x - Hochschule Bremen

2) ( cf )( x0) cf (
x0) c
3) ( f g)
( x0)
f (
x0)
g(
x0)
f ( x0)
g(
x0)
4) ( f g)
( x0)
f (
x0)
g(
x0)
f ( x0)
g(
x0)
,
2
g ( x )
g(
x0)
0
0
b) Ist g : I in x 0 I und f : I in g (x 0) I differenzierbar,
so ist auch h = f g (h (x) = f (g (x))) in x 0 differenzierbar
g( x ) g ( x )
h( x0)
( f g)
(
x0)
f 0 0
c) Ist f : I stetig und streng monoton in I und in x 0 I differenzierbar
mit f (x 0) 0, dann ist f 1 in y 0 = f (x 0) differenzierbar mit
1
1
( f ) (
y0)
1
f (
f ( y
Hochschule Bremen Höhere Mathematik 1 / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4-9
Beweis:
a)
f ( x) g( x) f ( x0) g( x0) f ( x) f ( x0) g( x) g( x0)
1)
x x0 x x0 x x0
f ( x ) g( x )
2)
xx 0
0 0
0 0
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0
.
))
cf( x) cf( x0) f( x) f( x0)
c cf(
x0)
xx0 x x xx f ( x) g( x) f ( x ) g( x )
xx0 f ( x) g( x) f ( x0) g( x) f ( x0) g( x) f ( x0) g( x0)
xx 3) 0 0
0