x - Hochschule Bremen

Beweis:
a) Es sei x0 (a,b], dann existiert ein (a, x0) mit
f (a) = f (x0) + f ()(a x0) = f (x0) f (a) = f (x0) x0 (a,b]
f ist konstant.
b) h = f g erfüllt Voraussetzungen von a), d.h. h = f g = 0
x (a,b) h ist konstant f (x) = g (x) + c.
c) f (x) > 0 x (a,b) und a x1 < x2 b
f (x2) f (x1) = f ()(x2 x1) > 0 da f () > 0 und (x2 x1) > 0
f (x2) > f (x1) f (x) < 0 x (a,b) und a x1 < x2 b
f (x2) f (x1) = f ()(x2 x1) < 0 da f () < 0 und (x2 x1) > 0
f (x2) < f (x1) Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-37
Beispiel:
1) e x ist streng monoton wachsend in , da (e x ) > 0 für alle x .
2) ln x ist ebenfalls streng monoton wachsend für x > 0,
da (ln x) = 1/x > 0 für alle x (0,)
3) sin x ist streng monoton wachsend bzw. fallend in den Intervallen, in
denen cos x > 0 bzw. cos x < 0, z.B. streng monoton wachsend bzw.
fallend auf ( /2, /2) bzw. ( /2,3 /2)
ar sinh x ln x 1 x x , denn
2
4)
2
2
1 1 x 1 x 1
arsinhx und ln x 1
x
1 x x 1 x 1
x
2 2 2
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-38