x - Hochschule Bremen
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Anmerkung:<br />
Ist g ( x)<br />
L 1 für alle x [a,b] und ist g stetig differenzierbar mit<br />
<br />
g [ a, b] [ , ] , so existiert die Umkehrfunktion<br />
, 1<br />
g g ( u)<br />
<br />
1<br />
g :[ , ] [ a, b]<br />
mit<br />
1 1<br />
dg dg<br />
1 1<br />
max ( u) 1, denn ( u) u[ , ].<br />
du du L<br />
u<br />
Also kann man in diesem Fall zur Umkehrfunktion übergehen, denn es<br />
1<br />
gilt g( x) x g ( x) x<br />
.<br />
Beispiel:<br />
Gegeben: g( x)<br />
tan( x)<br />
Gesucht: tan x x<br />
mit x (<br />
2,32), Schnittpunkt des zweiten Tangens-Astes<br />
mit der Winkelhalbierenden<br />
2<br />
g ( x)<br />
1<br />
tan x 2 1 x<br />
[<br />
5<br />
4,<br />
3<br />
2)<br />
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremen</strong> Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-45<br />
1<br />
g ( x)<br />
arctan x erfüllt x<br />
[<br />
1,<br />
)<br />
die Voraussetzun-<br />
gen, denn<br />
1<br />
dg<br />
1<br />
max ( x)<br />
max <br />
x1,<br />
<br />
1,<br />
<br />
2<br />
dx<br />
x 1<br />
x<br />
1<br />
g ist streng monoton wachsend mit<br />
g x <br />
Iterationsfolge:<br />
x0 = 5 /4<br />
<br />
x4 = 4,4934062<br />
x5 = 4,4934093<br />
L 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 5<br />
4 ( 1)<br />
g ( x)<br />
lim g ( x)<br />
3<br />
2 <br />
Fehlerabschätzung:<br />
12<br />
x5 x x5 x4 3,1 10<br />
11 2<br />
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremen</strong> Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-46<br />
1<br />
2<br />
6
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