Einführung in die Technische Akustik

und in Kugelkoordinaten durch
Δ =
!
∂2 1
+ 2
∂r r 2
∂ 2
+ 2
∂ϑ
1
r 2 ∂
cosϑ
2
2 ∂
+ 2
∂φ r ∂r
tanϑ
−
r 2
∂
∂ϑ
I N S T I T U T E O F
W A T E R A C O U S T I C S,
S O N A R E N G I N E E R I N G A N D
S I G N A L T H E O R Y
definiert. Da hier die Schallfeldgrößen unabhängig von φ und
ϑ##sind, vereinfacht sich der Laplace-Operator zu
Δ =
!
∂2 2 ∂
+ 2
∂r r ∂r .
Die Wellengleichung für den Schalldruck lautet somit
∂
!
2 p 2 ∂p
+ 2
∂r r ∂r
= 1
c 2
∂ 2 p
. 2
∂t
Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
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I N S T I T U T E O F
W A T E R A C O U S T I C S,
S O N A R E N G I N E E R I N G A N D
S I G N A L T H E O R Y
Durch den Ansatz
q(
r,
t)
p(
r,
t)
=
r
geht sie in die folgende einfachere Differentialgleichung über
!
Beweis:
∂
∂r
⎛
⎜
⎝
∂
∂r
⎛ q⎞
⎞
⎝
⎜
r ⎠
⎟ ⎟
⎠
+ 2
r
∂ ⎛ q⎞
∂r ⎝
⎜
r ⎠
⎟
= 1
r
1
c 2
⇒ (q rr r + q r − q r )r 2 −(q r r − q)2r
r 4
∂
!
2 q 1
= 2
∂r c 2
∂ 2 q
.
2
∂t
∂ 2 q ∂ q r − q r ⇒ 2
∂t ∂r r 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ 2r(q r − q) r
r 4
= 1
r
1
c 2
+ 2
r
Kapitel 4 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
q r − q r
r 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1
r
1
c 2
∂ 2 q
∂t 2
∂ 2 q
∂t 2 ⇒ ∂2q 1
= 2
∂r c 2
∂ 2 q
∂t 2
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