Lösung 4
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Physik III<br />
Übung 4 - <strong>Lösung</strong>shinweise<br />
Stefan Reutter WiSe 2012<br />
Moritz Kütt Stand: 20.12.2012<br />
Franz Fujara<br />
Aufgabe 1 [P] Diskussion: Motoren (schon wieder!)<br />
Wir hatten ja schon in der letzten Übung einen Motor diskutiert. Nun gibt es aber noch eine<br />
ganze Reihe anderer. Diskutiert (kurz!) Gleichstrommotoren und Wechselstrommotoren. Was ist<br />
das grundlegende Prinzip? Was sind Vorteile und Nachteile bzw. unterschiedliche Bauformen?<br />
Benötigt man für Motoren immer Permanentmagnete?<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Grundlegendes Prinzip: Drehendes magnetisches Feld, erzeugt von einem ruhenden Stator oder<br />
einem drehenden Rotor.<br />
Bei Gleichstrommotoren hat man oft einen Elektromagneten als Rotor, und einen Permanentmagneten<br />
als Stator. Das Magnetfeld bzw. der Stromfluss im Rotor wird dann mithilfe von Rotorbürsten<br />
(drehbaren Kontakten) umgepolt. Alternativ kann die Umpolung auch mit elektronischer<br />
Steuerung erfolgen. Natürlich ist es auch möglich, einen Permanentmagneten als Rotor<br />
zu haben und das äußere Feld umzupolen. Bei Wechselstrommotoren und Drehstrommotoren<br />
wechselt schon die Spannung, daher ist das dort etwas einfacher.<br />
Einige Vor- und Nachteile (nur kleine, unvollständige Auswahl): Bürsten haben hohe Abnutzung,<br />
viele Wechselstrommotoren können nur mit einer festen Frequenz laufen, Elektromotoren<br />
haben in der Regel immer ein großes Anlaufdrehmoment...<br />
Permanentmagnete: Werden fast nie benötigt. Man kann sie häufig im Rotor etwa durch Kurzschlussspulen<br />
ersetzen, oder aber statische Elektromagnete etwa beim Gleichstrommotor als<br />
Außen-Magnete nutzen<br />
Aufgabe 2 [P] Diskussion: Ferritkerne?<br />
An Kabeln von Computer-Peripherie-Geräten sind häufig Ferritkerne an den Enden angebracht<br />
(Diese runden Dinger vor den Steckern). Warum?<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Die Ferritkerne verhindern/absorbieren unerwünschte hochfrequente Signale außerhalb des Kabels.<br />
Wie? Ein Kabel hat oft eine lange Abschirmung. Diese kann für hochfrequente Störungen<br />
als Antenne dienen. Das geht sowohl für Störungen von außerhalb, die vom Kabel “empfangen”<br />
1
werden, oder auch für Störungen in den Geräten, die vom Kabel “gesendet” werden. Durch<br />
den Ferritkern erhält das Kabel quasi eine Induktivität mit einer (bzw. einer halben) Wicklung,<br />
und wie in der Vorlesung gezeigt sind Induktivitäten insbesondere bei hohen Frequenzen als<br />
hohe Widerstände zu betrachten. Die erwünschten Signale im Kabel sind oft auch hochfrequent,<br />
jedoch davon nicht betroffen - in der Regel gibt laufen sie über zwei Adern, jeweils<br />
in entgegengesetzte Richtungen - damit heben sich die erzeugten Magnetfelder auf.<br />
Aufgabe 3 [P] Der RLC-Schwingkreis<br />
L<br />
R<br />
C<br />
In der Abbildung auf der linken Seite ist ein RLC-Schwingkreis dargestellt.<br />
Er besteht aus einem Widerstand R, einer Spule mit Induktivität<br />
L und einem Kondensator der Kapazität C.<br />
a) Bestimme eine DGL für den Stromfluss in diesem Stromkreis, löse sie<br />
allgemein und bestimme die Kreisfrequenz.<br />
b) Der Kondensator trage nun zu Beginn (t = 0) die Ladung Q = 0.01 C.<br />
Bestimme, nach welcher Zeit t die maximale Spannung im Stromkreis<br />
unter U = 10 V abgesunken ist. (R = 100Ω, L = 200mH, C = 100µF).<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:Etwas unüblich war hier (wie auch in der Hausaufgabe) nach einer DGL für<br />
den Strom gefragt. (Typischer ist eher die DGL für die Ladung).<br />
Nach Kirchhoff’schen Regeln gilt:<br />
Nun kann man einsetzen:<br />
U L + U C + U R =0<br />
U L =L˙I<br />
U R =RI<br />
U C = Q<br />
C<br />
L˙I + RI + Q<br />
C =0<br />
Gefragt war eine DGL für den Strom - daher leiten wir das ganze noch mal ab.<br />
LÏ + R˙I + I<br />
C =0<br />
Ï + R<br />
L ˙I + 1<br />
I =0<br />
LC<br />
2
Man kann dies nun mit DGL-Wissen aus vorigen Semestern lösen. Wir machen es hier noch<br />
einmal explizit:<br />
Ansatz<br />
Setzt man das ein:<br />
I(t) =Ae λt<br />
˙I(t) =Aλe λt<br />
Ï(t) =Aλ 2 e λt<br />
Aλ 2 e λt + A R<br />
L eλt + A 1<br />
LC eλt =0<br />
λ 2 + R 1<br />
λ +<br />
L LC =0<br />
λ1,2 = − R<br />
± i<br />
2L<br />
<br />
1<br />
LC −<br />
Hier wurde schon ein Minus in der Wurzel herausgezogen, daher das i davor. Wir wissen noch,<br />
dass es hier drei Fälle zu unterscheiden gilt, je nach Vorzeichen des Radikanden - im Schwingfall<br />
muss 1<br />
LC > <br />
R 2<br />
sein. Diesen Fall betrachten wir hier. Die Kreisfrequenz ist dann auch<br />
2L<br />
ω =<br />
<br />
1<br />
LC −<br />
Die <strong>Lösung</strong> der DGL ist nun eine Linearkombination aus dem Ansatz mit beiden λ.<br />
R<br />
2L<br />
2<br />
I(t) = A 1e λ 1t + A2e λ 2t<br />
Wir können nun eine Funktion für die Ladung daraus integrieren<br />
Q(t) = A1 e<br />
λ1 λ A<br />
1t 2<br />
+ e<br />
λ2 λ2t Um A 1 und A 2 zu bestimmen, benötigt man sinnvolle Anfangsbedingungen. Wir nehmen mal<br />
an, dass Q(0) = Q 0 und I(0) = 0 (entspricht einem geladenen Kondensator).<br />
I(0) =0 = C 1 + C 2<br />
Q(0) =Q0 = C1 +<br />
λ1 C2 λ2 R<br />
2L<br />
2<br />
3
Daraus ergibt sich<br />
Und nun für I(t):<br />
= Q 0λ 1λ 2<br />
λ 1 − λ 2<br />
Nun für die Ladung einsetzen<br />
C 1 = − Q 0λ 1λ 2<br />
λ 1 − λ 2<br />
C 2 = Q 0λ 1λ 2<br />
λ 1 − λ 2<br />
I(t) = − Q0λ1λ2 e<br />
λ1 − λ2 λ Q<br />
1t 0λ1λ2 + e<br />
λ1 − λ2 λ2t R<br />
(−<br />
e 2L −iω)t R<br />
(−<br />
− e 2L +iω)t<br />
<br />
= Q0 1<br />
LC R<br />
e− 2L<br />
iω t e −iωt − e iωt<br />
= Q0 R<br />
e− 2L<br />
i LCω t (cos ωt − i sin ωt − cos ωt − i sin ωt)<br />
= Q0 R<br />
e− 2L<br />
2LCω t sin ωt<br />
Q(t) = − Q0λ2 e<br />
λ1 − λ2 λ Q<br />
1t 0λ1 + e<br />
λ1 − λ2 λ2t = Q0 R<br />
e− 2L<br />
iω t<br />
<br />
− R <br />
−iωt iωt<br />
e − e<br />
2L<br />
+ iω e −iωt + e iωt<br />
R<br />
−<br />
=Q 2L 0e t<br />
<br />
cos ωt + R<br />
<br />
sin ωt<br />
2Lω<br />
Die Spannung ist natürlich unterschiedlich an den verschiedenen Teilen der Schaltung (unglück<br />
in Aufgabenstellung). Wir betrachten die Spannung am Kondensator, dort wissen wir<br />
U = Q/C.<br />
U(t) = Q(t)<br />
C = Q0 R<br />
e− 2L<br />
C t<br />
<br />
cos ωt + R<br />
<br />
sin ωt<br />
2Lω<br />
Man kann das ganze auch lösen, wenn man einen Ansatz für Q(t) macht, und dann für I(t)<br />
ableitet. Es kommt das gleiche raus!<br />
b) Wir nehmen aus a) U(t). Diese Funktion hat zwei Faktoren: eine Exponentialfunktion und<br />
eine Summe von trigonometrischen Funktionen. Wir sind am Maximum der Spannung bzw. der<br />
Amplitude interessiert - daher schauen wir nur den ersten Faktor an.<br />
4
Aufgabe 4 [P] Schwere Impedanz<br />
U<br />
Z C<br />
R 1<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Z L<br />
R 2<br />
U a(t s) ! =10V<br />
10V = Q0 <br />
C<br />
10VC<br />
ln = −<br />
Q0 R<br />
2L t<br />
<br />
10VC 2L<br />
t = − ln<br />
= 9.2ms<br />
Q0 R<br />
e− R<br />
2L t<br />
Betrachte die Schaltung links mit einer sinusförmigen Eingangsspannung.<br />
a) Berechne die Impedanz der Schaltung.<br />
b) Zeichne ein Zeigerdiagramm für den durch die Schaltung fließenden<br />
Strom. Ermittle daraus die Phasendifferenz zwischen dem Gesamtstrom<br />
und der Versorgungsspannung<br />
Am einfachsten ist, die Impedanzen in Polardarstellung zu schreiben.<br />
Wobei φ 1 = arctan R 1<br />
X C<br />
und φ 2 = arctan R 2<br />
X L<br />
Die beiden invers addieren ergibt<br />
Z 1 = R 1 + iX C = |Z 1|e iφ 1<br />
Z 2 = R 2 + iX L = |Z 2|e iφ 2<br />
Z = Z −1<br />
1<br />
jeweils die Polarwinkel sind.<br />
= Z 1Z 2<br />
Z 1 + Z 2<br />
<br />
−1<br />
−1<br />
+ Z2 = |Z 1||Z 2|e i(φ 1+φ 2)<br />
|Z 1|e iφ 1 + |Z 2|e iφ 2<br />
5
Wir rechnen noch ein bisschen weiter und erweitern komplex konjugiert. Die dritte Zeile reicht<br />
eigentlich als Ergebnis, die letzten beiden Zeilen sind nur zum Vergleich aufgeführt.<br />
Z = |Z1||Z2|ei(φ <br />
1+φ2) |Z1|e−iφ1 + |Z2|e−iφ <br />
2<br />
|Z1 + Z2| 2<br />
= |Z 1| 2 |Z 2|e iφ 2 + |Z 2| 2 |Z 1|e iφ 1<br />
|Z 1 + Z 2| 2<br />
= |Z1| 2Z2 + |Z2| 2Z1 |Z1 + Z2| 2<br />
<br />
R<br />
=<br />
2<br />
1 +<br />
2<br />
1<br />
R<br />
ωC 2 + R2 2 + (ωL)2 <br />
R1 + i R2 1 +<br />
2<br />
1<br />
ωL −<br />
ωC<br />
R2 2 +(ωL)2<br />
<br />
ωC<br />
<br />
2<br />
R1 + R2 + ωL + 1<br />
2 ωC<br />
R<br />
=<br />
2<br />
1R2 + R1R2 2 + R1 (ωL) 2 2<br />
1<br />
+ R2 + i R<br />
ωC<br />
2<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2 1<br />
1ωL − R2<br />
2 + ωL − (ωL)<br />
ωC ωC<br />
ωC<br />
<br />
2<br />
R1 + R2 + ωL + 1<br />
2 ωC<br />
b) Bei dieser Aufgabe haben wir leider Zahlenwerte vergessen, deswegen kann man den zweiten<br />
Teil nicht gut machen. Das Vorgehen für das Zeigerdiagramm ist wie folgt: Zuerst holen wir uns<br />
die Impedanzen Z 1 und Z 2 für die beiden Äste. Dann nehmen wir deren Kehrwert, addieren<br />
diese und nehmen dann wieder den Kehrwert.<br />
Zur Veranschaulichung wählen wir folgende Zahlenwerte: R 1 = 20 Ω, R 2 = 30 Ω, X C = 20 Ω<br />
und X L = 40 Ω<br />
X C<br />
R 1<br />
Z 1<br />
Den Kehrwert bekommt man, indem man den Zeiger an der x-Achse spiegelt (der Polarwinkel<br />
geht auf −φ) und den Kehrwert des Betrags nimmt. Den Betrag kann man geometrisch messen<br />
X L<br />
R 2<br />
Z 2<br />
6
oder ausrechnen. |Z 1| = 10 8 Ω = 28 Ω, |Z 2| = 50 Ω. Die Koordinatensysteme sollte man<br />
jeweils geeignet skalieren.<br />
Z 2 1<br />
Z 1 1<br />
Z 1<br />
Als Phasenverschiebung ergibt sich für die Zahlenwerte etwa -13 ◦ . Allgemein kann man einfach<br />
den Winkel aus dem Zeigerdiagramm ablesen. Rechnerisch ist tan φ das Verhältnis aus<br />
Imaginärteil zu Realteil der Impedanz.<br />
Aufgabe 5 [H] Induktivität<br />
a) Eine Spule mit Selbstinduktivität L = 10 H werde von einem Strom der Stärke I = 3 A durchflossen,<br />
der sich nun mit einer Geschwindigkeit von 200 A/s ändere. Berechne den magnetischen<br />
Fluss am Anfang und die Induktionsspannung in der Spule.<br />
b) Die Spule wird nun von einem sinusförmigen Strom der Frequenz ν durchflossen. Berechne<br />
und skizziere den magnetischen Fluss und die induzierte Spannung über der Zeit.<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
a)<br />
b) Die Formeln sind die gleichen wie in a)<br />
φ = LI = 30 Wb<br />
U ind = −L dI<br />
dt<br />
= −2 kV<br />
Z<br />
7
UΦ<br />
Aufgabe 6 [H] Motoranlauf<br />
In Gleichstrommotoren schaltet man mitunter beim Anfahren einen Widerstand in Reihe zur<br />
Rotorspule. Nachdem der Rotor eine gewisse Drehzahl erreicht hat, wird dieser abgeschaltet.<br />
Betrachte einen Motor, der einen Widerstand von 1 Ω hat und bei einer Spannung von 230 V<br />
einen Strom von 11.5 A aufnimmt.<br />
a) Erkläre, warum man einen solchen Widerstand benötigt und warum man ihn während des<br />
späteren Betriebes abschalten kann.<br />
b) Wie groß muss er für einen Motor mindestens sein, der einen maximalen Strom von 23 A<br />
aushält?<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
a) Der Rotorstromkreis hat eine gewisse Zeitkonstante L<br />
. Während des Betriebs wird der Rotor<br />
R<br />
normalerweise deutlich schneller als diese Zeitkonstante umgepolt. Die Selbstinduktion sorgt<br />
dann dafür, dass bis dahin nur eine geringe Spannung anliegt und damit auch nur ein recht<br />
kleiner Strom fließt. Der Rotor wird also umgepolt, bevor signifikante Ströme fließen können.<br />
Das Bild unten illustriert die Situation. Rot ist die anliegende Spannung, Blau ist die tatsächliche<br />
Spannung, gestrichelt der Verlauf im Gleichstromfall.<br />
t<br />
8
U<br />
Beim Einschalten jedoch dreht sich der Rotor zunächst so langsam, dass quasi der Gleichstromfall<br />
I = U<br />
erreicht wird. Um den Strom (und die Leistung) zu begrenzen, schaltet man also<br />
R<br />
einen Widerstand hinzu.<br />
b) Im Extremfall wird die von außen angelegte Spannung erreicht. Es gilt dann das Ohmsche<br />
Gesetz<br />
Aufgabe 7 [H] LC-Schwingkreis<br />
L<br />
C<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
a) Grundsätzlich gilt (Kirchhoff’sche Regeln):<br />
U = RImax = RM + R Imax R = U<br />
− RM = 9 Ω<br />
Imax In der Abbildung auf der linken Seite ist ein LC-Schwingkreis dargestellt.<br />
Er besteht aus einer Spule mit Induktivität L und einem Kondensator<br />
der Kapazität C. Es gibt keinen Widerstand, dies ist eine idealisierte<br />
Vorstellung!<br />
a) Bestimme eine DGL für den Stromfluss in diesem Stromkreis, löse sie<br />
allgemein und bestimme die Kreisfrequenz.<br />
b) Der Kondensator hat eine Induktivität von C = 50µF. Wie viele Windungen<br />
muss eine mit Luft gefüllte zylinderförmige Spule mit Radius<br />
r = 2 cm und Länge l = 50 cm haben, damit der Schwingkreis mit einer<br />
Kreisfrequenz von ω = 1000s −1 schwingt?<br />
U c + U L =0<br />
t<br />
9
Die Aufgabenstellung sagte etwas von DGL für den Strom. Das ist nicht ganz üblich, aber geht<br />
so:<br />
L˙I =U L<br />
U C = Q<br />
C<br />
L˙I + Q<br />
C =0<br />
Das muss man nun noch mal ableiten, um auf eine Gleichung für den Strom zu kommen:<br />
LÏ + ˙Q<br />
= 0<br />
C<br />
LÏ + I<br />
= 0<br />
C<br />
Ï + 1<br />
I = 0<br />
LC<br />
Ein <strong>Lösung</strong>sansatz für diese DGL ist wie schon häufiger ein Sinus oder Kosinus:<br />
mit<br />
I(t) = I 0 sin ωt<br />
ω =<br />
1<br />
Natürlich geht das ganze auch über die Ladungen:<br />
b)<br />
LC<br />
UC = Q<br />
C<br />
UL =L˙I = L ¨Q<br />
Q<br />
C + L ¨Q =0<br />
1<br />
LC Q + ¨Q =0<br />
Q(t) =Q0 cos ωt<br />
I(t) = dQ(t)<br />
dt = −Q 0ω sin ωt<br />
ω = 1<br />
LC<br />
L = 1<br />
ω 2 C<br />
10
Für lange, luftgefüllte Spulen gilt näherungsweise:<br />
Aufgabe 8 [H] Transformator<br />
L = µ 0N 2A l<br />
mu0N 2A =<br />
l<br />
1<br />
ω2 <br />
C<br />
l<br />
N =<br />
µ 0ACω2 <br />
N =<br />
l<br />
µ 0πr 2 ≈ 2500<br />
Cω2 Ein Transformator hat 400 Primär- und 8 Sekundärwindungen.<br />
a) Vergrößert oder verkleinert er die Spannung?<br />
b) Um welchen Faktor?<br />
c) Welche Leerlaufspannung liegt an der Sekundärseite an, wenn die Primärwicklung mit 230 V<br />
betrieben wird?<br />
d) Wie groß ist der Sekundärstrom bei einem Primärstrom von 0.1 A?<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Man kann alles in einen Satz packen: Der Trafo verringert (a) die Spannung um einen Faktor<br />
N2 = 50 (b) auf 4.6 V(c), erhöht dafür aber den Strom um einen Faktor 50 auf 5 A(d).<br />
N 1<br />
Aufgabe 9 [H] Leichte Impedanz<br />
a) Berechne den Blindwiderstand einer Spule der Induktivität 1 mH bei einer Frequenz von<br />
50 Hz.<br />
b) Bei welcher Frequenz ist der Blindwiderstand eines Kondensators der Kapazität 10 µF gleich<br />
dem einer Spule mit Induktivität 1 mH?<br />
c) Der Kondensator und die Spule aus b) werden bei dieser Frequenz in Reihe geschaltet. Dahinter<br />
wird noch ein Widerstand von 10 Ω in Reihe geschaltet. Fertige ein Zeigerdiagramm für<br />
die Impedanz des Stromkreises an.<br />
d) Der Kondensator und die Spule aus b) werden bei dieser Frequenz parallel geschaltet. Dazu<br />
wird noch ein Widerstand von 20 Ω parallel geschaltet. Fertige ein Zeigerdiagramm für den<br />
Strom an.<br />
11
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Der Blindwiderstand ist der Imaginärteil der komplexen Impedanz. Für eine Spule ist er X L =<br />
ωL, für einen Kondensator X C = 1<br />
ωC .<br />
a)<br />
b)<br />
X L = 2πν L ≈ 0.31 Ω<br />
X C = 1<br />
ωC = ωL = X L<br />
ω = 1<br />
LC = 10 s −1 ≈ 1.6 kHz<br />
c) Die Impedanzen der Spule und des Kondensators addieren sich. Der Strom ist bei beiden<br />
Bauteilen gleich, die x-Achse zeigt also in Stromrichtung<br />
X L<br />
X C<br />
I<br />
RZ<br />
Die beiden Impedanzen von Spule und Kondensator wurden gerade so gewählt, dass sie sich<br />
wegaddieren. Es bleibt also als Gesamtimpedanz nur noch R übrig.<br />
d) Das geht ähnlich wie in c), allerdings addieren sich die Impedanzen nun invers, d.h. die<br />
Ströme addieren sich. Bezugsgröße für die x-Achse ist hier die Spannung, die an Spule und<br />
Kondensator gleich ist. Wie man sieht, heben sich die Ströme durch Spule und Kondensator bei<br />
dieser Frequenz gerade auf und der resultierende Strom fließt nur durch den Widerstand.<br />
12
I C<br />
I L<br />
U<br />
I RI<br />
13