x - Hochschule Bremen

Höher Mathematik 1
Kapitel 4
Inhaltsverzeichnis
4 Differentialrechnung...........................................................................................................4-1
4.1 Grundlagen........................................................................................................................4-1
4.1.1 Ableitung einer differenzierbaren Funktion...............................................................4-1
4.1.2 Ableitungen einiger Grundfunktionen .....................................................................4-16
4.1.3 Höhere Ableitungen.................................................................................................4-27
4.2 Anwendungen der Differentialrechnung.........................................................................4-31
4.2.1 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen............................................................4-31
4.2.2 Nullstellen und Fixpunkte........................................................................................4-40
4.2.2.1 Allgemeines Iterationsverfahren ......................................................................4-40
4.2.2.2 Newton-Verfahren............................................................................................4-51
4.2.3 Berechnungen von Grenzwerten, Regel von de l’Hospital......................................4-57
4.2.4 Kurvendiskussion.............................................................................................................. 4-66

4 Differentialrechnung
4.1 Grundlagen
4.1.1 Ableitung einer differenzierbaren Funktion
Definition 4-1:
Es sei f eine auf dem Intervall I definierte Funktion und x 0 I. f
heißt in x 0 differenzierbar, wenn der Differenzenquotient
f
f ( x)
f ( x0)
f ( x0
h)
f ( x0)
:
x
x x0
h
für x x0 bzw. h 0 einen endlichen Grenzwert besitzt. Der Grenzwert
(sofern er existiert) heißt die Ableitung der Funktion f in x0 und
man schreibt
df f( x) f ( x0) f ( x0 h) f ( x0)
f( x0) ( x0)
lim lim
.
dx xx0x x h0h
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Betrachtet man beim Grenzübergang x x 0 nur x > x 0 bzw. x < x 0, so
heißt f in x 0 rechtsseitig bzw. linksseitig differenzierbar und der Grenzwert
die rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung von f in x 0.
Satz 4-1:
Es sei f : I und x 0 . Existiert die linksseitige und rechtsseitige
Ableitung in x 0 und sind diese gleich, d.h.
f ( x)
f ( x0
) f ( x)
f ( x0)
lim
lim
a
xx0
x x
xx0
0
x x0
dann ist f differenzierbar in x0 mit f (x0) = a.
Beispiel:
1) f (x) = C x f (x) = 0 x , denn
f ( x)
f ( x0)
C C
lim
lim
x
x 0 x x x
x0
x x
0
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0
0
0.

2) f (x) = x x f (x) = 1 x , denn
f ( x)
f ( x0)
x x
lim
lim
x x 0 x x x
x0
x x
Geometrische Deutung der Ableitung
Anstieg der Sekante:
y
f (x)
f ( x0)
x0
0
x
y
tan
x
( ) ( f x f x
x x
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x
y
0
0
0
Sekante
Tangente
Der Grenzwert (sofern er existiert) ist
y
f ( x)
f ( x0)
f (
x)
lim lim
x0 x
x
x0
x x0
gibt den Anstieg der Tangente in (x0, f (x0)) an. Ist f in x0 differenzierbar,
ergibt sich die Tangente an den Graphen y = f (x) in (x0, f (x0)) zu
y f x ) (
x x ) f ( x )
( 0
0 0
Physikalische Deutung der Ableitung
Gegeben sei s = s (t), die von einem Massenpunkt zur Zeit t zurückgelegte
Strecke. Der Differenzenquotient
0 ) ( ) ( s
s t s t
t
t t
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0
0 )
1
gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [t, t 0] an.

Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 erhält man durch
Grenzübergang
s(
t)
s(
t0)
v(
t0)
lim s(
t0)
s
( t0)
t t0
t t
Anmerkung:
Für Ableitungen nach der Zeit schreibt man üblicherweise
0
s ( t),
s
(
t),
s
(
t)
statt s(
t),
s(
t),
s
( t)
.
Stetigkeit ist notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit
Satz 4-2:
Jede in x 0 I differenzierbare Funktion f : I ist dort auch stetig.
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Beweis:
Aus
folgt mit
f ( x)
f ( x0)
f ( x)
f ( x0)
( x x0)
x x
f( x) f( x )
lim f( x) f( x ) lim ( xx )
0
0 0
xx0 xx0 xx0
lim( xx ) lim
0
xx xx 0 0
0 f( x ) 0
die Stetigkeit, d.h. limxx 0 f (x) = f (x 0).
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0
0
f ( x) f ( x0)
xx 0

Anmerkung:
Die Umkehrung gilt nicht, d.h. aus der Stetigkeit folgt nicht die Differenzierbarkeit.
Die Stetigkeit ist somit keineswegs hinreichend für die Differenzierbarkeit.
Beispiel:
x
: für x 0
1) f ( x)
|
x |
x : für x 0
f ist differenzierbar in allen x \{0}, aber f ist nicht differenzierbar
in x0 = 0, denn
| x | 0 x
lim lim 1
x0
x 0 x0
x
| x | 0 x
lim lim 1
x0
x 0 x0
x
linksseitige
rechtsseitige
Ableitung
Ableitung
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2)
d.h. rechtsseitige Ableitung linksseitige Ableitung
f ist in x 0 = 0 nicht differenzierbar.
x
sin(
1 x)
: für x 0
f ( x)
0
: für x 0
f ist stetig in x0 = 0, aber f ist nicht differenzierbar in x0 = 0,
x sin( 1 x)
1
denn lim limsin
existiert nicht.
x0
x 0 x0
x
Differentiationsregeln
Satz 4-3:
a) Sind die Funktionen f, g : I in x 0 differenzierbar, dann gilt
1) f
g)
(
x ) f (
x ) g(
x )
( 0
0
0
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2) ( cf )( x0) cf (
x0) c
3) ( f g)
( x0)
f (
x0)
g(
x0)
f ( x0)
g(
x0)
4) ( f g)
( x0)
f (
x0)
g(
x0)
f ( x0)
g(
x0)
,
2
g ( x )
g(
x0)
0
0
b) Ist g : I in x 0 I und f : I in g (x 0) I differenzierbar,
so ist auch h = f g (h (x) = f (g (x))) in x 0 differenzierbar
g( x ) g ( x )
h( x0)
( f g)
(
x0)
f 0 0
c) Ist f : I stetig und streng monoton in I und in x 0 I differenzierbar
mit f (x 0) 0, dann ist f 1 in y 0 = f (x 0) differenzierbar mit
1
1
( f ) (
y0)
1
f (
f ( y
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Beweis:
a)
f ( x) g( x) f ( x0) g( x0) f ( x) f ( x0) g( x) g( x0)
1)
x x0 x x0 x x0
f ( x ) g( x )
2)
xx 0
0 0
0 0
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0
.
))
cf( x) cf( x0) f( x) f( x0)
c cf(
x0)
xx0 x x xx f ( x) g( x) f ( x ) g( x )
xx0 f ( x) g( x) f ( x0) g( x) f ( x0) g( x) f ( x0) g( x0)
xx 3) 0 0
0

f ( x) f ( x0) g( x) g( x0)
g( x) f ( x0)
x x0 x x0
g( x ) f( x ) f ( x ) g( x )
xx 4) 1. Schritt
0
0 0 0 0
1 g( x) 1 g( x0) 1 g( x0) g( x) g(
x0)
x x g x g x x x g x
xx0 2
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
2. Schritt
1 g(
x0)
( f g)( x0) ( f 1 g)( x0) f( x0) f( x0)
2
g( x0) g ( x0)
f( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
0 0
2
g ( x0)
0 0
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b)
f( g( x)) f( g( x0)) f( g( x)) f( g( x0)) g( x) g(
x0)
xx0 gx ( ) gx ( 0) xx0 f( g( x )) g(
x )
xx 0
0 0
1 1
c) f ( f (x)) = x x I, f ist stetig und streng monoton. Es sei
1
y = f (x) f (x0) = y0 x = f (y) f
1 (y0) = x 0
1 1
f ( y) f ( y ) x x 1 1
0 0
lim lim
yy 1
0 x x
y y 0 f( x) f( x ) f( x ) f( f ( y ))
Beispiel:
1)
k
f( x) x , k
k
f ( x) kx
k 0, k 1:
0 0 0 0
s. früheres
Beispiel
k 1
k k k 1
k 0,
k k 1:
( x ) ( x x ) 1x
x k x ( k 1)
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1
x
k

k 0 k
0
k 1
f ( x)
x k
x
,
( k
x
f (
x)
k
2
( x )
n
k
2) f ( x)
a
k x f ( x)
k
a
k0
n
k 1
k
x
k
1
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k1
(Polynome sind differenzierbar auf )
)
x 0
k x
3) f ( x)
p(
x)
q(
x)
p, q sind Polynome, also ist f eine gebrochenrationale Funktion. f
ist differenzierbar in allen x \{Nullstellen von q} mit
p(
x)
q(
x)
p(
x)
q(
x)
f (
x)
2
q ( x)
4) g ( x)
x , x 0
g ist differenzierbar für alle x > 0 mit (
ist Umkehrfunktion von f (x) = x
x) 1 ( 2 x)
, denn g
2 , f (x) = 2x
1
g f und
1
g(
y0)
( f ) (
y0)
1 1 1 1
1
1
f (
f ( y0))
2 f ( y0)
2g(
y0)
2 y0
5)
3 x
:
f ( x)
2
x
:
für x 0
für x 0
f ist differenzierbar für x < 0 mit f (x) = 3x 2
f ist differenzierbar für x > 0 mit f (x) = 2x
2
lim 3x
0 und lim 2x
0
x0
x0
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k 1
linksseitige Ableitung = rechtsseitige Ableitung

f ist differenzierbar für x = 0 mit f (0) = 0
2 3x
f (
x)
0
2x
:
:
:
für x 0
für x 0
für x 0
Definition 4-2:
Es sei f : I .
a) f heißt differenzierbar in I, wenn f in jedem inneren Punkt von I
differenzierbar ist.
b) f heißt differenzierbar auf I, wenn f differenzierbar in I und falls
x0 I rechter Randpunkt (bzw. linker Randpunkt) von I, f rechtsseitig
(bzw. linksseitig) differenzierbar ist.
c) Ist f stetig in (bzw. auf) I, so heißt f in (bzw. auf) I stetig differenzierbar.
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Beispiel:
f ( x)
x
2
f (
x)
2x
da f (x) = 2x stetig auf
f (x) = x 2 ist stetig differenzierbar auf
4.1.2 Ableitung einiger Grundfunktionen
Trigonometrische Funktionen
Es gilt
1) sin x cos x
x
2) cos x sin
x
x
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3)
1
tan x 2
cos
2
1
tan x
x
x k
2
4)
1
2
cot
x (
1
cot x)
2
sin x
x k
5) arcsin
x
1
2
1
x
x 1
6) arccos
x
1
2
1
x
x 1
1
7) arctan
x 2
1
x
x
1
8) arccot
x 2
1
x
x
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Beweis:
sin( x h)
sin x 2sin(
h / 2)
cos( x h / 2)
1) sin
x lim
lim
h0
h
h0
h
sin( h / 2)
lim limcos(
x h / 2)
cos x
h0
h / 2 h0
2)
3)
cos( x h)
cos x 2sin(
h / 2)
sin( x h / 2)
cos
x lim
lim
h0
h
h0
h
sin( h / 2)
lim limsin(
x h / 2)
sin x
h0
h / 2 h0
sin
xcos
x sin xcos
x
tan
x ( sin x cos x)
2
cos x
2 2
cos x sin x 1
2
1
tan x
2
2
cos x cos x
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4)
5)
6)
cos
xsin
x cos xsin
x
cot
x ( cos x sin x)
2
sin x
2
2
sin x cos x 1
2
(
1
cot x)
2
2
sin x sin x
1 1 1
arcsin
x
sin (arcsin x) cos(arcsin x) 1
x
2
2
cos y 1sin y, y 2, 2;
cos(arcsin x) 1sin (arcsin x)
1 1 1
arccos
x
cos (arccos x) sin(arccos x) 1
x
2 2
sin y 1cos y, y0, ;
sin(arccos x) 1cos (arccos x)
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1
tan(arctan
x)
1
(arctan x)
7) arctan
x
2
2
1
tan
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2
1
1
x
1
1
1
arccot
x
cot(
arccot x)
1
cot ( arccot x)
1
x
8) 2
2
Exponential- und Logarithmusfunktionen
1)
1
ln x
x
x > 0
2)
1
log a x
x ln a
x > 0
3)
x x
( e ) e
x
x x
4) ( a ) a ln a a > 0, x
2

Beweis:
1)
2)
3)
ln( x h)
ln x
ln
x lim
lim
h0
h
h0
1 1
limln
1
x h 0
x h
1
log a x ln
x
ln a
(
1
ln(
e
1
1 e
x
1
ln
x
e )
x x
)
x
h
a
e
x
x
h
1 1
lne
x x
x x ln a x ln a
x
4) ( a ) ( e ) e ln a a ln a
1 x h
ln
x
x
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Ist f differenzierbar und f (x) 0, so gilt mit Hilfe der Kettenregel
(ln | f ( x)
| ) f (
x)
f ( x)
bzw. f (
x)
f ( x)
(ln | f ( x)
| )
Potenzfunktionen
Es gilt
n n1
1) ( ) n x
2)
3)
(
(
n
x 0
k k 1
x ) k x
k x
\{0}
1
x ) x
x 0
Beweis:
1) und 2) siehe oben
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3)
nm, nm ,
nm 1 m n 1 m n1 1 m
( x ) ( x ) (( x ) ) n( x ) ( x )
( n1)
m
n1
m1
n m
n x n
m m n m
x x
1 m m1
m(
x
)
m
m
x
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1
1
, x e , ( x ) ( e ) e
x x
x
x
ln x ln x ln x
1 1
Hyperbolische Funktionen
1) sinh x cosh x
x
2) cosh x sinh x
x
3)
1
tanh x 2
cosh
2
1
tanh x
x
x
1
2
4) coth x 1
coth x x \{0}
2
sinh x
5)
6)
1
arsinh
x
x
2
x 1
1
arcosh
x
x 1
2
x 1
1
x 1
1
x
7) artanh
x 2
1
x
1
1
x
8) arcoth
x 2
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Beweis:
1 x x 1 x x 1 x x
1) sinh x ( e e ) ( e ) ( e )
( e e ) cosh x
2 2 2
1 x x 1 x x 1 x x
2) cosh x ( e e ) ( e ) ( e )
( e e ) sinh x
2 2 2
sinh x cosh xsinh xcosh x
3) tanh x (sinh x cosh x)
2
cosh x
2 2
cosh xsinh x 1
2
1tanh x
2 2
cosh x cosh x
4)
cosh
xsinh
x cosh xsinh
x
coth
x ( cosh x sinh x)
2
sinh x
2
2
sinh x cosh x 1
2
1
coth x
2
2
sinh x sinh x
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5)
6)
1 1 1
arsinh
x
x x x
sinh (arsinh ) cosh(arsinh ) 2
1
2 2
cosh y 1sinh y, cosh(arsinh x) 1sinh (arsinh x)
1 1 1
arcosh
x
x x x
cosh (arcosh ) sinh(arcosh ) 2
1
2 2
sinh y cosh y1, sinh(arcosh x) cosh (arcosh x)
1
1
tanh(
artanh x)
1
( artanh x)
1
1
x
7) artanh
x
2
2
1
coth(
arcoth x)
1
tanh
1
( arcoth x)
1
1
x
8) arcoth
x
2
2
1
coth
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4.1.3 Höhere Ableitungen
Definition 4-3:
Ist f : I in I differenzierbar mit der Ableitungsfunktion f : I
und ist f in x0 I differenzierbar, so heißt f in x0 zweimal differenzierbar
mit
2
d f ( x0)
df
(
x0)
f (
x0)
.
2
dx dx
Existieren analog alle Ableitungen bis zur Ordnung (n1) in I und ist
f (n-1) : I (die (n1)-te Ableitungsfunktion) in x 0 differenzierbar, so
heißt f in x 0 n-mal differenzierbar mit
n
f
n
dx
n1
n2
( n1)
d f d f
df
( )
( x0)
( x0)
( x0)
( x0)
f ( x0)
.
n1
n2
dx dx
dx
d n
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Existiert f (n) in I und ist f (n) : I stetig in I, so heißt f n-mal stetig
differenzierbar in I.
Die Menge der in I n-mal stetig differenzierbaren Funktionen bezeichnet
man mit
n
C ( I) f : I f ist n-mal stetig differenzierbar in I
Spezielle Fälle
n 0 : C( I) f : I f ist stetig in I
n :
C ( I) f : I f ist beliebig oft stetig differenzierbar in I
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Beispiel:
1)
2)
3)
4)
n x x x
f( x) e f( x) e f ( x) e n f( x) sin x, f ( x) cos x, f ( x) sin x,
f ( x) cos x
4 f ( x) sinx
f C
3
f( x) x
2
f( x) 3 x f( x) 6x für x0
2
f( x) x f( x) 2 x f( x) 2 für x 0
f f C
1
(0) existiert nicht ( )
f( x) x
x
x
:
:
für x 0
für x0
f(0) existiert nicht f C( )
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Rechenregeln:
Es seien f, g n-mal stetig differenzierbar in x 0.
( n)
( n)
( n)
1) f g)
( x ) f ( x ) g ( x )
( 0
0
0
( n)
( n)
2) cf ) ( x ) cf ( x )
3)
( 0
0
( f g)
(
x ) f (
x ) g(
x ) f ( x ) g(
x )
( f g)
(
x ) f (
x ) g(
x ) 2 f (
x ) g(
x ) f ( x ) g(
x )
( f g)
(
x ) f (
x ) g(
x ) 3 f (
x ) g(
x ) 3 f (
x ) g(
x ) f ( x ) g
( x )
( f g)
( n)
0
0
0
( x )
0
n
k0
0
0
0
n
f
k
0
0
0
( nk
)
( x ) g
0
0
0
( k )
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0
0
( x )
0
0
0
0
0
0
0
0
0

4.2 Anwendungen der Differentialrechnung
4.2.1 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Definition 4-4:
Es sei f : I , x 0 I. f hat in x 0 ein relatives Extremum (Maximum
bzw. Minimum) genau dann, wenn ein Intervall [a,b] I existiert mit
x 0 (a,b) und f (x) f (x 0) bzw. f (x) f (x 0) für alle x [a,b].
Satz 4-4: (notwendige Bedingung für Extremum)
Hat f : I ein relatives Extremum und ist f in x 0 differenzierbar,
dann gilt f (x 0) = 0.
rel. Maximum
[ ]
x1
a1 b1
rel. Minimum
[ ]
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Beweis:
f besitze in x 0 I ein relatives Extremum, z.B. ein relatives Maximum
f( x 1 n) f( x ) n 0 0
f( x 1 n) f( x )
fx
0 0
( 0)
lim 0
n
( x0 1 n) x0
f( x 1 n) f( x )
fx
0 0
( 0)
lim 0
n
( x0 1 n) x0
f( x ) 0
0
Satz 4-5: (Satz von Rolle)
Es sei f eine auf [a,b] stetige und auf (a,b) differenzierbare Funktion
und es gelte f (a) = f (b), dann existiert ein (a,b) mit f () = 0.
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-32
a2
x2
b2

y
f (a) = f (b)
a b
x
Beweis:
f nimmt als stetige Funktion auf [a,b] ihr absolutes Minimum m 1 und
absolutes Maximum m 2 an, vgl. früheren Satz.
1) m 1 = m 2, dann ist f auf [a,b] konstant und damit f (x) = 0 für alle
x [a,b].
2) m 1 m 2, da f (a) = f (b) ist, nimmt f mindestens einen der beiden
Werte m 1, m 2, an einer inneren Stelle von [a,b] an. Also gilt nach
dem vorangegangenen Satz an dieser Stelle f () = 0.
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-33
Satz 4-6: (Mittelwertsatz)
Es sei f eine auf [a,b] stetige und auf (a,b) differenzierbare Funktion,
dann existiert ein (a,b) mit
f ( b)
f ( a)
f (
)
b a
d.h. die Steigung der Tangente am Punkt (, f ()) ist gleich der Steigung
der Sekante durch die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)).
y
f (a)
f (b)
a b x
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-34

Beweis:
Es sei
f ( b)
f ( a)
h( x)
f ( x)
( x a)
b a
h(
a)
f ( a)
h(
b)
d.h. h erfüllt die Voraussetzungen des Satzes von Rolle. Daher existiert
ein (a,b) mit
f ( b)
f ( a)
h(
) 0 f (
)
b a
f ( b)
f ( a)
f (
)
b a
Anmerkung:
Setzt man für b = x und für a = x 0, so lautet die Aussage des Mittelwertsatzes
f (x) = f (x 0) + f ()(x x 0) mit = x 0 + (x x 0) und 0 < < 1.
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-35
Folgerungen aus dem Mittelwertsatz
Satz 4-7:
Es seien f und g zwei auf [a,b] stetige und auf (a,b) differenzierbare
Funktionen
a) Gilt f (x) = 0 x (a,b) f ist konstant.
b) Gilt f (x) = g (x) x (a,b) f (x) = g (x) + c x (a,b) und
c , d.h. f und g unterscheiden sich nur durch eine Konstante.
c) Gilt f (x) > 0 bzw. f (x) < 0 x (a,b) f ist streng monoton
wachsend bzw. fallend auf [a,b].
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-36

Beweis:
a) Es sei x0 (a,b], dann existiert ein (a, x0) mit
f (a) = f (x0) + f ()(a x0) = f (x0) f (a) = f (x0) x0 (a,b]
f ist konstant.
b) h = f g erfüllt Voraussetzungen von a), d.h. h = f g = 0
x (a,b) h ist konstant f (x) = g (x) + c.
c) f (x) > 0 x (a,b) und a x1 < x2 b
f (x2) f (x1) = f ()(x2 x1) > 0 da f () > 0 und (x2 x1) > 0
f (x2) > f (x1) f (x) < 0 x (a,b) und a x1 < x2 b
f (x2) f (x1) = f ()(x2 x1) < 0 da f () < 0 und (x2 x1) > 0
f (x2) < f (x1) Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-37
Beispiel:
1) e x ist streng monoton wachsend in , da (e x ) > 0 für alle x .
2) ln x ist ebenfalls streng monoton wachsend für x > 0,
da (ln x) = 1/x > 0 für alle x (0,)
3) sin x ist streng monoton wachsend bzw. fallend in den Intervallen, in
denen cos x > 0 bzw. cos x < 0, z.B. streng monoton wachsend bzw.
fallend auf ( /2, /2) bzw. ( /2,3 /2)
ar sinh x ln x 1 x x , denn
2
4)
2
2
1 1 x 1 x 1
arsinhx und ln x 1
x
1 x x 1 x 1
x
2 2 2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-38

5)
2
2
arsinhx ln x 1
x x ar sinh x lnx 1
x c x für x 0 folgt 0 0 c und damit c 0
1
arctan x arctan
2 x
1
arctan
x
1
x
arctan
x
arctan x
für
2
und
(arctan( 1
arctan( 1
x)
) 0
x)
c
x
(arctan( 1
x
0
x
0
denn
x)
)
( 1
x )
2
1
( 1 x)
1
1
x
x 1 folgt 4 4 2 c und damit c 2
0,
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-39
4.2.2 Nullstellen und Fixpunkte
4.2.2.1 Allgemeines Iterationsverfahren
Satz 4-8: (Fixpunktiteration)
Besitzt eine auf [a,b] stetig differenzierbare Funktion g die Eigenschaften
a) a g (x) b für alle x [a,b]
b) es existiert eine Konstante L und |g (x)| < L < 1 für alle x [a,b]
dann gilt
1) Existenz eines Fixpunkts
x ab , mit g( x) x
Es existiert genau ein
2) Berechnung des Fixpunkts
Die Iterationsfolge
g(
x ) n 0,
1,
2,
xn 1
n
Konvergiert für beliebige Startwerte x0 [a,b] gegen den Fixpunkt x .
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-40
2
2

3) Fehlerabschätzung
L
xn x xn 1
L
xn1n 1,
2, 3,
y
x
a x1 x2
x0
b
x
a 2 x
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Beweis:
1) a) Existenz
Falls f (a) = a oder g (b) = b ist nichts mehr zu zeigen.
Im Fall a < g (a) und g (b) < b hat h (x) := g (x) x wegen
h (a) > 0 und h (b) < 0 in (a,b) wenigstens eine Nullstelle x
(Zwischenwertsatz) g( x) x
b) Eindeutigkeit
Gäbe es zwei verschiedene Fixpunkte x1, x
2,
so würde nach dem
Mittelwertsatz ein zwischen 1 x und x 2 existieren mit
gx ( 1) gx ( 2) x1x2 1 g(
)
x1x2 x1x 2
dies ist im Widerspruch zur Voraussetzung g
( )
1
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-42
y
x1
x0
x b
x

( ) ( )
(aus Definition von )
g( ) xn1x(mit Mittelwertsatz)
Lx x
(nach Voraussetzung)
2) xn x gxn1gx xn
n1
2
n
damit gilt xn x L xn1x L xn2 x L x0 x
und
wegen L n 0 für n folgt die Konvergenz
x x 0 bzw. limx
x
n n
n
x x L x x L x x x x
Lxn1xn Lxn x
L
xn x xn1xn 1
L
3) n n1 n1 n n
Dreiecksungleichung
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-43
Beispiel:
2
2
Gesucht wird die Lösung der Gleichung x
2
2
x e . ( ) x
g x e erfüllt
über dem Intervall [0,1] die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes, denn
2
2
x 2
x 2
0 e 1 für 0 x 1 und | g(
x)
| |e 2x|
2 e L 1
Für den Startwert x 0 = 0,5 erhält man die Iterationsfolge
x 1 = 0,1737739|4345045 x 2 = 0,1394843|8549341
x 3 = 0,1379941|3341299 x 4 = 0,1379370|8285302
x 5 = 0,1379349|1146036 x 6 = 0,1379348|2883373
Fehlerabschätzung
2 e
x6 x x6 x5 2,3 10
12 e
7
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Anmerkung:
Ist g ( x)
L 1 für alle x [a,b] und ist g stetig differenzierbar mit
g [ a, b] [ , ] , so existiert die Umkehrfunktion
, 1
g g ( u)
1
g :[ , ] [ a, b]
mit
1 1
dg dg
1 1
max ( u) 1, denn ( u) u[ , ].
du du L
u
Also kann man in diesem Fall zur Umkehrfunktion übergehen, denn es
1
gilt g( x) x g ( x) x
.
Beispiel:
Gegeben: g( x)
tan( x)
Gesucht: tan x x
mit x (
2,32), Schnittpunkt des zweiten Tangens-Astes
mit der Winkelhalbierenden
2
g ( x)
1
tan x 2 1 x
[
5
4,
3
2)
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-45
1
g ( x)
arctan x erfüllt x
[
1,
)
die Voraussetzun-
gen, denn
1
dg
1
max ( x)
max
x1,
1,
2
dx
x 1
x
1
g ist streng monoton wachsend mit
g x
Iterationsfolge:
x0 = 5 /4
x4 = 4,4934062
x5 = 4,4934093
L 1
1
1
1
1 5
4 ( 1)
g ( x)
lim g ( x)
3
2
Fehlerabschätzung:
12
x5 x x5 x4 3,1 10
11 2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-46
1
2
6

Berechnen von Nullstellen:
Gegeben: f :[ a, b]
Gesucht: x [
ab , ] mit f( x ) 0 (Nullstelle von f )
Zurückführen auf eines der Fixpunktverfahren
1) f( x) 0 g( x) x
mit
g( x)
x f ( x),
falls 2 f (
x)
0 x
[
a,
b]
2) f( x) 0 g( x) x
mit
g( x)
x f ( x),
falls 0 f (
x)
2 x
[
a,
b]
3) f( x) 0 g( x) x
mit
g so wählen, dass max g( x)
möglichst klein
,
xa b
4) Newton-Verfahren, f( x) 0 g( x) x
mit
g( x)
x f ( x)
f (
x)
falls f (
x)
0 x
[
a,
b]
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-47
Beispiel:
Gesucht wird die Nullstelle von
2
f ( x)
x 5x
4 in [ a,
b]
[ 0,
2]
Da f(0) 4 0 und f(2) 20 x[0,2] mit f( x
) 0
a) Wegen f (x) = 2x 5 und damit f (0) = 5 sind die ersten beiden
Möglichkeiten ungeeignet. Aber
2
2
f ( x)
0 x 5x
4 0 ( x 4)
5 x.
Wähle
2
g ( x)
( x 4)
5 g(
x)
2x
5 4 5 L 1
[ 0,
2]
.
Aus g (x) = 2x/5 > 0 in [0,2] folgt g ist streng monoton wachsend
in [0,2] und
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-48
in

0 4 5 g ( 0)
g(
x)
g(
2)
8 5 2 x
[
0,
2]
.
Somit sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt.
Mit dem Startwert x0 = 0 erhält man die Iterationsfolge
x1 = 0,8
x2 = 0,928
x3 = 0,9722368
x4 = 0,98904887905485
x5 = 0,99564353703193
x6 = 0,99826121056669
Fehlerabschätzung für x6 ergibt
45
2
x6 x x6 x5 1,0510 .
14 5
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-49
b) Newton-Verfahren
f ( x)
x
2
5x
4,
f (
x)
2x
5
2
2
f ( x)
x 5x
4 x 4
g(
x)
x x
f (
x)
2x
5 2x
5
Die Voraussetzungen für Konvergenz werden im nächsten Abschnitt
formuliert.
Mit dem Startwert x 0 = 0 erhält man die Iterationsfolge
x 1 = 0,8
x 2 = 0,98823529411765
x 3 = 0,99995422293431
x 4 = 0,99999999930151
x 5 = 1,00000000000000
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-50

4.2.2.2 Newton-Verfahren
Es sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetig differenzierbare Funktion mit
f (a) f (b) < 0 (Vorzeichenwechsel), d.h. x (
ab , ) mit f( x ) 0
Gesucht: x Nullstelle von f in [a,b]
Näherungsverfahren zur Bestimmung von x
Wähle Startwert (Anfangsnäherung) x0 [a,b]. Die Tangente an f im
Punkt (x0, f (x0)) (Linearisierung der Funktion f ) ist gegeben durch
T x)
f ( x ) f (
x ) ( x x ).
( 0
0 0
Bestimme x1 als Nullstelle von T (x), also (nächste Näherung)
f ( x0)
T ( x1)
0 f ( x0)
f (
x0)(
x1
x0)
0 x1
x0
( f (
x0)
0 ).
f (
x )
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-51
Allgemein für n 0
n 1
f ( xn)
f (
x )
Beispiele für Konvergenz und Divergenz
y
Konvergenz
x2 1 x
x0
y
x
x
x
n
Konvergenz gegen
andere Nullstelle
x1
x
y
x0 2
x
x1
x2
n
Konvergenz
f (
x)
0
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-52
x0
für
y
x
Verfahren geht
nicht f (x 0 ) = 0
x0
y
x
0
keine oder schlechte
Konvergenz
x0
x

Satz 4-9: (Konvergenzkriterium für das Newton-Verfahren)
Es sei f : [a,b] eine auf [a,b] zwei mal stetig differenzierbare
Funktion mit f (x) 0 für alle x [a,b]. Für einen Startwert x0 seien
f ( xn)
xn
1 xn
[
a,
b]
f (
xn)
für alle n 0. Ferner sei
f ( x)
f (
x)
K max 1.
x a, b
2 f( x)
Dann konvergiert die Folge ( x n)
n0
gegen die einzige Nullstelle x [
ab , ]
von f und es gelten die Fehlerabschätzungen
K
f( xn)
xn x xn xn1bzw. xn x
.
1K min f( x )
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-53
,
xa b
Beweis:
Bis auf die letzte Fehlerabschätzung folgen alle Aussagen unmittelbar aus
dem Fixpunktsatz. Die letzte Fehlerabschätzung ergibt sich unmittelbar
aus dem Mittelwertsatz wie folgt:
f( x ) f( x )
n
n
0 f x f( xn) f( n)(
xxn) xn x
f( ) min f( x)
Beispiel:
Gegeben: f ( x)
2
x a,
a 0
Gesucht: positive Nullstelle x a
Für f x x a
2
( ) liefert das Newton-Verfahren mit
g(
x)
x
2
f ( x)
x a 2x
x
f (
x)
2x
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-54
2
x
2x
2
n
n
x[ a, b]
2
a x a 1 a
x
2x
2 x

die Iterationsvorschrift
x ( x a
n 1 n n
Es sei x0 a .
2
1
g( x)
( 1
a x ) 2 0 g(
x)
L 1
2
x
[
a,x0]
g ist monoton wachsend in a ,x ] .
[ 0
a g(
a)
g(
x)
g(
x0
) x0
x
[
a,x0]
Somit sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt und es gilt
xn n
mit der Fehlerabschätzung
1 2
xn
a
1
1 2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-55
Für a = 2, also x 2
Iterationsfolge
x
)
a
2.
xn
xn1
xn
xn1
erhält man mit dem Startwert x 0 = 1,5 die
x 1 = 1,41666666666666
x 2 = 1,41421568627451
x 3 = 1,41421356237469
x 4 = 1,41421356237309
Fehlerabschätzung für x 4 liefert
x4 x x4 x3 1, 6 10
12
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-56
.

4.2.3 Berechnungen von Grenzwerten, Regel von de l’Hospital
Vorbereitend wird der erweiterte Mittelwertsatz gezeigt.
Satz 4-10: (Erweiterter Mittelwertsatz)
Es seien f,g : [a,b] stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b)
mit g (x) 0 für alle x (a,b). Dann existiert ein (a,b) mit
f ( b)
f ( a)
f (
)
g(
b)
g(
a)
g(
)
Beweis:
Es ist g(b) g(a), da g (x) 0 auf (a,b) (Mittelwertsatz). Ferner sei
F(
x)
:
f ( b)
f ( a)
g(
b)
g(
a)
(
a,
b)
mit F(
) 0 ( Satz von
f( x)
f ( a)
g( x)
g(
a)
Rolle).
F(
a)
F(
b)
0
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-57
f ( b)
f ( a)
Da F(
) f (
)
g(
) 0
g(
b)
g(
a)
Zunächst werden Grenzprozesse der Form
f ( x)
lim
x x
0 g(
x)
mit lim f ( x)
lim g(
x)
0 oder
x
x0
x
x0
d.h. der Form "0/0" und "/", betrachtet.
Behauptung.
f ( x)
lim g(
x)
,
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-58
lim
x
x
0
x
x
Satz 4-11: (Regeln von de l’Hospital)
Es sei x 0 {,}. Ferner seien f und g zwei auf (a,x 0) bzw.
(x0,a) stetig differenzierbare Funktionen mit a . Gilt
f( x)
lim L mit L,
xx0g( x)
und
0

lim f ( x)
lim g(
x)
0
x
x0
x
x0
oder
f x g x
lim ( ) lim ( )
x
x
x
x
0
0
f ( x)
L
g(
x)
Beweis:
Hier wird der Satz für limxx 0 f (x) = limxx 0 g (x) = 0 bewiesen. Der Beweis
für limxx 0 f (x) = limxx 0 g (x) = verläuft ähnlich.
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-59
lim
x
x
a) x 0 f und g sind in x 0 stetig ergänzbar mit
f ( x ) lim
0
x x
0
f ( x)
0
und
0
g(
x ) lim g(
x)
0
0
x
x
nach dem erweiterten Mittelwertsatz existiert ein (x,x 0) oder
(x 0,x) mit
f ( x)
f ( x
g(
x)
g(
x
0
0
) f ( x)
) g(
x)
f
g
(
) f ( x)
f (
)
lim lim L
(
) x
x0
g(
x)
x
0 g(
)
b) x0 = , Substitution x = 1/y und Anwenden von a) liefert
f( x) f(1 y) df(1 y) dy
lim lim lim
x gx ( ) y0 g(1 y) y0dg(1
y) dy
2
( 1
y ) f(1 y) f(1 y) f( x)
lim lim lim L
y0 2
( 1
y ) g(1 y)
y0 g(1 y) x
g( x)
Beispiel:
ln( 1
x)
lim
x0
x
1 ( 1
x)
1
1) lim 1
" 0 0"
x 1
2
x
x0
x
e 1
2x
2) lim lim lim jeweils " 0 0"
x0
e
x
x0
x0
x
e
2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-60
1
2
0

3) Es sei > 0
ln x 1 x 1
lim lim lim 0
x
1
x x x x x
" "
4)
x cos x 1
sin x
lim lim
x x cos x x
1
sin x
existiert nicht
Hier besser durch den Ausdruck, der am schnellsten gegen strebt,
kürzen (also x)
x cos x 1
cos x x
lim lim 1,
x
x cos x x
1
cos x x
da
cos x
lim 0 denn
x
x
cos x 1
5)
lim
x
sin x
1
cos x
2
lim cos x lim
x
x
lim
x
cos x
sin x ( 2 1
cos x)
1
cos x
sin x
2
1
cos x
sin x
( jeweils"
0
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lim
x
lim
x
2cos
x 1
cos x
sin x
Regel von de l’Hospital führt wieder auf den gleichen Ausdruck und
damit nicht weiter. Hier besser vorher quadrieren
2
sin x 2sin
x cos x
lim lim
2
lim cos x 2
x
1
cos x x
sin x
x
sin x
sin x
lim 2 bzw. lim
x
1
cos x
x
1
cos x
6) Aufspalten in Produkte endlicher Grenzwerte
2 2 2
2 3
arctan xln(1 x ) arctan x ln(1 x ) x
lim lim lim lim
x 0 0 0
2
x (sin xx) x x x x x0
sin xx 2
1 1 ( 6) 6
arctan x
x
1 ( 1
x
1
denn lim lim 1 " 0 0"
x0
x0
2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-62
)
2
0"
)

1 u
2
ln( 1
x ) ln
lim lim
x 0
2
x u0
u
1 ( 1
u)
lim 1
u0
1
3
2
x
3x
6x
lim lim lim
x0
sin x x x0
cos x 1
x0
sin x
6 6
lim 6
x0
cos x 1
jeweils " 0
" 0 0"
0"
Jetzt werden Grenzprozesse der Form "0", "", "0 0 ", " 0 ", "1 "
betrachtet und auf die Fälle "0/0" und "/" zurückgeführt.
a) Gilt limxx f (x) = 0 und limxx g (x) = oder umgekehrt
0 0
g(
x)
f ( x)
lim f ( x)
g(
x)
lim lim also / bzw. 0/0
x x0
x
x0
1 f ( x)
x
x0
1 g(
x)
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-63
b) Gilt limxx f (x) = und limxx g (x) =
0 0
1 g(
x)
1
f ( x)
lim f( x)
g(
x)
lim
x x0
x
x0
1 g(
x)
1
f ( x)
c)
lim f ( x)
xx
0
also "0/0"
g ( x )
lim g ( x)
ln
g ( x)
lnf(
x)
g ( x)
lnf(
x)
xx0
lim e lim e e
xx
xx
0
f ( x)
also muss der Grenzwert des Exponenten d.h. limxx 0 g (x) ln( f (x))
berechnet werden.
Beispiel:
lim x ln x
x
x ln x x 0
0
1) lim x lim e e e 1,
denn
x0
x0
lim x ln x lim
x
0
x0
ln x
1 x
1 x
lim
x0
1
x
2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-64
0
lim ( x)
0
x0

2) Es sei > 0
ln x 1 x
lim x ln x lim
lim
x 0
x0
x x0
x
3)
4)
1
lim
x0
x
0
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lim
1
x0
x
1 1 e 1
x x e
lim
lim
lim lim
1
0
0 ( 1)
x
x
x
x
x e x
0 1
0
x e x
e x
x
x
1 e 1
e 1
lim lim
1
lim
x
x0
e x0
2x
x0
2 2
lim ( 1
x)
x
x
e
lim x ln( 1
x)
x
e
,
denn
x
1
x
2
x
ln ( 1
x)
ln ( 1
u)
lim x ln ( 1
x)
lim lim lim
x
x
1 x u0
u
u0
1
u
4.2.4 Kurvendiskussion
x
Es sei f : [a,b] drei mal differenzierbar auf (a,b), so erhält man mit
Hilfe der Nullstellen von f und f Aussagen über Extrema und Wendepunkte
von f.
Bereits bekannt sind die Aussagen
a) notwendige Bedingung für relatives Extremum in x0 f (x0) = 0
b) Monotonie
f (x) > 0 auf (a,b) streng monoton wachsend
f (x) < 0 auf (a,b) streng monoton fallend
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-66

Beispiel:
x 0: relatives Maximum
f (x 0) = 0
f (x 0) < 0
f hat Vorzeichenwechsel
bei x 0 von + nach –
x 2: relatives Minimum
f (x 2) = 0
f (x 2) > 0
f hat Vorzeichenwechsel
bei x 2 von – nach +
x 1: Wendepunkt
f (x 1) = 0
f (x 1) 0
f hat Vorzeichenwechsel bei x 1
x0 x1 x2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-67
Satz 4-12: (hinreichende Kriterien für relative Extrema)
Es sei f : [a,b] auf (a,b) n-mal stetig differenzierbar
a) Gilt für ein x0 (a,b)
( n1)
( n)
f (
x0)
f (
x0)
f ( x0)
0,
f ( x0)
0
und ist
n gerade f hat in x0 relatives Maximum falls f (n) (x0) < 0
f hat in x0 relatives Minimum falls f (n) (x0) > 0
n ungerade f hat in x0 kein Extremum
b) Gilt für ein x0 (a,b)
f (x0) = 0 und hat f bei x0 einen Vorzeichenwechsel von
+ nach – f hat in x0 ein relatives Maximum
– nach + f hat in x0 ein relatives Minimum
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-68
f
f
f
f
x
x
x
x

Beispiel:
4
( 4)
1) f ( x)
x mit f ( 0)
f (
0)
f (
0)
f (
0)
0,
f ( 0)
24 0
f hat in x0 = 0 ein relatives Minimum
oder
3
f ( x)
4x
hat Vorzeichenwechsel bei x0 = 0 von – nach +
f hat in x0 = 0 ein relatives Minimum
3
2) f ( x)
x mit f ( 0)
f (
0)
f (
0)
0,
f (
0)
6 0
f hat in x0 = 0 kein Extremum
oder
2
f ( x)
3x
hat keinen Vorzeichenwechsel bei x0 = 0
f hat in x0 = 0 kein Extremum
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-69
Definition 4-5:
Es sei f : I . f heißt konvex (bzw. konkav) auf I genau dann, wenn
für alle x1,x2 I mit x1 < x2 gilt
x
f ( x)
f ( x )
x x x
f ( x ) x
I x1
x x
2
1
1
2
x2
x1
x2
x1
Sekante
bzw.
x
f ( x)
f ( x1
)
x
x
x
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2
2
1
f ( x
2
)
x
x
2
x 1
x1
D.h. für je zwei Punkte x1 < x2 aus I verläuft der Graph von f zwischen
x1 und x2 unterhalb (bzw. oberhalb) der Sekante zwischen den Punkten
x f ( x ) P x f ( x ) .
P und
1
1,
1
2
2,
2
2

Definition 4-6:
konvex
x 1
Es sei f : [a,b] und
x 0 (a,b). An der Stelle x 0
besitzt f einen Wendepunkt
genau dann, wenn der Graph
dort zwischen konvexem und
konkavem Verhalten wechselt.
x 2
konkav
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x 1
konkav
(Rechtskrümmung)
x 0
Wendepunkt
x 2
konvex
(Linkskrümmung)
Satz 4-13:
Es sei f : [a,b] 2mal differenzierbar auf (a,b). Gilt f (x) 0 bzw.
f (x) 0 für alle x (a,b), dann ist f konvex bzw. konkav auf [a,b].
Beweis:
Sei f (x) 0 für all x (a,b) f ist monoton wachsend, d.h. für <
ist f () f (). Nach dem Mittelwertsatz gilt
f ( x)
f ( x1)
f ( x2)
f ( x)
f (
),
f (
)
mit x1
x x2
x x1
x2
x
f ( x)
f ( x1
) f ( x2)
f ( x)
x2
x x x1
f ( x)
f ( x1)
f ( x2)
x x1
x2
x
x2
x1
x2
x1
für alle x I mit x1 x x2. (Der Beweis für f (x) 0 verläuft analog)
Anmerkung:
f konvex auf [a,b] f konkav auf [a,b].
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Satz 4-14:
Es sei f : [a,b] 3mal differenzierbar auf (a,b). Gilt f (x) = 0 und
{f (x) hat Vorzeichenwechsel bei x 0 oder f (x) 0} f hat in x 0 einen
Wendepunkt.
Beweis:
f (x 0) = 0 und f hat Vorzeichenwechsel bei x 0 Wechsel zwischen
konvex und konkav f hat in x 0 einen Wendepunkt.
f (x 0) = 0 und f 0 f hat einfache Nullstelle bei x 0 f hat
Vorzeichenwechsel bei x 0 usw.
Beispiel:
4
3
2
1) f ( x)
x , f (
x)
4x
, f (
x)
12x
f (
0)
0
f (x) hat keinen Vorzeichenwechsel bei x0 = 0
4
f ( x)
x hat keinen Wendepunkt bei x0 = 0
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-73
2)
f ( x)
x
f
(
0)
3
,
0,
2
f (
x)
3x
, f ( x)
6x,
f (
0)
6 0
f (
x)
6
oder f (x) hat Vorzeichenwechsel bei x0 = 0
3
f ( x)
x
hat einen Wendepunkt bei x 0 = 0
Definition 4-7:
Es sei f : [a,b] n-mal differenzierbar auf (a,b) und x 0 (a,b). f hat
in x 0 eine Nullstelle der Ordnung n (n-fache Nullstelle) genau dann, wenn
( n1)
( n)
f ( x0)
f (
x0)
f ( x0)
0,
f ( x0)
0
Beispiel:
3 2
1) f ( x)
( x 1)
( x 4)
hat in x0 = 1 eine 3fache Nullstelle und in x1 = –4
r
eine 2fache Nullstelle, denn für Polynome gilt p(
x)
( x x0)
q(
x)
mit q ( x0)
0 p hat in x0 eine r-fache Nullstelle
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g(
x)
( x 1)
,
h(
x)
( x
f (
x ) g(
x ) h(
x ) g(
x ) h(
x )
0
f (
x ) g(
x ) h(
x ) 2g(
x ) h(
x ) g(
x ) h(
x )
0
0
0
3
0
0
0
0
4)
2
0
2)
f (
x0)
g
( x0)
h(
x0)
3 g(
x0)
h(
x0)
3 g(
x0)
h(
x0)
g(
x0)
h
( x0)
f ( x)
sin x hat in xk k
einfache Nullstellen, denn
sin( k ) 0,
sin(
k
) cos( k
) 0
Definition 4-8:
Es sei f : I . f heißt gerade Funktion f (–x) = f (x) x I. f heißt
ungerade Funktion f (–x) = – f (x) x I.
Definition 4-9:
a) Die Gerade g mit g (x) = a x + b heißt Asymptote von f für x
bzw. x –, wenn
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0
f( x)
g(
x)
0bzw. lim f( x)
g(
x)
0
lim
x
x
b) Die Gerade x = x 0 heißt Asymptote von f in x 0, wenn f in x 0 mindestens
einen einseitigen unendlichen Grenzwert besitzt.
Satz 4-15:
f besitzt für x bzw. x – genau dann eine Asymptote g mit
g (x) = a x + b, wenn
lim f ( x)
x a
x
lim
x
f ( x)
x a
und
und
lim
x
lim
x
f ( x)
ax
b
f( x)
axb
0
0
bzw.
Anmerkung:
Bei gebrochenrationalen Funktionen erhält man die Asymptote einfach
durch Polynomdivision.

Beispiel:
f ( x)
( x
2
3)
( x 1)
x
x
2
2
3 : 1
1 4 ( 1)
x 3
x 1
4
x
x x x
f ( x)
x 1
4 ( x 1)
g(
x)
x 1
ist Asymptote für x ,
f( x)
g(
x)
lim x14( x 1)
( x 1)
lim 4 ( x 1)
0
da lim
x
x
Schritte einer Kurvendiskussion
1) Definitionsbereich
2) Nullstellen
3) Grenzverhalten
4) Asymptoten
x
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5) Extremalstellen
6) Monotoniebereiche
7) Konvexitätsbereiche
8) Wendepunkte
9) Skizze des Graphen
Beispiel:
1)
2
x 3
f ( x)
x 1
Definitionsbereich:
D( f ) = \{1}, x0 = 1 ist Singularität / einfacher Pol (Pol 1. Ordnung
bzw. Pol der Ordnung 1), da einfache Nullstelle des Nenners.
Nullstellen:
2
x
2
0 x 3
x j
3 1,
2
3
keine reellen Nullstellen
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Grenzverhalten:
2
x 1
3 x
f ( x)
x 11
x
2
1
3 x
x
11
x
2
lim f ( x)
,
x
x
f ( x)
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lim
x 2 + 3 > 0 für alle x (einfacher Pol Vorzeichenwechsel)
2
2
x 3
x 3
lim f ( x)
lim ,
lim f ( x)
lim
x 1 x1
x 1
x1
x1
x 1
Asymptoten:
In x0 = 1 senkrechte Asymptote und g(x) = x + 1 für x
(vgl. Polynomdivision des vorangegangenen Beispiels)
Extremalstellen:
2
2
2x
( x 1)
( x 3)
x 2x
3 ( x 1)(
x 3)
f (
x)
2
2
2
( x 1)
( x 1)
( x 1)
f x)
0 für x x 1
und x x 3
( 1
2
a) f hat Vorzeichenwechsel bei x 1 = –1 von + nach – und bei x 2= 3
von – nach + relatives Maximum bei x 1 = –1 und relatives
Minimum bei x 2 = 3.
b)
f (
x)
( 2
2(
2
x 2)(
x 1)
x
2
2x
1)
2(
x
3
( x 1)
2
( x 2x
3)
4
( x 1)
2
2x
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-80
3)
2(
x 1)
8
( x 1)
f (–1) = –1 < 0 f hat ein relatives Maximum bei x 1 = –1
mit f (–1) = –2
f (3) = 1 > 0 f hat ein relatives Minimum bei x 2 = 3
mit f (3) = 6
3

Monotoniebereiche:
f ( x)
0 für x 3 und x 1
f streng monoton wachsend auf (,1) und (3,)
f ( x)
0 für 1
x 1 und 1 x 3
f ist streng monoton fallend auf (1,1) und (1,3)
Konvexität:
f (
x)
0 für
f (
x)
0
für
x 1
x 1
Wendepunkte:
f ( x)
0 für alle x D(
f )
f
f
ist konvex auf
ist konkav auf (
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2)
Skizze des Graphen:
f ( x)
xe
1 x
f(x)
10
Definitionsbereich:
D ( f ) \ 0
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
( 1,
)
, 1)
keine Wendepunkte
-10
-6 -4 -2 0 2 4 6
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x

Nullstellen:
keine
Grenzverhalten:
1 x
u
u
1 x e e e
lim xe
lim lim lim
x0
x0
1 x u
u u
1
lim 0,
da lim 0
1 x
u
xe
e
x0
lim xe
x
1 x
,
Asymptoten:
e
x
x
u
lim xe
lim
x
1 x
1 x
lim e
x
x
1 x
1 a
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lim ( xe
x
1 x
ax)
lim x(
e
x
1 x
1)
1 x
e 1
lim
1 x
x
u
u
e 1
e
lim lim 1 b
u0
u u0
1
Asymptote von f für x ist g(x) = x+1 und senkrechte Asymptote
bei x = 0, da einseitiger unendlicher Grenzwert für x 0+.
Extremalstellen:
1 x 1 1 x 1
f (
x)
e x
e 1 e
2
x x
f ( x)
0 für x x1
1
f hat Vorzeichenwechsel bei x 1 = 1 von – nach +
relatives Minimum bei x 1 = 1
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1 x

1 1 x 1 1 1 x 1 1 x
f
( x)
e 1 e e
2
2
3
x x
x x
f (1) = e > 0 f hat ein relatives Minimum bei x1 = 1 mit f (1) = e
Monotoniebereiche:
f ( x)
0 für x 1 und x 0
f streng monoton wachsend auf (,0) und (1,)
f ( x)
0 für 0 x 1
f ist streng monoton fallend auf (0,1)
Konvexität:
f (
x)
0 für
f (
x)
0
für
x 0
x 0
f
f
ist konvex auf
ist konkav auf (
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-85
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-86
( 0,
)
, 0)
Wendepunkte:
f ( x)
0 für alle x D(
f ) keine Wendepunkte
Skizze des Graphen:
f(x)
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0
x
1 2 3 4

Aufgabe 4-1: Bestimmen Sie durch Grenzübergang die Ableitung von
a) f ( x) 2x 1 an der Stelle x 5 .
b)
n
f( x) x x .
Aufgabe 4-2: Bestimmen Sie die Ableitung von
2
a) f ( x)
lnx
x 1
b)
f
2
x 1
x)
sin ( 1
x)
( 3
2
x
c) f ( x)
cos arctane
d) x x
f ( x)
arctan x arctan x
Aufgabe 4-3: Zeigen Sie mittels Induktion
n
d
dx
i1
fi( x)
n n
d
fi( x)
i1dx j1, ji
f j(
x)
.
Übungen zur Höheren Mathematik 1 / Kapitel 4
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
e)
f)
2
f ( x)
lnsin
xcot
x
2
x cos x
f ( x)
x x 0
g) f ( x)
lnx
cos x
h)
1
f ( x)
1
x
Aufgabe 4-4: Lösen Sie näherungsweise die folgenden Gleichungen
a)
3
sinh x x x für x 1,
2
b) x tan x 1 für x 0.
7,
1.
1.
c)
2
x cos x für x 0.
5,
1.
Begründen Sie Ihre Vorgehensweise und geben Sie eine Fehlerabschätzung für die Näherungslösung
an.
Aufgabe 4-5: Berechnen Sie die Grenzwerte der Funktionen
a)
2
x 2 2cos
x
lim
x0
4
x
lim ln
x0
b)
tan x
lim
x
tan 3x
e)
1
x lim x
x
2
1
c) lim
tan x
x
cos x
2
d) x ln1
x
f) cos x
lim
x0
1
x sin
x
1
1

Übungen zur Höheren Mathematik 1 / Kapitel 4
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Aufgabe 4-6: Bestimmen Sie Definitionsbereich, Nullstellen, Polstellen, relative und absolute
Extremwerte, Wendepunkte sowie das asymptotische Verhalten und skizzieren Sie die Graphen
der folgenden Funktionen.
2
x 9
a) f ( x)
2
x 4
2
x 2
b) f ( x)
x 2
c)
1
f( x) e
2
2
2
x
2
2
Aufgabe 4-7: Extremwertaufgaben
a) Unter allen Rechtecken von gegebenem Umfang l ist dasjenige mit maximalem Flächeninhalt
zu bestimmen.
b) Welche Abmessungen muss ein Zylinder mit dem Volumen Vz besitzen, wenn seine Oberfläche
Oz minimal sein soll?
c) Einem Halbkreis soll ein Rechteck mit maximalem
Flächeninhalt einbeschrieben werden, vgl. Abb. Berechnen
Sie die Abmessungen des Rechtecks und
geben Sie den Flächeninhalt des Rechtecks relativ
zum Flächeninhalt des Halbkreises in Prozent an.
d) Aus einem kreisförmigen Baumstamm mit dem
Durchmesser d soll ein Balken mit rechteckigem
Querschnitt herausgeschnitten werden, der maximale
Tragfähigkeit besitzt. Die Tragfähigkeit eines Balkens
sei durch T = c x y 2 gegeben, wobei x die Breite,
y die Höhe und c > 0 die Materialkonstante des
Balkens angibt. Wie müssen x und y gewählt werden,
um maximale Tragfähigkeit zu erreichen?
e) Ein Körper mit der Masse m soll auf einer horizontalen
Unterlage mit dem Reibungskoeffizienten
= 0,2 von der Zugkraft F gleichförmig fortbewegt
werden. Wie groß muss der Winkel zwischen F
und der Horizontalen gewählt werden, damit F minimal
wird?
y
0
a
d
x
Fv
y
b
F F
R
N
FG m g
F
Fh
x
2