Klassifikation - Database Systems Group - Ludwig-Maximilians ...
Klassifikation - Database Systems Group - Ludwig-Maximilians ...
Klassifikation - Database Systems Group - Ludwig-Maximilians ...
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
DATABASE<br />
SYSTEMS<br />
GROUP<br />
DATABASE<br />
SYSTEMS<br />
GROUP<br />
Kernel Machines<br />
Wann ist eine Funktion K(x,y) ein Kernel ?<br />
Wenn die Kernel-Matrix (Gram Matrix) KM<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
K(<br />
x1,<br />
x1)<br />
.. K(<br />
x1,<br />
xn<br />
)<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎜⎜ KM ( K)<br />
= .. .. ..<br />
K(<br />
xn<br />
, x1)<br />
.. K(<br />
xn<br />
, xn<br />
)<br />
⎝<br />
positiv (semi) definit ist, also keine negativen<br />
Eigenwerte besitzt, dann ist K(x,y) ein Kernel (siehe Mercer‘s Theorem)<br />
Notwendige Bedingungen:<br />
( ) ( )<br />
2<br />
( x,<br />
y)<br />
≤ K ( x,<br />
x)<br />
⋅ K ( y y)<br />
• K x,<br />
y ( x),<br />
( y)<br />
( y),<br />
( x)<br />
K y,<br />
x (Symmetrie)<br />
φ = φ φ = φ φ = φ<br />
• K ,<br />
(Cauchy-Schwarz)<br />
φ<br />
φ<br />
φ<br />
Symmetrie y und Cauchy-Schwarz y sind keine hinreichenden Bedingungen! g g<br />
Kernel Machines<br />
einige Regeln zur Kombination vom Kerneln:<br />
( x,<br />
y)<br />
= K1(<br />
x,<br />
y)<br />
⋅ K2<br />
( x y)<br />
( x x,<br />
y ) = K K1<br />
( x x,<br />
y ) + K K2<br />
( x y )<br />
( x,<br />
y)<br />
= a ⋅ K1(<br />
x y)<br />
T ( x,<br />
y)<br />
= x ⋅ B ⋅ y<br />
K ,<br />
K + ,<br />
K ,<br />
K<br />
für K1, K2 Kernelfunktionen, a eine positive Konstante und<br />
B eine symmetrische y ppositiv<br />
semi-definite Matrix.<br />
109<br />
110
Change language