x - Hochschule Bremen

3) Es sei > 0
ln x 1 x 1
lim lim lim 0
x
1
x x x x x
" "
4)
x cos x 1
sin x
lim lim
x x cos x x
1
sin x
existiert nicht
Hier besser durch den Ausdruck, der am schnellsten gegen strebt,
kürzen (also x)
x cos x 1
cos x x
lim lim 1,
x
x cos x x
1
cos x x
da
cos x
lim 0 denn
x
x
cos x 1
5)
lim
x
sin x
1
cos x
2
lim cos x lim
x
x
lim
x
cos x
sin x ( 2 1
cos x)
1
cos x
sin x
2
1
cos x
sin x
( jeweils"
0
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-61
lim
x
lim
x
2cos
x 1
cos x
sin x
Regel von de l’Hospital führt wieder auf den gleichen Ausdruck und
damit nicht weiter. Hier besser vorher quadrieren
2
sin x 2sin
x cos x
lim lim
2
lim cos x 2
x
1
cos x x
sin x
x
sin x
sin x
lim 2 bzw. lim
x
1
cos x
x
1
cos x
6) Aufspalten in Produkte endlicher Grenzwerte
2 2 2
2 3
arctan xln(1 x ) arctan x ln(1 x ) x
lim lim lim lim
x 0 0 0
2
x (sin xx) x x x x x0
sin xx 2
1 1 ( 6) 6
arctan x
x
1 ( 1
x
1
denn lim lim 1 " 0 0"
x0
x0
2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-62
)
2
0"
)