Einführung in die Technische Akustik

I N S T I T U T E O F 

W A T E R A C O U S T I C S, 

S O N A R E N G I N E E R I N G A N D 

S I G N A L T H E O R Y 

Einführung in die Technische Akustik 

Inhalt 

1 Grundbegriffe der Schwingungslehre 

2 Schallfeldgrößen und Wellengleichung für fluide Medien 

3 Ebene Schallwellen in fluiden Medien 

4 Kugelwellen 

5 Synthese von Schallquellen 

6 Reflexion, Brechung und Beugung 

7 Akustische Leitungen 

8 Geometrische Akustik 

Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 

4. Kugelwellen 

1 





Im Gegensatz zu ebenen Wellen sind Kugelwellen zwingend 

mit der Vorstellung bestimmter Schallquellen verbunden. 

Dementsprechend wird bei sphärischen Wellenfeldern unmittelbar 

Bezug auf elementare Quellentypen genommen. 

4.1 Einführung 

Da Schallwellen i.d.R. von räumlich begrenzten Schallquellen 

ausgehen und sich dann über ein immer größeres Gebiet ausbreiten, 

stellen Kugelwellen einen im Vergleich zu ebenen 

Wellen realistischeren Wellentyp dar. 


2





Bei Kugelwellen geht man von der Vorstellung einer punktförmigen 

Quelle aus von der sich die Schallwelle omnidirektional, 

d.h. in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. 

Kugelkoordinaten 

x = r cosϕ cosϑ 

y = r sinϕ cosϑ 

! 

z = r sinϑ 

!x 


z 

!0 

ϕ 

r 

ϑ 

!P 

y 

3 





Im Ursprung des Koordinatensystems befinde sich eine Schallquelle 

verschwindend kleiner Ausdehnung. Von dort wird der 

Schall omnidirektional abgestrahlt. Die Schallfeldgrößen, z.B. 

der Druck, hängen nur von der Entfernung r, nicht aber vom 

Azimut φ und von der Elevation ϑ ab. 

Der in der Wellengleichung 

Δp = 

! 

auftretende Laplace-Operator Δ ist in kartesischen Koordinaten 

durch 

1 

c 2 

∂ 2 p 

∂t 2 

Δ = ∂2 ∂2 ∂2 

+ + 2 2 

∂x ∂y ∂z 2 


4

und in Kugelkoordinaten durch 

Δ = 

! 

∂2 1 

+ 2 

∂r r 2 

∂ 2 

+ 2 

∂ϑ 

1 

r 2 ∂ 

cosϑ 

2 

2 ∂ 

+ 2 

∂φ r ∂r 

tanϑ 

− 

r 2 

∂ 

∂ϑ 





definiert. Da hier die Schallfeldgrößen unabhängig von φ und 

ϑ##sind, vereinfacht sich der Laplace-Operator zu 

Δ = 

! 

∂2 2 ∂ 

+ 2 

∂r r ∂r . 

Die Wellengleichung für den Schalldruck lautet somit 

∂ 

! 

2 p 2 ∂p 

+ 2 

∂r r ∂r 

= 1 

c 2 

∂ 2 p 

. 2 

∂t 


5 





Durch den Ansatz 

q( 

r, 

t) 

p( 

r, 

t) 

= 

r 

geht sie in die folgende einfachere Differentialgleichung über 

! 

Beweis: 

∂ 

∂r 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

∂ 

∂r 

⎛ q⎞ 

⎞ 

⎝ 

⎜ 

r ⎠ 

⎟ ⎟ 

⎠ 

+ 2 

r 

∂ ⎛ q⎞ 

∂r ⎝ 

⎜ 

r ⎠ 

⎟ 

= 1 

r 

1 

c 2 

⇒ (q rr r + q r − q r )r 2 −(q r r − q)2r 

r 4 

∂ 

! 

2 q 1 

= 2 

∂r c 2 

∂ 2 q 

. 

2 

∂t 

∂ 2 q ∂ q r − q r ⇒ 2 

∂t ∂r r 2 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

+ 2r(q r − q) r 

r 4 

= 1 

r 

1 

c 2 

+ 2 

r 


q r − q r 

r 2 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

= 1 

r 

1 

c 2 

∂ 2 q 

∂t 2 

∂ 2 q 

∂t 2 ⇒ ∂2q 1 

= 2 

∂r c 2 

∂ 2 q 

∂t 2 

6





Diese besitzt analog zu Kapitel 3.1 die allgemeine Lösung 

! 

Lösung der Wellengleichung für den Schalldruck ist folglich 

q(r,t)= f t − r c ( )+ g( t + r c). 

( ) 

( ) 

p(r,t)= 1 

f t − r c + 

r 1 

g t + r c 

r ⇒ p(r,t)= 1 

r 

f ( t − r c). 

divergierend konvergierend 

! 

Sie besteht aus einer divergierenden sich in Richtung wachsender 

r ausbreitenden Schallwelle, die die eigentliche Lösung 

der Abstrahlung darstellt und einer konvergierenden auf 

den Ursprung zulaufenden Schallwelle, die physikalisch wenig 

Sinn macht. 


4.2 Die harmonische Kugelwelle 

7 





Bei harmonischer Anregung eines Kugelstrahlers des Radius a 

(atmende Kugel mit omnidirektionaler Abstrahlcharakteristik) 

ist die Lösung der Wellengleichung durch 

p(r,t)= â j(ω t−kr+ϕ ) 

e 

r 

! 

= 

bzw. in reeller Form durch 

A 

r e j(ω t−kr ) mit A = âe jϕ 

{ } = â 

p(r,t)= Re p(r,t) 

! 

gegeben. 

cos(ωt − kr +ϕ) 

r 


a 

r 

8





Die in Kapitel 3.2 für den 1-dimensionalen Fall hergeleitete 

(approximative) Euler-Gleichung 

lautet in komplexer Darstellung und unter Berücksichtigung, 

dass hier r die Rolle von x übernimmt 

Einsetzen von p(r,t) liefert 

∂v 

∂t 

! 

= − A 

ρ 0 

− ∂p 

∂x = ρ ∂v 

0 

∂t 

− ∂p 

∂r = ρ ∂v 

0 

∂t . 

− jke j(ω t−kr ) j(ω t−kr ) 

r − e 

r 2 

= A 

ρ 0 

⎛ 1 jk ⎞ 

+ 2 

⎝ 

⎜ 

r r ⎠ 

⎟ 


und, nach Integration bzgl. t die Schallschnelle 

v(r,t)= 

! 

A 

jωρ0 ⎛ 1 jk ⎞ 

+ 2 

⎝ 

⎜ 

r r ⎠ 

⎟ e j(ω t−kr ) = v(r)e jω t . 

e j(ω t−kr ) 

9 





Im Gegensatz zum Schalldruck setzt sich die Schallschnelle 

aus den mit 

! 1/r abfallenden, der mit dem Schalldruck in Phase ist, und 

! 1/r² abfallenden, dessen Phase um 90° gegenüber der des 

Schalldrucks verschoben ist, 

Beiträgen zusammen. Der erste Beitrag beschreibt das Fernfeld 

! 1 r 1 r 2 

für r >1 


10

der zweite das Nahfeld 





Zur Bestimmung der komplexen Amplitude A müssen wir die 

Randbedingung in die Gleichung für die Schallschnelle einsetzen, 

d.h. unsere Lösung so anpassen, dass sie auf der Oberfläche 

des Kugelstrahlers mit der vom Kugelstrahler erzeugten 

Schnelle übereinstimmt. 

Man erhält für r&=%a& 

1 r 1 r 2 

für r





An der Oberfläche des Kugelstrahlers sind der Schalldruck 

und die Schallschnelle um 90° zueinander phasenverschoben. 

Außerhalb des Kugelstrahlers, d.h. r%>%a, ergibt sich der 

Schalldruck zu 

wobei 

p(r,t)= A 

r e j(ω t−kr ) = jωρ0a2v(a) r 

! 

j(ω t−kr ) 

e 

= jωρ0Q(a) e 

4πr 

j(ω t−kr ) = p(r)e jωt , 

! Q(a)= 4πa2 v(a) 

die Schallflussamplitude des Kugelstrahlers, d.h. die über die 

Kugeloberfläche integrierte Schnelleamplitude, bezeichnet. 


13 





Diese Beziehung gilt im ganzen interessierenden Frequenzbereich, 

wenn der Radius des Kugelstrahlers nur hinreichend 

klein ist (Punktstrahler, Monopol). 

4.3 Leistung eines Punktstrahlers 

Die Intensität ist nach Kapitel 3.5 gegeben durch 

I(r)= p(r,t)v(r,t)= 1 

2 Re p(r)v ∗ { (r) } 

= 1 A jkr jA 

Re e− 

2 r ∗ 

⎧⎪ 

⎫ 

jkr ⎪ 

⎨ 

(1− jkr)e 2 ⎬ = 

⎩⎪ ωρ r 0 ⎭⎪ 

| A|2 

kr 3 

2ωρ r 0 

! 

= ω /2 2 4 2 

ρ a |v(a)| 0 

2ωρ r 0 2 

2π 

λ = ωρ0 |Q(a)|2 

16πr 2 c f = ρ0 |Q(a)|2 

32π 2 ω 

c 

2 


r 2 = ρ0 ˆq 2 (a) 

32π 2 c 

ω 2 

r 2 

14

mit 





! Q(a)= ˆq(a)e jϑ , wobei q(a,t)= Q(a)e jω t j(ω t+ϑ ) 

= ˆq(a)e 

Bei stationärem/harmonischem Schallfluss nimmt die Leistung 

! quadratisch mit der Frequenz zu 

! bei zunehmender Entfernung mit 1/r² ab. 

Durch Integration der Intensität auf der Kugeloberfläche erhält 

man die gesamte Wirkleistung 

! P = IdA = 4πa2I(a)= ρ0 ˆq 2 (a) 2 

∫∫ 

ω 

S 

8πc 


4.4 Strahlungsimpedanz 

. 

15 





Die atmende Kugel muss an ihrer Oberfläche die Reaktionskraft 

des sie umgebenden Mediums überwinden. Diese ist 

gegeben durch 

wobei S = 4πa 2 

angibt. 

! F(a)= S p(a)= S Z v(a)= Z S v(a), 

die)Oberfläche)der)ruhenden)Kugel, 

p(a) den)Schalldruck)und 

v(a) die)Schallschnelle)an)der)Oberfläche, 

Z = p(a) v(a) die)akustische)Impedanz)und 

Z S = F(a) v(a) die)Strahlungsimpedanz)mit))Z S = S Z 


16

Einsetzen von p(a) und v(a) in Z bzw. Z% S&%liefert 

Z = 

− jka 

(A a)e 

(A jωρ a 0 2 )(1+ jka)e − jka = jωρ0a 1+ jka 

bzw. 

! 

= 

Mit Hilfe der Strahlungsimpedanz lässt sich gemäß 

jρ0cka 1+ jka = ρ0c jka 

1+ jka = 

ρ c 0 

1+1 jka = 

ρ c 0 

1− j ka 

Z = S S 

! 

jωρ0a ρ c 0 = S 

1+ jka 1− j ka . 

P = 

! 

1 

Re{ F(a)v *(a) } = 

2 1 

Re{ Sp(a)v *(a) } 

2 

= 1 2 

v(a) Re{ Z S } = 

2 1 2 

v(a) WS 2 






17 





die abgestrahlte Wirkleistung berechnen, wobei W S als Strahlungswiderstand 

bezeichnet wird, der hier durch 

W = Re Z S S 

! 

gegeben ist. 

Die Frequenzabhängigkeit des Strahlungswiderstandes und der 

abgegebenen Leistung bei frequenzkonstanter Strahlerschnelle 

kann leichter interpretiert werden, wenn man den Kehrwert der 

Strahlungsimpedanz bildet 

! 

1 

Z S 

wobei 

{ } = 

Sρ c 0 

1+1/(ka) 2 = Sρ0ck2a 2 

1+ k 2 a 2 ≈ Sρ0ck2a 2 ⎧⎪ 

für!!ka 1 

⎨ 

⎩⎪ Sρ c für!!ka 1 

0 

= 1 1+ jka 1 

= 

Sρ c jka Sρ c 0 0 + 

1 

jSρ ck 0 a 


ω 

= 1 

Sρ 0 c + 

1 

jω4πa 3 ρ 0 

= 1 

Sρ 0 c + 

1 

jωM S 

, 

18

die „mitschwingende Mediummasse“ bezeichnet. 

Elektrisches Ersatzschaltbild 

Die mechanische Last besteht also aus dem 

! reellen Anteil Sρ 0 c und dem 

! M S = 4πa3 ρ 0 





! imaginären Anteil M S&=%4πa³ρ 0, der mitschwingenden 

Mediummasse. 


1 

F(a)%=%S&p(a) % 

W S&&/&Sρ 0c 

& 

0,1 

v(a) % 

Z% S %⇒% %Sρ 0 c& M S =4πa³ρ 0 % 

1 

19 





Bei tiefen Frequenzen wird überwiegend Mediummasse hin- und her 

bewegt, was wirkleistungslos und ohne Schallabstrahlung erfolgt. 

Bei höheren Frequenzen wird das Medium wegen der Massenträgheit 

zunehmend periodisch verdichtet (Druckänderungen), was 

zu einer fortwandernden Welle, d.h. zur Schallabstrahlung, führt. 


10 

Kugelstrahler 

Kolbenmembran 

ka& 

20

4.5 Doppler-Effekt 





Bewegt sich Quelle und Empfänger einer Welle relativ zueinander, 

so nimmt der Empfänger mit der Frequenz f E eine von 

der Frequenz f Q der Quelle verschiedene Frequenz wahr. 

Bei Schallwellen wurde dieser Effekt erstmals von C. Doppler 

im Jahre 1842 beschrieben. 

Zur Berechnung der Empfängerfrequenz sind die Fälle 

! Quelle ruht, Empfänger bewegt sich 

! Empfänger ruht, Quelle bewegt sich 

! Empfänger und Quelle bewegen sich 

! Quelle bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit 

zu unterscheiden. 


21 





Wellenfelder zum Doppler-Effekt 

a) ruhende Quelle, b) bewegte Quelle, 

bewegter Empfänger ruhender Empfänger 

Q vE Q 

vQ λ 


λ " 

22

4.5.1 Quelle ruht, Empfänger bewegt sich 





Empfänger bewegt sich mit v E radial auf die Quelle zu bzw. 

von der Quelle weg. 

" Wellenberg/Verdichtung und Wellental/Verdünnung wech- 

seln sich beim Empfänger in rascherer Folge bzw. in langsamerer 

Folge gegenüber dem statischen Fall ab. 

Der zeitliche Abstand zweier aufeinanderfolgender Wellenberge 

/ Verdichtungen beträgt am Empfänger 

T = E 

! 

λ 

c + vE bzw. 

T E = λ 

c − v E 


Der Empfänger registriert also die Frequenz 

f = E 

bzw. 

die sich mit c = λ#fQ" wie folgt ausdrücken lässt. 

c + vE λ ! 

f = f 1+ bzw. 

E Q 

! 

v ⎛ ⎞ 

E 

⎜ 

⎝ c 

⎟ f = f 1− E Q 

⎠ 

v ⎛ ⎞ 

E 

⎜ ⎟ 

⎝ c ⎠ 

4.5.2 Empfänger ruht, Quelle bewegt sich 

f E = c − v E 

λ 

23 





In Bewegungsrichtung eilt eine Quelle ihren eigenen Wellenzügen 

hinterher 


24





" Der Abstand der Wellenfronten verringert sich vor der 

Quelle bzw. vergrößert sich hinter der Quelle. 

Für einen Empfänger auf den sich die Quelle zubewegt bzw. 

von dem sich die Quelle wegbewegt ist die wirksame Wellenlänge 

durch 

bzw. 

gegeben. Der Empfänger nimmt also wegen 

die Frequenz 


wahr. 

! 

λ E = λ − v Q T Q 

f E = 

f E = c λ E und c = λ f Q = λ T Q 

f Q 

1− v Q c 

bzw. 

4.5.3 Empfänger und Quelle bewegen sich 

λ E = λ + v Q T Q 

25 





Bewegt sich Empfänger und Quelle relativ zum Ausbreitungsmedium 

so unterscheidet man die folgenden 4 Fälle. 

! Empfänger und Quelle bewegt sich aufeinander zu 

! Empfänger und Quelle bewegt sich voneinander weg 

! Empfänger folgt Quelle 

! Quelle folgt Empfänger 


! 

f E = 

f Q 

1+ v Q c 

26

Empfänger und Quelle bewegen sich aufeinander zu 

f Q = 





Frequenz einer ruhenden 

Ersatzquelle (vor der Quelle) 

Empfänger und Quelle bewegen sich voneinander weg 

f Q = 

f Q 

1− v Q /c 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

f E = f Q 1+ v E 

f Q 

1+ v Q /c 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

c 

f E = f Q 1− v E 

c 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= f 1+ v /c E 

Q 

1− v /c Q = f c + vE Q 

c − vQ Frequenz einer ruhenden 

Ersatzquelle (hinter der Quelle) 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= f 1− v /c E 

Q 

1+ v /c Q = f c − vE Q 

c + vQ Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 

Empfänger folgt Quelle 

f Q = 

f Q 

1+ v Q /c 

Quelle folgt Empfänger 

27 






Ersatzquelle (hinter der Quelle) 

f = f E Q 1+ 

! 

v ⎛ ⎞ 

E 

⎜ 

⎝ c 

⎟ 

⎠ 

= f 1+ v /c E 

Q 

1+ v /c Q = f c + vE Q 

c + vQ f Q = 

f Q 

1− v Q /c 


Ersatzquelle (vor der Quelle) 

f = f E Q 1− 

! 

v ⎛ ⎞ 

E 

⎜ 

⎝ c 

⎟ 

⎠ 

= f 1− v /c E 

Q 

1− v /c Q = f c − vE Q 

c − vQ Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 

28





Anmerkung 

Die angegebenen Formeln sind nicht beim Doppler-Effekt von 

elektromagnetischen Wellen anwendbar. Dort ist nicht die Geschwindigkeit 

relativ zu einem ruhenden Koordinatensystem, 

sondern nur die Relativgeschwindigkeit v von Quelle und 

Empfänger zueinander maßgebend. 

Es ergibt sich bei 

Annäherung bzw. Entfernung 

f E = f Q 

c + v 

c − v 

f E = f Q 


c − v 

c + v 

29 





4.5.4 Quelle bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit 

Mit v Q"→"c""rücken die Wellenfronten vor der Quelle immer 

dichter zusammen, bis sie schließlich bei v Q"="c""alle durch 

einen gemeinsamen Punkt gehen und die Einhüllende einer 

ebenen Wand gleicht. 

Bei v Q ">"c", d.h. Überschallgeschwindigkeit, durchstößt die 

Quelle diese Wand (sogenannte Schallmauer) und es stellt 

sich ein Wellenfeld mit einer kegelförmigen Einhüllenden, 

dem sogenannten Machschen-Kegel, ein. 

Die kegelförmige Wellenfront nennt man auch Kopfwelle. 


30

! ct 

α 





Q 

v Q t ! v Q 


31 





Da sich die Wellenfront auf dem Kegelmantel konstruktiv addieren, 

hört ein von der kegelförmigen Wellenfront getroffener 

Beobachter einen explosionsartigen Knall. 

Der Öffnungswinkel des Machschen-Kegels ergibt sich wegen 

zu 

wobei 

sinα = 

! 

ct c 

= = 

v t v Q Q 

1 

Ma 

β = 2α = 2arcsin 1 ⎛ ⎞ 

⎝ 

⎜ 

Ma⎠ 

⎟ , 

! 

die Machsche-Zahl bezeichnet. 

Ma = vQ c 


32

Literatur zu Kapitel 4 

[1] D.T. Blackstock, Fundamentals of Physical Acoustics, 

Wiley, 2000 





[2] L. Cremer und M. Möser, Technische Akustik, Springer, 2003 

[3] E. Hering, R. Martin und M. Stohrer, Physik für Ingenieure, 

Springer, 2002 

[4] H. Kuttruff, Akustik: Eine Einführung, Hirzel Verlag, 2004 

[5] R. Lerch, G. Sessler und D. Wolf, Technische Akustik: 

Grundlagen und Anwendungen, Springer, 2009 

[6] P.A. Tipler, Physik, Spektrum, 1994 


33

Einführung in die Technische Akustik

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