Einführung in die Technische Akustik

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I N S T I T U T E O F W A T E R A C O U S T I C S, S O N A R E N G I N E E R I N G A N D S I G N A L T H E O R Y Bei Kugelwellen geht man von der Vorstellung einer punktförmigen Quelle aus von der sich die Schallwelle omnidirektional, d.h. in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Kugelkoordinaten x = r cosϕ cosϑ y = r sinϕ cosϑ ! z = r sinϑ !x Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus z !0 ϕ r ϑ !P y 3 I N S T I T U T E O F W A T E R A C O U S T I C S, S O N A R E N G I N E E R I N G A N D S I G N A L T H E O R Y Im Ursprung des Koordinatensystems befinde sich eine Schallquelle verschwindend kleiner Ausdehnung. Von dort wird der Schall omnidirektional abgestrahlt. Die Schallfeldgrößen, z.B. der Druck, hängen nur von der Entfernung r, nicht aber vom Azimut φ und von der Elevation ϑ ab. Der in der Wellengleichung Δp = ! auftretende Laplace-Operator Δ ist in kartesischen Koordinaten durch 1 c 2 ∂ 2 p ∂t 2 Δ = ∂2 ∂2 ∂2 + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 4
und in Kugelkoordinaten durch Δ = ! ∂2 1 + 2 ∂r r 2 ∂ 2 + 2 ∂ϑ 1 r 2 ∂ cosϑ 2 2 ∂ + 2 ∂φ r ∂r tanϑ − r 2 ∂ ∂ϑ I N S T I T U T E O F W A T E R A C O U S T I C S, S O N A R E N G I N E E R I N G A N D S I G N A L T H E O R Y definiert. Da hier die Schallfeldgrößen unabhängig von φ und ϑ##sind, vereinfacht sich der Laplace-Operator zu Δ = ! ∂2 2 ∂ + 2 ∂r r ∂r . Die Wellengleichung für den Schalldruck lautet somit ∂ ! 2 p 2 ∂p + 2 ∂r r ∂r = 1 c 2 ∂ 2 p . 2 ∂t Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus 5 I N S T I T U T E O F W A T E R A C O U S T I C S, S O N A R E N G I N E E R I N G A N D S I G N A L T H E O R Y Durch den Ansatz q( r, t) p( r, t) = r geht sie in die folgende einfachere Differentialgleichung über ! Beweis: ∂ ∂r ⎛ ⎜ ⎝ ∂ ∂r ⎛ q⎞ ⎞ ⎝ ⎜ r ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ + 2 r ∂ ⎛ q⎞ ∂r ⎝ ⎜ r ⎠ ⎟ = 1 r 1 c 2 ⇒ (q rr r + q r − q r )r 2 −(q r r − q)2r r 4 ∂ ! 2 q 1 = 2 ∂r c 2 ∂ 2 q . 2 ∂t ∂ 2 q ∂ q r − q r ⇒ 2 ∂t ∂r r 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 2r(q r − q) r r 4 = 1 r 1 c 2 + 2 r Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus q r − q r r 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 r 1 c 2 ∂ 2 q ∂t 2 ∂ 2 q ∂t 2 ⇒ ∂2q 1 = 2 ∂r c 2 ∂ 2 q ∂t 2 6
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Seite 5 und 6: I N S T I T U T E O F W A T E R A C
Seite 9 und 10: Einsetzen von p(a) und v(a) in Z bz
Seite 11 und 12: 4.5 Doppler-Effekt I N S T I T U T
Seite 17: Literatur zu Kapitel 4 [1] D.T. Bla

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