Abschnitt 1.5: Turing-Berechenbarkeit - Universität Kassel

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie 1.5 Turing-Berechenbarkeit 

1.5 Turing-Berechenbarkeit 

A.M. Turing (1937): Maschinenmodell zur exakten Beschreibung des 

Begriffs „effektiv berechenbar“ 

✎☞ 

✍✌Stift 

✘✘✘ 

✘✘✘ 

 

 

 

❅ ❅ 

Mensch 

a 

b 

c b 

Rechenblatt 

a b b c 

endliche 

Kontrolle 

Turingmaschine 

Lese-/Schreibkopf 

Eine Turingmaschine arbeitet auf Wörtern, d.h. auf Ketten von 

Buchstaben (oder Zeichen) über einem endlichen Zeichenvorrat 

(Alphabet). 

Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 78 / 309


Ein Alphabet Σ ist eine endliche, nicht-leere Menge, deren Elemente 

Buchstaben, Zeichen oder Symbole genannt werden. 

Beispiele: 

Σ1 := {a, b} 

Σ2 := {(,),+,−,∗,/, a} 

Σ3 := {0, 1,#} 

Durch Hintereinanderschreiben von Zeichen erhält man Wörter. 

∀n ≥ 1 : Σn = Wörter der Länge n über Σ 

ε = Wort der Länge 0 (leeres Wort) 

Σ + := 

Σn nicht-leere Wörter über Σ 

n≥1 

Σ∗ := Σ + ∪{ε} Wörter über Σ 

Beispiele: 

Σ2 1 

Σ∗ 1 

= {aa, ab, ba, bb} 

= {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa,...} 



Für w ∈ Σ ∗ ist |w| die Länge von w: 

|ε| = 0 

|w| = n für alle w ∈ Σ n , n ≥ 1. 

Für w ∈ Σ ∗ und a ∈ Σ ist |w|a die a-Länge von w: 

|ε|a = 0 

|wb|a = |w|a für b = a 

|wa|a = |w|a + 1 

Beachte: 

∀u ∈ Σ m ∀v ∈ Σ n : uv ∈ Σ m+n 

∀u ∈ Σ m : εu = u = uε 

∀u, v, w ∈ Σ ∗ : (uv)w = u(vw) 

(Σ ∗ ,·,ε) ist Halbgruppe mit neutralem Element ε (d.h. ein Monoid) 

Jedes w ∈ Σ ∗ lässt sich eindeutig als Folge von Zeichen aus Σ 

schreiben. 


Lemma 1.25 


Seien u, v, x, y ∈ Σ ∗ mit uv = xy. Dann gilt genau einer der drei 

folgenden Fälle: 

(1.) |u| = |x| und u = x und v = y. 

(2.) |u| > |x|, und es gibt ein z ∈ Σ + mit u = xz und y = zv. 

(3.) |u| < |x|, und es gibt ein z ∈ Σ + mit x = uz und v = zy. 

Abkürzende Schreibweise: 

u 0 = ε, u 1 = u und u n+1 = u n u für alle u ∈ Σ ∗ , n ≥ 1. 

Mit R : Σ ∗ → Σ ∗ wird die Spiegelungsfunktion (engl.: reversal) 

bezeichnet: 

ε R = ε,(ua) R = au R für alle u ∈ Σ ∗ und a ∈ Σ. 



Eine Teilmenge L von Σ ∗ heißt eine Formale Sprache über Σ. 

Beispiele: 

(1.) L1 := { w ∈ Σ ∗ 1 

| |w| ist eine ungerade Zahl} 

(2.) L2 := { korrekt geklammerte arithmetische Ausdrücke über Σ2} 

z.B.: (a−a)∗a+a/(a+a)−a ∈ L2 

(((a))) ∈ L2 

((a+)−a(∈ L2 


Turingmaschine (TM) 

... 


unendliches Band 

✷ ✷ ✷ ✷ a b c # 0 1 1 0 ✷ ✷ 

endliche 

Kontrolleinheit 

Lese-/Schreibkopf 

Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 83 / 309 

...

Definition 1.26 


Eine Turingmaschine (TM) ist gegeben durch ein 7-Tupel 

M = (Z,Σ,Γ,δ, z0,✷, E): 

– Z endliche Zustandsmenge 

– Σ Eingabealphabet 

– Γ ⊃ Σ Arbeitsalphabet 

– z0 ∈ Z Startzustand 

– ✷ ∈ ΓΣ Blank (Leerzeichen) 

– E ⊆ Z Endzustände 

– δ : ((Z E)×Γ) → (Z ×Γ×{L, R, N}) Überführungsfunktion 


Rechenschritte von M: 

δ(z1, a) = (z ′ 1 , b, L): 


... ✷ ✷ 1 0 a b c ✷ ✷ 

... 

⇓ 

z 1 

✷ ✷ 1 0 b b c ✷ ✷ 

z ′ 1 


... 

...

δ(z2, a) = (z ′ 2 , b, R): 


... 

✷ ✷ 1 0 a b c ✷ ✷ 

⇓ 

z 2 

... ✷ ✷ 1 0 b b c ✷ ✷ 

z ′ 2 


... 

...

δ(z3, a) = (z ′ 3 , b, N): 


... 

✷ ✷ 1 0 a b c ✷ ✷ 

⇓ 

z 3 

... ✷ ✷ 1 0 b b c ✷ ✷ 

z ′ 3 


... 

...



Eine Konfiguration der TM M ist ein Wort k ∈ Γ ∗ ZΓ + . 

k deckt den von ✷ verschiedenen Teil des Bandes ab. 

Beispiele: 

10z1abc, 1z ′ 1 0bbc, 

10z2abc, 10bz ′ 2 bc, 

10z3abc, 10z ′ 3 bbc 

Startkonfiguration für Eingabe x ∈ Σ + : z0x 

Startkonfiguration für Eingabe ε : z0✷ 

Haltekonfiguration: uzv mit z ∈ E. 



Definition 1.28 (Berechnungsrelation ⊢ :) 

⎧ 

a1...amzb1...bn ⊢ 

Sonderfälle: 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

a1...amz ′ cb2...bn 

falls δ(z, b1) = (z ′ , c, N) (m ≥ 0, n ≥ 1) 

a1...amcz ′ b2...bn 

falls δ(z, b1) = (z ′ , c, R) (m ≥ 0, n ≥ 2) 

a1...am−1z ′ amcb2...bn 

falls δ(z, b1) = (z ′ , c, L) (m ≥ 1, n ≥ 1) 

a1...amzb1 ⊢ a1...amcz ′ ✷ falls δ(z, b1) = (z ′ , c, R). 

zb1...bn ⊢ z ′ ✷cb2...bn falls δ(z, b1) = (z ′ , c, L). 

⊢ ∗ bezeichnet den reflexiv-transitiven Abschluss von ⊢, d.h. 

k ⊢ ∗ k ′ gdw. ∃m ≥ 0∃k0,...,km : k = k0 ⊢ k1 ⊢ ... ⊢ km = k ′ 



Eine Rechnung von M bei Eingabe x ∈ Σ ∗ ist eine Folge 

z0x = k0 ⊢ k1 ⊢ k2 ⊢ .... 

Eine Rechnung kann endlich oder unendlich sein. 

Eine erfolgreiche Rechnung von M bei Eingabe x ∈ Σ ∗ ist eine 

endliche Rechnung z0x = k0 ⊢ k1 ⊢ k2 ⊢ ... ⊢ km−1 ⊢ km, 

sodass km eine Haltekonfiguration ist. 

T(M) = { x ∈ Σ ∗ | ∃ erfolgreiche Rechnung von M mit Eingabe x } 

ist die von M akzeptierte Sprache. 


Beispiel TM für binäres „+1“: 


M = ({z0, z1, z2, ze},{0, 1},{0, 1,✷},δ, z0,✷,{ze}) mit 

δ(z0, 0) = (z0, 0, R), δ(z0, 1) = (z0, 1, R), 

δ(z0,✷) = (z1,✷, L) 

δ(z1, 0) = (z2, 1, L), δ(z1, 1) = (z1, 0, L), 

δ(z1,✷) = (ze, 1, N) 

δ(z2, 0) = (z2, 0, L), δ(z2, 1) = (z2, 1, L), 

δ(z2,✷) = (ze,✷, R) 

Beispielrechnung: 

z0101 ⊢ 1z001 ⊢ 10z01 ⊢ 101z0✷ 

⊢ 10z11✷ ⊢ 1z100✷ ⊢ z2110✷ 

⊢ z2✷110✷ ⊢ ✷ze110✷, 

also z0101 ⊢ ∗ ✷ze110✷. 

Bezeichnung für diese TM: Band := Band +1 




Eine Funktion f : Σ ∗ → Σ ∗ heißt Turing-berechenbar, wenn es eine 

Turingmaschine M gibt, sodass für alle x, y ∈ Σ ∗ gilt: 

f(x) = y gdw. z0x ⊢ ∗ M ✷...✷zey✷...✷ (ze ∈ E). 

Ist f(x) undefiniert, so ist die Rechnung von M, die mit der 

Startkonfiguration z0x beginnt, unendlich, d.h., M hält ausgehend von 

z0x nicht an! 


Beispiele: 


(1) Die Funktion bin_plus1: {0, 1} ∗ → {0, 1} ∗ 

ist Turing-berechenbar. 

(2) Die Funktion R : Σ ∗ → Σ ∗ 

w ↦→ w R 


(3) Die Funktion 2 : Σ ∗ → Σ ∗ 

w ↦→ ww 


bin(n) ↦→ bin(n+1) 




Sei A ⊆ Σ ∗ . Die Menge A heißt entscheidbar, wenn ihre 

charakteristische Funktion χA Turing-berechenbar ist: 

Beispiel: 

χA(w) = 

1, falls w ∈ A, 

0, falls w ∈ A. 

Die Menge A = { w ∈ {a, b} ∗ | |w| ist gerade } ist entscheidbar. 




Sei A ⊆ Σ∗ . Die Menge A heißt semi-entscheidbar, wenn die folgende 

Funktion χ ′ A Turing-berechenbar ist: 

χ ′ A (w) = 

1, falls w ∈ A, 

undefiniert, falls w ∈ A. 

Die Turingmaschine zur Berechnung von χ ′ A hält also ausgehend von 

der Startkonfiguration z0w (w ∈ Σ∗ ) genau dann an, wenn w ∈ A ist. 

Lemma 1.32 

Jede entscheidbare Menge ist semi-entscheidbar. 




Eine Funktion f : N k → N heißt Turing-berechenbar, wenn es eine 

Turingmaschine M gibt, sodass für alle n1,...,nk, m ∈ N gilt: 

f(n1,...,nk) = m gdw. z0bin(n1)#bin(n2)#...#bin(nk) 

⊢ ∗ M ✷...✷zebin(m)✷...✷ (ze ∈ E). 

Ist f(n1,...,nk) undefiniert, dann hält M ausgehend von der 

Startkonfiguration z0bin(n1)#bin(n2)#...#bin(nk) nicht an! 

Beispiel: 

Die Funktion +1: N → N 

n ↦→ n+1 




Eine Mehrband-Turingmaschine mit k ≥ 2 Bändern: 

endliche 

Kontrolle 

... a 1 a 2 a 3 a 4 a5 a 6 a7 a 8 a 9 

... 

b 1 b 2 b 3 b 4 b5 b 6 b7 b 8 b 9 

a 10 

b 10 

... c 1 c 2 c 3 c 4 c5 c 6 c7 c 8 c 9 c 10 

δ : (Z ×Γ k ) → (Z ×Γ k ×{L, R, N} k ) 


... 

... 

...

Beispiel: 


Eine 2-Band-Turingmaschine zur Berechnung der Spiegelungsfunktion 

M = ({z0, z1, z2, z3, ze},{a, b},{a, b,✷},δ, z0,✷,{ze}) mit: 

δ z0 z1 z2 z3 

(a, a) – – – – 

(a, b) – – – – 

(a,✷) (z1, a,✷, R, N) (z1, a,✷, R, N) (z2,✷, a, L, R) – 

(b, a) – – – – 

(b, b) – – – – 

(b,✷) (z1, b,✷, R, N) (z1, b,✷, R, N) (z2,✷, b, L, R) – 

(✷, a) – – – (z3,✷, a, N, L) 

(✷, b) – – – (z3,✷, b, N, L) 

(✷,✷) (ze,✷,✷, N, N) (z2,✷,✷, L, N) (z3,✷,✷, N, L) (ze,✷,✷, N, R) 


Eingabe: w = aab 


Startkonfiguration: Band 1 

... 

... 

✷ a a 

Beschreibung: (z0aab, z0✷) 

✷ ✷ ✷ ✷ 

z0 

b 

✷ 

✷ 

... 

... 

Band 2 



Rechnung: 

(z0aab, z0✷) ⊢M (az1ab, z1✷) ⊢M (aaz1b, z1✷) 

⊢M (aabz1✷, z1✷) ⊢M (aaz2b✷, z2✷) 

⊢M (az2a✷✷, bz2✷) ⊢M (z2a✷✷✷, baz2✷) 

⊢M (z2✷✷✷✷✷, baaz2✷) ⊢M (z3✷✷✷✷✷, baz3a✷) 

⊢M (z3✷✷✷✷✷, bz3aa✷) ⊢M (z3✷✷✷✷✷, z3baa✷) 

⊢M (z3✷✷✷✷✷, z3✷baa✷) ⊢M (ze✷✷✷✷✷,✷zebaa✷) 

Haltekonfiguration: Band 1 

... ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ 

... ✷ b a a 

ze 


✷ 

... 

...

Satz 1.34 


Zu jeder Mehrband-TM M gibt es eine (Einband-) Turingmaschine M ′ , 

die dieselbe Funktion berechnet wie M. 

Beweis: 

Mehrband-Turingmaschine M mit k Bändern: 

... a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ... Band 1 

... b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 ... Band 2 

... c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 ... Band 3 

Zustand: z 


Einband-TM M ′ : 


... ... 

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ... b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 ... 

... c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 ... 

* 

Band mit 2k “Spuren” 

Arbeitsalphabet: Γ ′ := Γ∪(Γ∪{∗}) 2k 

* 


*

Arbeitsweise von M ′ : 


Startkonfiguration: z0w (w ∈ Σ ∗ ) 

1. Phase: 

* 

✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ 

* 

✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✷ 

* 

2. Phase: M ′ simuliert M schrittweise. 

w 

3. Phase: Ergebnis von Spur 1 auf das gesamte Band kopieren. ✷ 



Ist M eine 1-Band-TM, so ist M(i, k) (i ≤ k) die k-Band-TM, die auf 

Band i M simuliert, wobei alle anderen Bänder unverändert bleiben. 

Beispiele: 

(i) Band := Band+1(i, k). 

Schreibweise: Band i := Band i + 1 

(ii) Band i := Band i − 1. 

(iii) Band i := 0. 

(iv) Band i := Band j. 



Hintereinanderschalten von TMen 

Mi = (Zi,Σ,Γi,δi, zi,✷, Ei), i = 1, 2 

M : start → M1 → M2 → stop 

M = (Z1 ∪ Z2,Σ,Γ1 ∪Γ2,δ, z1,✷, E2) 

mit δ := δ1 ∪δ2 ∪{(ze, a, z2, a, N) | ze ∈ E1, a ∈ Γ1}. 

Beispiele: 

(i) start 

↓ 

Band := Band + 1 

↓ 

Band := Band + 1 

↓ 

Band := Band + 1 → stop 

Schreibweise: Band := Band + 3 


(ii) start 


ze1 

M 

 

M2 

ze 2 

 

stop 

M1 

 

stop 

(iii) Band = 0? : 

Z := {z0, z1, ja,nein}, E = {ja,nein}, 

δ : (z0, a) ↦→ (nein, a, N) für a = 0 

(z0, 0) ↦→ (z1, 0, R) 

(z1, a) ↦→ (nein, a, L) für a = ✷ 

(z1,✷) ↦→ (ja,✷, L) 

Hieraus: Band i=0? 


(iv) 


start 

Band i = 0? 

M 

nein 

ja 

stop 

Schreibweise: WHILE Band i = 0 DO M. 


Beobachtung: 


Die Turingmaschinen bilden eine einfache Programmiersprache: 

– Die Funktionen +c und −c (c ∈ N) sowie 

f(x1,...,xn) = xi (1 ≤ i ≤ n) sind TM-berechenbar. 

– Diese Sprache enthält einfache Wertzuweisungen. 

– Sie enthält einfache Abfragen und while-Schleifen. 

– Das Hintereinanderschalten von Programmen ist möglich. 


Satz 1.35 


Turingmaschinen können WHILE-Programme simulieren, d.h. jede 

WHILE-berechenbare Funktion ist auch Turing-berechenbar. 

Satz 1.36 

Jede Turingmaschine kann durch ein GOTO-Programm simuliert 

werden, d.h. jede Turing-berechenbare Funktion ist auch 

GOTO-berechenbar. 


Beweis: 


Sei M = (Z,Σ,Γ,δ, z1,✷, E) eine TM, die die Funktion f : N k → N 

berechnet. 

Für alle n1,...,nk ∈ N: 

f(n1,...,nk) ist definiert: 

z1bin(n1)#bin(n2)#...#bin(nk) ⊢ ∗ M ✷...✷zebin(f(n1,...,nk))✷...✷ 

f(n1,...,nk) ist nicht definiert: 

z1bin(n1)#bin(n2)#...#bin(nk) ⊢M ... ⊢M ... ⊢M ... 

GOTO-Programm M ′ zur Simulation von M: 

M1 : P1; M2 : P2; M3 : P3 

P1 : (n1,...,nk) ↦→ Darstellung der Konfiguration 

z1bin(n1)#...#bin(nk) in x, y, z. 

P2 : schrittweise Simulation von M auf x, y, z. 

P3 : Endwerte von x, y, z ↦→ f(n1,...,nk). 



Kodierung von TM-Konfigurationen 

Z = {z1,...,zk}, Γ = {a1,...,am}, b > |Γ| 

Konfiguration: ai 1 ai 2 ...aip zℓaj 1 aj 2 ...ajq 

Kodierung: x = (i1i2...ip)b 

y = (jq...j2j1)b 

z = ℓ 

p 

mit (i1...ip)b := iµ · bp−µ und (jq...j1)b := 

µ=1 

Beispiel Γ = {a1, a2, a3, a4}, b = 5: 

Konfiguration: a1a2a1z2a3a4 

q 

jν · b 

ν=1 

ν−1 

Kodierung: x = (a1a2a1)5 = 1·5 2 + 2·5 1 + 1·5 0 = 36 

y = (a4a3)5 = 4·5 1 + 3·5 0 = 23 

z = 2 

P1 und P3: elementare arithmetische Operationen. 


Beispiel: 


Eingabe: (10, 6). 

Kodierung: 0 ↦→ a1, 1 ↦→ a2, # ↦→ a3, ✷ ↦→ a4 und b = 5. 

Eingabekonf.: z1bin(10)#bin(6) = z11010#110 

= z1a2a1a2a1a3a2a2a1. 

WHILE-Programm P1: z ← 1; x ← 0; y ← 0; 

WHILE x2 = 0 DO x3 ← (x2 MOD 2)+1; 

x2 ← x2 DIV 2; 

y ← y ∗ 5+x3 

END; 

y ← y ∗ 5+3; 

WHILE x1 = 0 DO x3 ← (x1 MOD 2)+1; 

x1 ← x1 DIV 2; 

y ← y ∗ 5+x3 

END; 


GOTO-Programm M2 : P2 


M2 : a := y MOD b; 

IF (z = 1) AND (a = 1) THEN GOTO M1,1; 

IF (z = 1) AND (a = 2) THEN GOTO M1,2; 

. 

IF (z = k) AND (a = m) THEN GOTO Mk,m; 

M1,1 : Programmstück zur Simulation von δ(z1, a1) 

GOTO M2; 

. 

Mk,m : Programmstück zur Simulation von δ(zk, am) 

GOTO M2; 



Simulation eines TM-Schritts: δ(zi, aj) = (zi ′, aj ′, L): 

ai ...aip zi ajaj ...ajq 

1 

 

2 

 

x z y 

⊢M ai 1 ...ai p−1 

 

x 

zi ′ aip 

z 

aj ′aj ...ajq 2 

 

y 

GOTO-Programmstück: z := i ′ ; 

y := y DIV b; 

y := y ∗ b + j ′ ; 

y := y ∗ b +(x MOD b); 

x := x DIV b; 



Übersicht 

GOTO ↔ WHILE ↔ TM ↔ µ-rekursiv 

 

 

LOOP ↔ prim. rekursiv 

Die Ackermannfunktion a(.,.) ist WHILE-berechenbar und total, aber 

sie ist nicht LOOP-berechenbar.

Abschnitt 1.5: Turing-Berechenbarkeit - Universität Kassel

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