Diplomprüfung für Wirtschaftswissenschaftler ...
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Prof. Dr. Enno Mammen Universität Mannheim<br />
Lehrstuhl <strong>für</strong> Statistik<br />
<strong>Diplomprüfung</strong> <strong>für</strong> <strong>Wirtschaftswissenschaftler</strong><br />
im Frühjahrssemester 2007<br />
Nachholtermin <strong>für</strong> Herbstsemester 2006<br />
Klausuraufgaben zur Vorlesung<br />
Wahrscheinlichkeitstheorie<br />
Die Ihnen vorliegende Klausur besteht aus sechs Aufgaben, die alle zu bearbeiten<br />
sind, sowie einer Tabelle zur Standardnormalverteilung. Überprüfen Sie<br />
Ihr Exemplar auf Vollständigkeit.<br />
Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten.<br />
Als Hilfsmittel ist ein nicht-programmierbarer Taschenrechner zugelassen.<br />
Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Lösungsbogen und versehen<br />
Sie jeden Lösungsbogen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer.
Aufgabe 1<br />
Zeigen Sie, dass aus den Kolmogoroffaxiomen <strong>für</strong> jedes Wahrscheinlichkeitsmaß<br />
P und zwei beliebige Mengen A,B die nachstehenden Eigenschaften folgen:<br />
a) P (A ∩ B) ≥ 1 − P (A C ) − P (B C )<br />
b) P (A ∩ B) ≤ min(P (A), P (B))<br />
c) Falls P (A) = 0.8 und P (B) = 0.4, so gilt 0.25 ≤ P (B|A) ≤ 0.5<br />
(5 + 4 + 3 = 12 Punkte)<br />
Aufgabe 2<br />
Zwei Würfel sind äußerlich nicht zu unterscheiden, aber einer von ihnen ist<br />
gefälscht. Bei dem gefälschten Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> die<br />
Augenzahlen 1 bis 5 jeweils 1/7, und <strong>für</strong> die Augenzahl 6 entsprechend 2/7.<br />
Bei dem regulären Würfel treten die Augenzahlen 1 bis 6 alle mit der gleichen<br />
Wahrscheinlichkeit auf. Es wird nun einer der beiden Würfel zufällig<br />
ausgewählt und zweimal geworfen.<br />
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen 7<br />
beträgt.<br />
b) Angenommen die Summe der gewürfelten Augenzahlen beträgt tatsächlich<br />
7. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um den gefälschten Würfel?<br />
(6 + 4 = 10 Punkte)<br />
Aufgabe 3<br />
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig, wobei X bzw. Y die stetige<br />
Verteilungsfunktion F bzw. G habe. Außerdem sei p(z) die Wahrscheinlichkeit,<br />
dass der feste Wert z zwischen min(X, Y ) und max(X, Y ) liegt, d.h. es gilt<br />
a) Zeigen Sie, dass gilt<br />
P (min(X, Y ) < z < max(X, Y )) = p(z).<br />
p(z) = F (z) + G(z) − 2F (z)G(z).<br />
b) Nehmen Sie nun an, dass X und Y identisch verteilt sind, d.h. es gilt F (z) ≡<br />
G(z). An welcher Stelle nimmt p(z) seinen maximalen Wert an?<br />
(8 + 4 = 12 Punkte)
Aufgabe 4<br />
Die Zufallsvariable X hat die Dichte<br />
<br />
1 − |x| falls −1 < x < 1<br />
f(x) =<br />
0 sonst<br />
a) Zeigen Sie, dass es sich bei f tatsächlich um eine Dichte handelt.<br />
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.<br />
c) Bestimmen Sie P (X > 1/2).<br />
d) Welche Abschätzung liefert die Tschebyscheff’sche Ungleichung <strong>für</strong> die Wahrscheinlichkeit<br />
in c)?<br />
Hinweis: Benutzen Sie in d), dass f eine symmetrische Funktion ist.<br />
(3 + 3 + 3 + 5 = 14 Punkte)<br />
Aufgabe 5<br />
Sei X = (X1, X2, X3) T multivariat normalverteilt mit Parametern<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
⎛<br />
4 0<br />
⎞<br />
−1<br />
µ = ⎝1⎠<br />
und Σ = ⎝ 0 5 0 ⎠<br />
1<br />
−1 0 2<br />
a) Bestimmen Sie die Verteilung von X1 + 2X2 − X3.<br />
b) Welche der folgenden Zufallsvariablen (bzw. -vektoren) sind stochastisch<br />
unabhängig? Begründen Sie Ihre Antworten jeweils kurz!<br />
i) X1 und X2.<br />
ii) X1 und X3.<br />
iii) X2 und X3.<br />
iv) (X1, X3) und X2.<br />
c) Berechnen Sie P (X1 < X3).<br />
Hinweis: Benutzen Sie X ∼ N(µ, Σ) ⇒ AX + b ∼ N(Aµ + b, AΣA T ).<br />
(4 + 4 + 4 = 12 Punkte)
Aufgabe 6<br />
Die Zufallsvariablen X1, . . . , Xn seien unabhängig und identisch verteilt mit<br />
stetiger Verteilungsfunktion F . Betrachten Sie die empirische Verteilungsfunk-<br />
tion<br />
ˆFn(x) = 1<br />
n<br />
n<br />
I(Xi ≤ x),<br />
i=1<br />
wobei die Zufallsvariablen I(Xi ≤ x) <strong>für</strong> i = 1, . . . , n wie folgt definiert sind:<br />
<br />
1 falls Xi ≤ x,<br />
I(Xi ≤ x) =<br />
0 sonst.<br />
Für eine feste Zahl x sind ˆ Fn(x) und n ˆ Fn(x) also Zufallsvariablen, die den<br />
Anteil bzw. die Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe angeben, die<br />
kleiner als x sind.<br />
a) Begründen Sie warum n ˆ Fn(x) binomialverteilt ist und bestimmen Sie die<br />
zugehörigen Parameter.<br />
b) Berechnen Sie die Kovarianz von n ˆ Fn(x) und n ˆ Fn(y) <strong>für</strong> x < y.<br />
c) Zeigen Sie, dass ˆ Fn(x)<br />
p<br />
−→ F (x).<br />
d) Geben Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes die asymptotische Verteilung<br />
von √ n( ˆ Fn(x) − F (x)) an.<br />
(4 + 6 + 6 + 4 = 20 Punkte)<br />
Viel Erfolg!
Kleine Formelsammlung<br />
Additionssatz:<br />
Bedingte Wahrscheinlichkeit:<br />
Totale Wahrscheinlichkeit:<br />
Bayesformel:<br />
Poissonverteilung:<br />
Exponentialverteilung:<br />
Normalverteilung:<br />
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)<br />
P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B)<br />
P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|B C )P (B C )<br />
P (A|B) = P (B|A)P (A)/P (B)<br />
f(k) = λk<br />
exp(−λ), E(X) = V ar(X) = λ<br />
k!<br />
f(x) = λ exp(−λx), E(X) = 1<br />
1<br />
, V ar(X) =<br />
λ λ2 f(x) = 1<br />
√ 2πσ exp<br />
Zentraler Grenzwertsatz:<br />
<br />
− 1<br />
2<br />
n<br />
i=1 Xi − nµ<br />
√ nσ<br />
<br />
2<br />
x − µ<br />
, E(X) = µ, V ar(X) = σ<br />
σ<br />
2<br />
→ N(0, 1) ⇒<br />
n<br />
i=1<br />
Xi<br />
a<br />
∼ N(nµ, nσ 2 )