 

vergleichbaren Bedingungen zu testen 

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• CreditRisk+: Default Probability Model 

– Individuelle Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängig vom systematischen 

Risikofaktor 

– Verlustverteilung über wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmt 

Bernoulli Verteilung Poisson Approximation 

• CreditMetrics: Ordered Probit Model 

– Kreditereignisse verursacht durch Veränderungen in latenten Variablen 

– Ausfallkorrelationen zwischen den Kreditereignissen 

– Bestimmt durch Monte Carlo Simulation 

• CM2S 

– Reduziertes CreditMetrics Modell 

– Nur zwei Zustände: 

• Kreditausfall 

• Kein Kreditausfall 

– Grund: Vergleichbarkeit der Modelle 

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Gliederung 


1.1 Ziel 



3. Simulation 



3.1 Methoden 




6. Fazit 

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• Ziel ist es ein reales Bankportfolio zu konstruieren 

• Datenherkunft: 

– Federal Reserve Board surveys of large banking organizations 

• Low, average und high 

• Very low: sehr schwaches Bankportfolio in der Rezession. Mindestens 

50% speculative grade. 

– Society of Actuaries (SoA) 

• Portfoliokonzentration 

• Portfolio aus mittelgroßen und großen privat platzierten Krediten 

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• Portfoliokonstruktion 

– Kreditqualität 

• Berücksichtigung durch unterschiedliche Verteilungen der einzelnen 

Kreditqualitäten (very low, low, average und high) 

25% 

83% 

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– Anzahl der Schuldner 

• Standardmäßig auf n = 5000 gesetzt. 

• Variation zur Überprüfung der Robustheit 

– Konzentration des Portfolios 

• Kalibrierung gemäß des SoA Datensatzes 

• Zwei Schritte zur Bestimmung der Konzentration 

1. Aufteilung aller Schuldner über die Ratinggrade 

2. Bestimmung der Verteilung der Exposures innerhalb der Ratingklassen 

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! 

! 

! 

! 

2.1 Konstruktion des Portfolios 

q " = n " v " 

q " : 

n " : 

v " : 

n " 

# ng vg g 

Prozentualer Anteil des Exposures im Ratinggrad 

Durchschnittliche Anzahl der Schuldner im Ratinggrad 

Durchschnittlicher Buchwert in den SoA Daten in Ratinggrad 

! 

• soll entsprechend der Exposureanteile in den SoA Daten verteilt werden 

Lösbares LGS 

• Die q " 

werden über die n " 

innerhalb eines Ratinggrades verteilt 

• Bildung einer kummulativen Verteilung der Kreditgrößen 

• Normierung der n " 

Kreditgrößen mit dem Gesamtexposure 

Verteilung der Kreditgrößen unabhängig von Veränderungen von n " 

• Zum Test der Robustheit wird ein Portfolio mit gleich großen Krediten konstruiert 

! 

! 

! 

! 

" 

" 

! 

" 

9


• Weitere Anpassungen des Portfolios 

– LGD ist konstant und beträgt λ = 0,3 

CM2S: Der Verlust ist eine fixe Größe des Exposures 

– Im CreditRisk+ Modell muss die Verteilung der Exposures diskretioniert 

werden. 

Durch Wahl der Basiseinheit des Exposures: λ * 5tes Perzentil der 

Kreditgrößenverteilung 

10

! 


• Innerhalb der Ratingklassen sind die Schuldner statistisch identisch 

 

p : unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit 

" 

p 

: langfristige durchschnittliche jährliche Ausfallwahrscheinlichkeit 

w : Risikogewicht (Faktorladungen der Modelle) 

" 

sind in einer Ratingklasse gleich. 

• Die Risikofaktoren (Faktorladungen) werden modellabhängig bestimmt 

Bestimmen sich aus den historischen Ausfallvolatilitäten 

Zur Bestimmung sind zwei Schritte notwendig 

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! 

! 


1. Schritt: 

• Bestimmung der Volatilitäten der historischen Ausfallraten 

Historische Ausfallrate: 

ˆ 

p "t = 

ˆ 

d "t 

ˆ 

n "t 

Anzahl der Ausfälle innerhalb einer Ratingklasse zur Anzahl 

der Schuldner 

Varianz der bedingten Ausfallraten: 

V [ p " (x) ] = 

$ 

V [ p ˆ " ] # E 1 

' 

% & n ˆ " ( ) ˆ p " (1# p ˆ " ) 

1# E 1 $ ' 

% & n ˆ " ( ) 

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! 

! 


• Herleitung der bedingten Varianz: 

V [ p ˆ " ] = E[ V [ p ˆ " x, n ˆ ] ] " + V E p ˆ " x, ˆ 

[ n " ] 

# 

V d ˆ 

" x, ˆ 

E[ V [ p ˆ " x, n ˆ " ] ] = E% 2 % n ˆ " $ 

! 

! 

! 

& 

( 

( 

' 

[ [ n ] ] " 

= E p $ 

" (x)(1# p " (x)) ' 

& 

2 ) 

% n ˆ " ( 

= E 1 # & 

$ % n ˆ " ' ( (E p " (x) [ ] ) (V [ p " (x) ] + E p " (x) 

= E 1 # & 

$ % n ˆ " ' ( ( p " (1) p " ) )V [ p " (x) ]) 

[ ] 2 

)) 

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• Ergebnis ist problematisch: 

In den Ratingklassen AAA und AA keine Ausfälle 

Berechnung der Volatilität nicht möglich. 

• Lösung: 

Anpassung der Werte, so dass sie plausibel sind 

Bedingte normierte Standardabweichung der Ausfallwahrscheinlichkeit 

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! 

! 


2. Schritt: Dieser Schritt ist modellabhängig 

! 

CreditMetrics: 

– Die Varianz ist durch eine bivariate Normalverteilung gegeben 

2 2 

V " # Var[ p " (x) ] = $(C " ,C " ,w " ) % p" 

C " 

– ist der Schwellenwert des Kreditausfalls 

– Die Risikogewichte werden durch die obige Formel eindeutig bestimmt und lassen 

sich aus der Formel herleiten. 

CreditRisk+: 

– Zwei Risikofaktoren: systematischer und idiosynkratischer Risikofaktor 

– Idiosynkratischer Risikofaktor, da diversifizierbar, hat eine Varianz = 1 und einen 

Erwartungswert = 1 

Der systematische Risikofaktor wird gleich dem gegebenen x gesetzt 

w " 

ist das Gewicht des systematischen Faktors 

σ ist die Standardabweichung des Risikofaktors 

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! 

! 


• Varianz der Ausfallwahrscheinlichkeit: 

Gegeben folgt: 

! 

V " = Var [ (1# w " + w " x) ] = p " w "$ 

" 

w " = V " 

p "# 

( ) 2 

• σ hat einen starken Einfluss auf die Verteilung der x. 

Dies liegt an der Gamma-Verteilung des Risikofaktors 

Portfolioverluste reagieren sehr sensibel auf Veränderungen von σ 

Kein Nachteil für CreditRisk+. CreditMetrics unterstellt einfach 

Normalverteilung 

• Empfehlung für CreditRisk+: Setze σ gleich Eins 

Entspricht Einsektorenkalibrierung 

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Gliederung 


1.1 Ziel 



3. Simulation 



3.1 Methoden 




6. Fazit 

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3. Simulation 

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3.1 Methoden 

• Unterschiedliche Kalkulation der Ergebnisse 

– CreditRisk+: Analytische Ermittlung der Daten 

– CreditMetrics: Berechnung der Daten mittels einer Monte Carlo 

Verlustverteilung 

• In jedem Quadranten: Zusammengefasste Statistiken und 

Perzentilwerte zu einer Portfoliokreditqualitätsklasse 

• Skewness und Kurtosis sind für eine Zufallsvariable y definiert. 

• Eine hohe Kurtosis impliziert hohe Portfolioverluste 

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BBB- 

AAA 

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Gliederung 


1.1 Ziel 



3. Simulation 



3.1 Methoden 




6. Fazit 

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• Anzahl der Schuldner: 

Keinen signifikanten Einfluss auf das Verlustrisiko 

• Verteilung der Kreditgrößen: 

– SoA Daten: unterschiedliche Größen 

– Vergleichsportfolio: alle gleich groß 

Kein signifikanter Einfluss 

• Standardisierte Volatilität: 

– Verdopplung der Volatilität 

– Risikogewichte erhöhen sich 

Extreme Perzentilwerte nehmen stark zu! 

• Diskretionierung: 

– Basiseinheit der Exposures: fache des 5ten Perzentils der Verteilung der 

Kreditgrößen 

Variation von verändert die Perzentilwerte nur minimal 

! 

! 

" 

" 

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1.1 Ziel 



3. Simulation 



3.1 Methoden 




6. Fazit 

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• CreditRisk+ reagiert sensibel auf Änderungen von σ 

Grund: Gamma-Verteilung der Risikofaktoren x 

Gamma-Verteilung hat 2 Effekte: 

• Direkter Effekt: 

– Wenn man σ variiert und w "# konstant hält 

! 

Veränderung der Randwahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und 

Standardabweichung konstant 

– Grund: Kurtosis der Gamma-Verteilung 

 

! 

3(1+ 2" 2 ) 

– Kurtosis von x gleich der Kurtosis von 

Veränderung von führt direkt zu einer Vergrößerung der Ränder 

der Verlustverteilung 

! 

p i(x) 

! 

p i(x) 

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5. Modifiziertes CreditRIsk+ Modell 

• Indirekter Effekt: 

– CreditRisk+ verwendet die Poisson Approximation um die PGF zu 

vereinfachen 

– Poisson Approximation induziert Fehler 

Wird durch steigende Kurtosis von vergrößert 

Um Effekt deutlich zu machen, wird der Fehler eleminiert 

! 

p i(x) 

— CreditMetrics: Monte Carlo Simulation nur ein Ausfall möglich 

— CreditRisk+: Poisson Approximation positive Wahrscheinlichkeit für 

mehrfachen Ausfall 

Ab einem bestimmten Punkt überschreiten die CreditRisk+ Perzentile 

die korrespondierende Werte von CreditMetrics 

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Die Verteilung des systematischen Risikofaktors ist von entscheidender 

Bedeutung 

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Gliederung 


1.1 Ziel 



3. Simulation 



3.1 Methoden 




6. Fazit 

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6. Fazit 

• Solange σ klein ist, liefern die Modelle sehr ähnliche Ergebnisse 

• CR+ sensitiver bzgl. der Kreditqualität, aber CM ist restringiert 

• Sehr sensitiv reagieren beide Modelle auf: 

– Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. der Ausfallkorrelation 

– Form der impliziten Verteilung der Risikofaktoren (Gamma-Verteilung) 

• Problem: Modelle induzieren Eigenkapitalentscheidungen 

– Diese sind stark abhängig von höheren Momenten der Verteilung der 

Risikofaktoren 

– Können nur ungenau geschätzt werden 

Modelle können nur Anhaltspunkte für das relative Risiko von 

Portfolien untereinander liefern und keine Kapitalanforderungen! 

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Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II

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