CreditMetrics - Universität Mannheim

Abhängigkeiten 

Portfolio-Effekte 

CreditMetrics 

Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 


Korrelation und Asset Value Ansatz 

Portfoliokreditrisko Seminar 

17. Oktober 2007 

Robert Schilling 

Seminarleitung: PD Dr. Rafael Weißbach 

Universität Mannheim




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Berechnung 

des 

Exposures 

Schätzung 

der 

Volatilität 

Schätzung 

der 

Korrelationen 

VaR des Portfolios bezüglich Kreditrisiken 

2




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

1. Abhängigkeiten 

2. Portfolioeffekte beim Kreditrisiko 

3. CreditMetrics 

4. Asset Value Modell 

5. Faktormodell 

6. Beispiel: Pfizer und Allianz 

Schluss 

Inhalt 

3




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 


Existenz von Korrelation bei Kreditausfällen? 

Businessmodelle jeder Firma einzigartig? 

Beobachtete Ausfälle bzw. Ratingänderungen anhand historischer 

Zeitreihendaten 

Vergleich der credit events verschiedener Schuldner zu gleichem 

Zeitpunkten 

Indizien für Abhängigkeiten? 

Gemeinsame Ursachen/Ereignisse: Konjunktur, Finanzkrisen, etc. 

Indizien für Unabhängigkeit der Bonitätsänderungen? 

z.B. stabile Häufigkeit von Defaults über die Zeit 

(für eine Vielzahl an beobachteten Unternehmen, Stichprobe 

ausreichend groß) 

4




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Historische Ausfallraten 

Realität/Evidenz: 

Existenz von Abhängigkeiten, signifikant größer Null 

(Moody‘s oder S&P default rate statistics) 

Quelle: Moody‘s 1970-1995 1-year default rates and volatilities (Carty & Lieberman [96a]). JPMorgan – CM Technical 

Document 

• Problem: 

u.a. Beobachtungszeitraum und Konjunktur 

5




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Direkte gemeinsame Ratingänderung 

• Gemeinsame Ratingänderungen, historisch (1.234 Firmen, 40 Quartale) 

• Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten (in %): 

Bsp.: 2 Schuldner, P (BBB BBB und A A) = 0.787 

Quelle: JPMorgan – CM Technical Document 

6




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Portfolioeffekte bei der Modellierung des Kreditrisikos 

• Kreditrisiko ⇔ 

prob(„credit event={ugrade, downgrade, default}) > 0 

• Messung des Kreditrisikos: 

messbare stochastische Faktoren, die die 

Eintrittswahrscheinlichkeit und die Größe des Kreditrisikos 

determinieren 

• Korrekte Modellierung des Portfoliokreditrisikos verlangt Beachtung 

gemeinsamer Stochastik der gesamten Risikofaktoren 

- „perfektes“ Modell muss alle Abhängigkeiten beinhalten 

- Ausfallkorrelationen der KN, Recovery Rates Korrelationen, 

Korrelation Recovery und Ausfallwahrscheinlichkeit , … 

• Praxis: Beschränkung der Analyse von Korrelationseffekten auf 

stochastische Abhängigkeiten innerhalb der möglichen credit events 

7




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

• CreditMetrics: 

Konzentration auf Korrelationen von möglichen Credit events 

{Ratingänderung, Default}, 

Ausschluss möglicher Abhängigkeiten der recovery rates oder 

Exposures – Annahme der Unabhängigkeit! 

• Argument: 

Extreme Ratingänderungen (Bonitätszustandsänderungen) wie bei 

Eintritt Default – Zustand mit extremen Wertänderungen verbunden 

höchste Relevanz für Portfoliowert: 

Ausfallkorrelation bzw. der Eintritt gemeinsamer Ausfälle mehrerer 

Schuldner eines Portfolios 

• Auswirkungen der Höhe der Korrelation: 

Value at Risk sehr sensitiv auf Korrelation 

8




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

• Basis Ratingsystem 

Credit Metrics 

– Schuldner mit Einzelrating 

– Ermitlung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für Veränderungen des 

Portfoliowerts 

– Am Risikohorizint T 

– Risiko: Ratingänderungen der Schuldner zum Riskohorizont T 

– Credit Event: {default, upgrade, downgrade} 

• Interessierende Größen für den Portfoliowert 

1.) Umweltzustände = {(Kombination der Ratingzustände der KN)} 

(siehe letzte Woche: Bonität/Rating bestimmt CreditSpread 

PresentValue Verfahren zur Bewertung) 

2.) Eintrittswahrscheinichkeiten der Umweltzustände 

• Ziel: Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Veränderung 

des Portfoliowertes zum Risikohorizont T infolge Bonitätsänderungen 

9




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Asset Value Modell 

Asset Value Modell (Unternehmenswertmodell) nach Merton (1974) 

• Indirekter Ansatz 

• Modellierung gemeinsamer Wahrscheinlichkeiten von Ratingänderungen 

• Mögliche credit events: {upgrade, downgrade, default} 

• Keine historischen Daten mehr nötig 

Ansatz: 

• Unternehmen bestehend aus 

Assets (Aktiva) und Liabilities (Verbindlichkeiten) 

-Assets- 

-Liabilities- 

10




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Idee 

1. Annahme 

Existenz eines jedem credit event zugrunde liegenden Prozesses 

Erklärung für einzelne Ratingänderung 

Erklärung gemeinsamer Ratingänderungen 

Vorteil: 

Prozess beobachtbar und erklärbar 

(i. Ggs. zum Vorgehen direkter Beobachtungen von Ausfallhäufigkeiten) 

2. Schätzung der den Prozess bestimmenden Parameter 

Resultat: Änderung Unternehmenswert Änderung Bonität bzw. Rating 

Verbesserte Schätzung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit 

von Bonitätszustandsänderungen 

11




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

• Vereinfachung: 

credit events: {default, non default} 

• Implikation Unternehmenswert: 

Am Risikohorizont T gilt: 

a) b) 

-Assets- 

-Liabilities- 

-Assets- 

-Liabilities- 

Assets > liabilities Assets < liablities 

(Zahlungsunfähigkeit) 

credit event: no default credit event: non default 

12




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Erweiterung: Interesse an verschiedenen Bonitätszuständen eines 

Schuldners zwischen default und non default zum 

Risikohorizont T 

Ziel: Bestimmung ratingadäquater Wertintervalle der Assetrealisationen in T 

Ausgangsrating 

BB 

Max. Schwankungsbreite 

damit keine Ratingänderung 

Unternehmenswert T 

13




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Bestimmung der Renditegrenzen 

• Verteilungsannahme: Aktivarenditen ~ 

(0,1) nv. 

• Wahrscheinlichkeitsmasse unter kritischer Renditegrenze 

= Ausfallwahrscheinlichkeit gemäß Rating 

• Adäquat für alle Ratingänderungen 

Beispiel: Ausgangsrating BBB und Übergangswahrscheinlichkeiten (T) 

• Vorgabe historischer Übergangswahrscheinlichkeiten (1 Jahr) je Rating 

• Annahme homogener Schuldner je Rating 

• RBBBdefault als gesuchte kritische Ausfallrendite 

• gegeben: P(BBBDefault)=0.0018 

• Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung: 

N -1 (P=0.0018) = - 2.9112 (R BBBdefault ) 

14




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Ratingänderung ohne Default 

• gegeben: P (BBBCCC)=0.0012 

• P( RBBBdefault




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

AAA 

0.02% 

AA 

0.33% 

A 

5.59% 

R BBBdefault 

R BBBCCC 

BBB 

86.9% 

-Renditeintervall- 

BB 

5.30% 

Quelle: nach JPMorgan – CM Technical Document 

B 

1.2% 

CCC 

0.12% 

Rendite T 

Default 

0.18% 

16




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Fall: Zwei Kreditnehmer 

Gemeinsame Wahrscheinlichkeit Ratingänderung zweier Schuldner 

• Annahme: Assetrendite (0,1) nv. 

• zwei Assetprozesse 

• P (RBBB 

default 

1 R 2 

2 

1 −2ρ 

R1R 

2 

2 + 

∫ 

−∞ 

∫ 

−∞ 

2π 

1 

1− 

ρ 

2 

e 

2(1−ρ 

• Paarweise Korrelation schätzen 

• (beachte: Volatilitäten der Assetrendite(n) ohne Einfluss, Grund sind 

standardisierte Renditen) 

−1 

((R 

) 

R 

2 

2 

) 

dR 

1 

dR 

2 

17




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Schätzung Assetkorrelation 

• Beobachtung der Assetwerte/-renditen schwierig 

• Aktienkurse/Kursrenditen börsengehandelter Unternehmen allg. Info 

• Korrelation Kursrenditen als Proxy für Korrelation Assetrenditen 

• aber: paarweise Korrelationen aufwändig 

(M Schuldner M(M-1)/2 Paare zu schätzen)) 

• Einführung lineares Faktormodell 

Aktienindex als systematischer Erklärungsfaktor 

Einteilung nach Land und Branche 

Wegfall redundanter Branchen (hohe Korrelation) 

Annahmen: 

1. keine Abhängigkeit der firmenspezifischen Komponente (ε) 

2. keine Abhängigkeit der unsystematischen Komponente von 

systematischen Komponente (Index) 

M = 300 

44.850 Korrelationen 

Renditekorrelationen vollständig von Indexkorrelation erklärt 

18




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Indizes Verfügbarkeit 

Quelle: nach JPMorgan – CM Technical Document 

19




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Lineares Faktormodell 

Allgemeine Form des Erklärungsmodells: 

Kursrendite Kreditnehmer j: 

Kreditnehmer 

Daten CreditMetrics 

R = 

w INDEX + w INDEX + ... + w 

j 

• Betrachtung der Indexrenditen auf Wochenbasis (190 Wochen) 

• Mittelwert und Standardabweichung 

• Paarweise Kovarianzen aller Indexpaare, 

Indexkorrelationen 

j,1 

1 

j,2 

2 

j, k 

ε 

j 

20




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Vorgehen: 

Anwendung 

1. Festlegung Gewichtungsfaktoren Firma – Index/Land 

Hintergrund: 

Höhe des Erklärungsgehaltes Index/Land an Firma; Höhe des nicht 

durch Index erklärten Anteil der Aktienrendite 

2. Standardisierte Rendite als gewichtet Indexrendite und verbleibendem 

unsystematischen Teil der Rendite 

3. Anwendung der Gewichtungsfaktoren zur Schätzung der Korrelation 

21




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Beispiel: Pfizer und Allianz 

Zielstellung: Korrelation Pfizer und Allianz 

Vorgehen: 

1. Indexpartizipation (systematische Komponente) 

A) 

Land 

Branche 

Pfizer 

USA/ 

Pharma-Chemie 

Land 

Branche 

Allianz 

Deutschland/ 

Finance+Banking, 

Insurance 

Finance+Banking 

25% 

USA 

Pharma 

90% 

Deutschland 

Insurance 

75% 

22




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

CreditMetrics Information: 

INDEX 

USA/Pharma 

D/Insurance 

D/ 

Bank+Finanz 

Voltilität 

2.03% 

2.09% 

1.25% 

Quelle: JPMorgan – CM Technical Document 

USA/Pharma 

1 

0.16 

0.08 

Korrelationen 

D/Insurance 

0.16 

1 

0.34 

D/ 

Bank+Finanz 

0.08 

0.34 

1 

23




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

B) Systematische und firmenspezifische Renditekomponente 

Pfizer: 90% Indexrendite 10% nicht erklärte Rendite 

Allianz: 80% Indexrendite 20% nicht erklärte Rendite 

24




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

• Pfizer, standardisierte Renditen: 

Pfizer 

US_PHARMA 

R = w1R 

+ 

Summe der Vola muss 1 ergeben 

Var(R 

w 

2 

= 

Pfizer 

1− 

w 

) = 

w 

2 

1 

2 

1 

Var(R 

= 0.44 

• Allianz, standardisierte Renditen: 

Gewichtung 

! Indexformung aus 25% D/Bank und 75% D/Insurance 

Volatilität berechnen 

w 

2 

R ˆ 

US_PHRAMA 

Pfizer 

) + w 

Allianz 

D_Bank 

D_Insurance 

R = w1R 

+ w 2R 

+ 

2 

2 

Rˆ Var( 

w 

3 

R ˆ 

Pfizer 

) 

Allianz 

| w1 =0.9 

| Rendite (0,1) nv 

25




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Volatiltät des „Index“ 

2 2 

2 2 

σˆ = 0.75 σ D_Insurance 

+ 0.25 σ D_Bank + 2* 

0.75* 

0.25* 

ρ (D_Insurance, 

D_Bank) * σ D_Insuranceσ 

D_Bank = 0.017 

• Summe Volatilität 1: 

80% erklärt, davon 75% durch D_Insurance, 25% durch D_Bank 

w 

w 

w 

1 

2 

3 

0.75σ 

= 

0.80 

1− 

0. 

8 

2 

D_Insurance 

σˆ 

0,25σ 

= 0.80 

σˆ 

= 

= 

D_Bank 

0. 

6 

= 

0.74 

= 0.15 

26




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Gewichtungsfaktoren 

• Pfizer: 

w1 0.9 

0.44 

• Allianz: 

w 2 

w1 w2 w3 0.74 

0.15 

0.6 

Einsetzen in Faktormodell 

Pfizer 

US_PHARMA 

R = 0.9 R + 

Rˆ 0.44 

Resultat 

Pfizer 

Allianz 

D_Bank 

D_Insurance 

R = 

0.15 R + 0.74R 

+ 

Rˆ 0.6 

Allianz 

ideosynkratische Rendite 

unabhängig 

27




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Korrelation Pfizer – Allianz 

(Pfizer, Allianz) 

Korrelation im 2 Schuldner Fall 

ρ = 0.90 0.74 ρ 

+ 0.90 

ρ (Pfizer, Allianz) 

ρ (Pfizer, Allianz) 

= 0.90 

= 

0.90 

0.74 

0.74 

(US_Pharma, 

D_Insurance) 

INDEX 

USA/ 

Pharma 

D/ 

Insurance 

D/Bank+ 

Finanz 

0.16 + 0.90 0.15 

0.16 + 0.90 0.15 

Voltilität 

2.03% 

2.09% 

1.25% 

0. 

08 

0. 

08 

= 

0.15 

USA/Phar 

ma 

1 

0.16 

0.08 

ρ 

0. 

117 

(US_Pharma, 

D_Bank) 

Korrelationen 

D/ 

Insurance 

0.16 

1 

0.34 

D/Bank+ 

Finanz 

0.08 

0.34 

1 

28

29 




Schluss 

Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Gemeinsame Wahrscheinlichkeit 

2 

1 

) 

R 

R 

R 

2ρ 

((R 

) 

ρ 

2(1 

1 

R 

2 

R 

dR 

dR 

e 

ρ 

1 

2π 

1 

2 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

default 

BB 

2 

default 

-- 

- 

BBB 

1 + 

− 

− 

− 

∞ 

− 

∞ 

− 

∫ 

∫ 

> 

− 

− 

> 

−




Asset Value 

Faktormodell 

Beispiel 

Schluss 

Recap: Asset Value Ansatz 

(2 Schuldner Fall) 

Abhängigkeit 

∆ Bonität KN 1 ∆ Bonität KN 2 

∆ Unternehmenswert KN 1 ∆Unternehmenswert 

KN 2 

Linearfaktormodell 

30

CreditMetrics - Universität Mannheim

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