x - Hochschule Bremen

3) Fehlerabschätzung
L
xn x xn 1
L
xn1n 1,
2, 3,
y
x
a x1 x2
x0
b
x
a 2 x
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-41
Beweis:
1) a) Existenz
Falls f (a) = a oder g (b) = b ist nichts mehr zu zeigen.
Im Fall a < g (a) und g (b) < b hat h (x) := g (x) x wegen
h (a) > 0 und h (b) < 0 in (a,b) wenigstens eine Nullstelle x
(Zwischenwertsatz) g( x) x
b) Eindeutigkeit
Gäbe es zwei verschiedene Fixpunkte x1, x
2,
so würde nach dem
Mittelwertsatz ein zwischen 1 x und x 2 existieren mit
gx ( 1) gx ( 2) x1x2 1 g(
)
x1x2 x1x 2
dies ist im Widerspruch zur Voraussetzung g
( )
1
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-42
y
x1
x0
x b
x