CreditMetrics

Vergleich der Portfoliomodelle I 

Seminar Portfoliokreditrisiko 

Manuel Molitor

CreditRisk + 

CreditMetrics 

CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 

Zusammenfassung 

1. CreditRisk + 

– Zusammenfassung 

– WEF 

– Kritik 

2. CreditMetrics 

3. CreditRisk + vs CreditMetrics 

4. CreditMetrics in CreditRisk + 

5. CreditRisk + in CreditMetrics 

6. Zusammenfassung 

Agenda 

2

CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Eigenschaften 

• Nur auf Ausfall-Ereignisse fokussiert 

• Ausfälle sind Poisson-Verteilt 

• Risikofaktoren Gamma-Verteilt 

• Ausfallrisiko nicht an der Kapitalstruktur gebunden 

• Annahme: 

– Ausfallwahrscheinlichkeit in einer Periode gleich hoch 

für die selbe Periodendauer in der Zukunft 

– Die Anzahl der Ausfälle in einer bestimmten Periode sind 

unabhängig zu einer anderen Periode 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Eigenschaften 

• Die bedingte Wahrscheinlichkeit p i (x) eines Ausfall 

des Schuldners i 

– Einer Funktion von der jeweiligen Ratingklasse des 

Schuldners i 

– Die Realisation der Risikofaktoren x 

– Der Vektor der Faktorladungen 

p ( x) = p 

K 

( ∑ 

x w ) 

i ς( 

i) 

k ik 

k = 1 

• Intuition: Die Risikofaktoren x dienen die 

unbedingte Wahrscheinlichkeit zu 

erhöhen/reduzieren 

4

CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Wahrscheinlichkeitserzeugende 

Funktion (WEF) 

• Ausfälle werden durch die WEF berechnet 

• WEF dient zum Herleiten von Einzelwahrscheinlichkeiten 

und der Verteilungsfunktion 

• Annahmen bei einer WEF F k (z): 

– Wenn K 1 und K 2 unabhängige ZV sind, dann ist die WEF 

von den Summen K 1 +K 2 gleich dem Produkt zweier WEF 

– Wenn F k (z|x) mit einer Verteilungsfunktion H(x) für x 

F ( z) = ∫ 

F ( z | x) dH ( x) 

K K 

x 

5

CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


• Exposure konstant 

Kritik zu CreditRisk + 

• Keine Migrationsrisiken 

• Verliert an Genauigkeit durch Exposure Bänder 

• Poisson: E[x]=Var[x] 

nicht empirisch nachgewiesen 

• Nur für geringe Ausfallwahrscheinlichkeiten 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 




– Eigenschaften 

– CM2S 

– Kritik 

– Rating Agencies 





Agenda 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Eigenschaften 

• Misst Korrelation in Kreditqualität für alle Gruppen 

von Schuldnern 

– Nicht direkt möglich 

– Basiert auf gemeinsame Wahrscheinlichkeit von asset 

returns 

• Nur equity returns (Vereinfachung der Kapitalstruktur) 

• Kernstück: Latente ZV 

• Monte Carlo Simulation 

• recovery rate flexibel 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


• Kredit-Homogenität: 

Annahmen 

– Alle Schuldner Kredithomogen in der gleichen 

Ratingklasse 

• Gleiche Migrationswahrscheinlichkeiten 

• Gleiche Ausfallwahrscheinlichkeiten 

• Equity Preis als Proxy 

• Unterliegt der Normalverteilung 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Eigenschaften 

• Misst Ausfälle + Auf- und Abstufung zwischen den 

Ratingklassen 

• Modellierung durch eine unbeobachtbare latente 

ZV y i , die verbunden mit Schuldner i ist 

• w i : relative Sensitivität des Schuldners i zu den 

Risikofaktoren 

η 

yi = xwi + ηiεi • : relative Wichtigkeit des idiosynkratischen Risikos für 

i 

den Schuldner 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Eigenschaften 

• Schuldner Ausfall, wenn: 

xw + η ε < Cζ i i i ( i) 

• Die Cζ Werte so gesetzt, dass die unbedingte 

Ausfallwahrscheinlichkeit für gerateten ζ 

Schuldner entspricht 

p ζ 

p ζ 

wie bei CreditRisk + definiert 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


CM2S 

• Restriktive Version von CreditMetrics 

• Nur zwei Zustände 

– Ausfall 

– Nicht-Ausfall 

• Verlust bei Ausfall ist fixiert 

– Also keine speziellen Risiken in der Rückzahlung 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Kritik zu CreditMetrics 

• Übergangswahrscheinlichkeiten basieren auf 

durchschnittliche historischen Frequenzen von 

Ausfällen und Kreditmigrationen 

• Alle Firmen der gleichen Ratingklasse 

gleiches Ausfallrisiko 

• Aktuelle Ausfallraten sind gleich der historischen 

Ausfallraten 

• Kreditratingänderung = Kreditqualitätsänderung 

• Kreditrating ≜ 

Ausfallraten 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


• Ordinale Ranking 

Rating Agenturen 

• Nur langsame Veränderung wg historischen 

Frequenzen 

überschätzt die wahre W. für das bleiben in der gleichen 

Ratingklasse 

• Durchschnittliche historische PD überschätzt die 

PD für typischen Firmen in einer Ratingklasse 

• Wenn die W. in der gleichen Klasse zu bleiben und 

die PD zu groß sind 

Übergangswahrscheinlichkeiten zu klein 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 





– Vergleich 

– Vor- und Nachteile 




Agenda 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Vergleich 

Gemeinsamkeiten: 

– Deterministische Zinsraten 

– Deterministische Exposures 

– Keine Marktrisiken 

– Keine nicht-lineare Produkte 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


•Flexibilität 

Vorteile 

•Multi-State Modell mit Migrationsmatrizen 

•spezielle Risiken bei recovery rate 


•Rechnerintensiv 

•Kredit-Homogenität 

•Historische Daten 

Nachteile 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Vorteile 

•Sehr Computerfreundlich 

•Output übersichtlich 

•Analytisches Modell 

CreditRisk + 

•Exposure konstant 

Nachteile 

•Exposure Bänder->Genauigkeit 

•Keine Migrationsrisiken 

•Poisson->E[x]=Var[x] 

->keine empirsiche Evidenz 

•Keine Analyse von Daten 

•p A nicht sinnvoll geschätzt 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


•Asset-basiertes Modell 

•Lineares Modell 

•Monte Carlo Simulation 

•Normalverteilung 

•Kreditmigrationen 

•Spezielle Risiken bei recovery rate 

•Unbeobachtbare latente ZV 

•Monte Carlo Simulation 

Vergleich beider Modelle 


•Ausfallbasierendes Modell 

•Mischmodell 

•Rein mathematischer Struktur 

• Poisson-Verteilt 

•Faktorladungen/Gewichtung 

Gammaverteilt 

•Keine Migrationsberücksichtigung 

•Fixe recovery rate 

•Hilfsvariablen 

CreditRisk + 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 





Agenda 


– Implementieren von CreditMetrics in CreditRisk + 

– Exkurs: Taylor Entwicklung 



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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Implementieren von CM in CR + 

• Ziel: Credit Risk + – implizite bedingte PD-fkt. p i (x) 

ℑ ( z x) = exp(log(1 + p ( x)( z −1))) ≈ exp( p ( x)( z −1)) 

i i i 

• CreditMetrics: 

• Schuldner fällt aus, wenn 

xw + η ε < Cζ i i i ( i) 

yi = xwi + ηiεi • εi 

ist standardnormal verteilt 

p ( x) = Φ(( C − xw ) / η ) 

i ζ ( i) i i 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 



• Annahme: Ausfall-Ereignisse unabhängig zw. 

Schuldern 

• Bedingte WEF für Ausfälle 

ℑ ( z x) = π ℑ ( z x) ≈ π exp( p ( x)( z − 1)) = exp( μ( 

x)( z −1)) 

i i 

i i 

– Auch hier die Poisson-Approximation möglich 

• Durch Integration nach x: 

∞ 

ℑ ( z) = ∫ 

ℑ( z x) ΦΩ 

( x) dx 

−∞ 

• Alle Risikofaktoren werden durch die Dichte 

berücksichtigt 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Exkurs: Taylor Entwicklung 

• Taylor Entwicklung von f(x): 

1 

f x f x x x 

∞ 

( n) n 

( ) = ∑ 

( 0)( − 0) 

n= 

0 n! 

– Allein mit Hilfe der Funktions- und Ableitungswerte an 

ein und derselben Stelle x 0 

f(x) mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 



• Koeffizient vor z n ist: unbedingte 

Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle im PF 

n n 

μ( 

x) z 

ℑ ( z) = ∫ ∑exp( 

−μ( x)) ΦΩ 

( x) dx 

n! 

– Wobei 

∞ ∞ 

−∞ n= 

0 

∞ ∞ 

1 ⎛ ⎞ 

ℑ ( z) = ∑ ⎜ exp( −μ( x)) μ( 

x) ΦΩ 

( x) dx⎟ z 

n= 

0 n! 

∫ 

⎝ −∞ 

⎠ 

μ( x) ≡ ∑ pi ( x) 

• Übliche CreditRisk + WEF: 

n n 

( ) ( ) n 

∞ 

ℑ z = ∑ 

p ndefaults z 

n= 

0 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 






Agenda 


– Implementieren von CreditRisk + in CreditMetrics 

– Kleine Formunterschiede 


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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Implementieren von CR + in CM 

• Hier CM2S für Vereinfachung 

• Bestimmen die latente Variable für Schuldner i 

K 

⎛ 

i = ⎜ 

k = 1 

k 

−1 

⎞ 

ik ⎟ i 

y ∑ x w ε 

⎝ ⎠ 

• x k und w ik wie in CreditRisk + 

gamma verteilt 

• Die idiokratischen Risikofaktoren εi 

sind i.i.d., 

exponentiell mit 1 verteilt 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 



• Schuldner fällt aus, wenn 

• Da Exponentialfunktion 

• Mit 

K ⎛ ⎞ 

Pr( yi < pζ ( i) x) = Pr ⎜ε i < pζ ( i) 

∑ xkwik x⎟ 

⎝ k = 1 ⎠ 

X ∼ Exp( 

λ) 

x 

P( X x) 1 e λ − 

≤ = − 

λ = 

1 

K ⎛ ⎞ 

Pr( yi < pζ ( i) x) = 1− exp⎜ 

− pζ ( i) 

∑ xkwik ⎟ 

⎝ k = 1 ⎠ 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 



K 

⎛ ⎞ 

Pr( yi < pζ ( i) x) = 1− exp⎜ 

− pζ ( i) 

∑ xkwik ⎟ 

⎝ k = 1 ⎠ 

• Selbe Approximation: 

≈ 

K 

∑ ζ ( i) 

k = 1 

k ik = i 

p x w p ( x) 

• Unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit ist p wie 

benötigt 

−1 

K 

⎛ ⎞ 

pζ ( i) 

= ⎜ x w ⎟ p ( x) 

∑ 

k ik i 

⎝ k = 1 ⎠ 

log(1 + x) ≈ x 

1+ 

x ≈ 

e 

x 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Kleine Formunterschiede 

• Übliche CM Modell: latente variable ist lineare 

Summe von normalen ZV 

• Hier: multiplikative Form 

– > gleiche Idee 

• CM: Schwellenwerte: Funktion von 

• Hier: 

p ζ 

– >Prozess identisch 

p ζ 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 







Agenda 


– Unterschiede 

– Verteilungsannahmen und Funktionsformen 

– Abschluß 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Unterschiede zwischen den Modellen 

•Verteilungsannahmen 

•Funktionsformen 

Wesentliche 

Unwesentliche 

• Lösungstechniken 

• mathematische Sprache 

• Methoden der Kalibriation 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


• Beide Modelle: 

Verteilungsannahmen und 

Funktionsformen 

– Wahl der Verteilung des systematischen Risikofaktors x 

– Funktionsform der bedingten PD p i (x) 

die Form der gemeinsamen Verteilung über 

Schuldnerausfälle im Portfolio 

• CM : NV und 

p ( x) = Φ(( C − 

xw ) / η ) 

i ζ ( i) i i 

beeinflussen die Ergebnisse stark 

• CR: Gammaverteilung und bedingte WEF 

– kleine Abweichung von der Gamma Spezifikaten 

signifikanten Unterschied in der tail percentile Werten 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


CreditRisk CM Version 

• Möglich: Monte Carlo Version von CreditRisk 

– Vermeidet Poissonverteilung 

– Vermeidet Verlust exposures Approximation 

– Ermöglicht Rückzahlungsrisiken 

Verliert Computerfreundlichkeit 

• Orthogonalität in CR auch möglich 

– Mehr Vorsicht bei Identifizierung und Kalibrierung der 

Sektorrisiken 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


• CreditRisk + : 


– Ausfall-basierend; Analytisch 

• CreditMetrics: 

– Asset-basierend; Monte-Carlo Simulation 

• Keine gravierende mathematische Unterschiede 

• Deutliche Unterschiede durch Funktionsformen 

und Verteilungsannahmen 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Literatur 

• Gordy, M.B. (2000): A comparative anatomy of credit risk 

models, Journal of Banking and Finance, 24, 119--149 

• Crouhy, M., Galai, D., Mark, R. (2000): Comparative 

analysis of current credit risk models, Journal of Banking and 

Finance, 24, 59--117 

• Credit Suisse First Boston (CSFB) (1997): CreditRisk+: A 

credit risk management framework, Technical report, Credit 

Suisse First Boston. 

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CreditRisk + 


CR vs CM 

CM in CR 

CR in CM 


Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! 

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CreditMetrics

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