x - Hochschule Bremen
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Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 erhält man durch<br />
Grenzübergang<br />
s(<br />
t)<br />
s(<br />
t0)<br />
v(<br />
t0)<br />
lim s(<br />
t0)<br />
s<br />
( t0)<br />
t t0<br />
t t<br />
Anmerkung:<br />
Für Ableitungen nach der Zeit schreibt man üblicherweise<br />
0<br />
s ( t),<br />
s<br />
(<br />
t),<br />
s<br />
(<br />
t)<br />
statt s(<br />
t),<br />
s(<br />
t),<br />
s<br />
( t)<br />
.<br />
Stetigkeit ist notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit<br />
Satz 4-2:<br />
Jede in x 0 I differenzierbare Funktion f : I ist dort auch stetig.<br />
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremen</strong> Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-5<br />
Beweis:<br />
Aus<br />
folgt mit<br />
f ( x)<br />
f ( x0)<br />
f ( x)<br />
f ( x0)<br />
( x x0)<br />
x x<br />
f( x) f( x ) <br />
lim f( x) f( x ) lim ( xx )<br />
<br />
0<br />
0 0<br />
<br />
xx0 xx0 xx0 <br />
lim( xx ) lim<br />
0<br />
xx xx 0 0<br />
0 f( x ) 0<br />
die Stetigkeit, d.h. limxx 0 f (x) = f (x 0).<br />
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremen</strong> Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-6<br />
0<br />
0<br />
f ( x) f ( x0)<br />
xx 0
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