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– Stochastisches Modell: Da sehr wenige Informationen über die Genauigkeit einzelner Zeitreihen sowie auch über die Korrelationen der Modelle untereinander vorliegen, werden die Beobachtungen als unkorreliert und gleich genau betrachtet. Dadurch nimmt die Gewichtskoeffizientenmatrix Qbb diagonale Gestalt an und wird zu einer Einheitsmatrix. Der Varianzfaktor a priori wird bei diesen Annahmen ˚ 0 =1 . Im Folgenden sollen die Beobachtungsgleichungen linearisiert werden, d.h. man bildet die partiellen Ableitungen nach den unbekannten Parametern. Fasst man die Ableitungen in einer kompakten Darstellungsform zusammen, so entsteht die Linearisierungsmatrix, die in der Literatur „Jakobi-Matrix“ genannt wird: A =[1 t i cost i sint i] , i=1,2 ,...l (20) [1u l ] Im nächsten Schritt werden die unbekannten Parameter, die im Vektor x zusammengefasst sind, geschätzt: x= A ' A −1 A' ˚yt (21) Da für diese Schätzung angenommen wurde, dass die Näherungswerte für die Beobachtungen gleich Null sind, wird in diesem Fall der Widerspruchsvektor w gleich dem Beobachtungsvektor ˚y . Nun werden die Verbesserungen für die Beobachtungen bestimmt: v=A x− ˚yt (22) Die verbesserten Beobachtungen ergeben sich als Summe aus den ursprünglichen Beobachtungen und den geschätzten Verbesserungen: yt= ˚yt v (23) Der Varianzfaktor a posteriori wird aus den Verbesserungen für die Beobachtungen bestimmt: 2 v' v 0= b−u Daraus folgt der Fehler der Ausgleichung: (24) 0 = 2 (25) 0 Die Ergebnisse der Ausgleichung im Spektralbereich sind in Abbildung 6 für die GFZ-Daten dargestellt. Die Verläufe der um den Mittelwert reduzierten Stokes-Koeffizienten, der Standardabweichung, des Trendes, der Cosinus- und Sinusamplituden sowie des Fehlers der Ausgleichung können auch in der Form von Gradamplituden dargestellt werden (siehe Abb.10) . Aus dem Verlauf der Kurven für die Änderungen der Stokes-Koeffizienten kann man erkennen, dass die Koeffizienten vom Grad Zwei bis etwa 45 am wenigsten fehlerbehaftet sind. Der Fehler der höheren Grade wächst proportional mit der Gradnummer. Man kann auch erkennen, dass das Signal der Massenänderungen fast vier Größenordnungen schwächer ist, als das gesamte Signal, inklusive dem mittleren Schwerefeld. 20
5.2.2 Glättung mit dem Gauß-Filter Im allgemeinen werden Filter dazu benutzt, um bestimmte Informationen hervorzuheben oder zu unterdrücken. In dieser Arbeit wird der Gauß-Filter eingesetzt, um die kurzwelligen Signale zu dämpfen. Allgemein lässt sich die Wellenlänge der Potentialkoeffizienten aus folgendem Zusammenhang berechnen: Hierin ist: Abbildung 10: Geoid-Gradamplituden des GFZ-Schwerefeldmodells: ────── Stokes-Koeffizienten ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ cos-Amplitude ────── Änderungen der Stokes- Koeffizienten ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ sin-Amplitude ────── Standardabweichung ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ Fehler der Ausgleichung ────── Trend, [m/Jahr] λ ... gesuchte Wellenlänge, [km]; = 40000 n 40000 ... mittlerer Erdumfang, [km]; n ... Grad der Stokes-Koeffizienten. 21 (26)
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