Skript zur Vorlesung REGELUNGSTECHNIK

Skript zur Vorlesung
REGELUNGSTECHNIK
Prof. Dr.–Ing. R. Tracht
Universität Essen
Lehrstuhl für Automatisierungstechnik
16. Dezember 2002

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Entwicklung der Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Grundlegende Begriffe (DIN 19226) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Struktur von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Statisches Verhalten von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Kennlinien von Stellgliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Modellbildung und Identi¿kation 13
2.1 Elementare Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Das Proportionalglied (P–Glied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Das Integrierglied (I–Glied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Das Differenzierglied (D–Glied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.4 Das Totzeitglied (Tt–Glied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.5 Verzögerungsglied 1.Ordnung (P–T1–Glied) . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.6 Systeme zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
a) gedämpfte Schwingung 0 D 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 43
b) aperiodischer Grenzfall D 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
c) ungedämpfte Schwingung D 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
d) aperiodisches Verhalten D 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
e) instabiles Verhalten D 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Analogiebeziehungen bei technischen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 Mechanisch–translatorische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Mechanisch–rotatorische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
I

INHALTSVERZEICHNIS II
2.2.3 Elektrische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.4 Strömungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.5 Thermische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Der Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.1 Frequenzgang eines P–T1–Gliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.2 Frequenzgang eines P–T2–Gliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.3 Frequenzgang einer Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.4 Logarithmische Frequenzkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Analyse von linearen Regelkreisen 74
3.1 Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.1 Die Laplace – Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.2 Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koef¿zienten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.3 Bestimmung von Übertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.4 Reduktion von Blockschaltbildern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Stabilität von linearen zeitinvarianten Übertragungssystemen . . . . . . . . . 86
3.2.1 Stabilitätsde¿nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2 Stabilitätskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3 Stabilität von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Standardregler 92
4.1 Der P–Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Der PI–Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Der PID–Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4 Einstellregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.1 Ziegler–Nichols–Einstellregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.2 CHR–Einstellregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren 96
5.1 Synthese von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Anforderungen an den Frequenzgang des Regelkreises . . . . . . . . . . . . 97

INHALTSVERZEICHNIS III
5.3 Anforderungen an das Zeitverhalten von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 Kompensationsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Das Wurzelortsverfahren 107
6.1 Systemvoraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Bedingungen für die Wurzelortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Abbildungsverzeichnis
2.1 Übergangsfunktion h t für 0 D 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Übergangsfunktion h t für D 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Übergangsfunktion h t für D 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Bode­Diagramm P­Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5 Bode­Diagramm I­Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6 Reihenschaltung zweier PT1­Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7 Bode­Diagramm PT2­Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Bode­Diagramm Totzeit­Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1 Lageregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Standard­Regelkreis­Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Einschwingverhalten der Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4 Zusammenhang zwischen Mp und D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Zusammenhang Phasenreserve­Dämpfungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 Phasengang von Lead­Gliedern, m 1 2 12 . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV

Kapitel 1
Einleitung
1.1 Entwicklung der Regelungstechnik
Unter Regelung versteht man im allgemeinen die selbsttätige Einstellung oder Anpassung von
Größen in einer Anlage oder in einem System. Ein derartiges System muß dabei nicht technischer
Natur sein, sondern kann aus der Biologie, der Ökonomie oder der Soziologie stammen.
Im Folgenden werden jedoch ausschließlich technische Regelungssysteme betrachtet.
Im Vordergrund steht dabei die Entwicklung von Vorrichtungen, durch die automatisch eine
gewünschte Reaktion der Anlagen auf äußere Einwirkungen erfolgt.
Erste Ansätze zur Nutzung physikalischer Effekte für automatische Aktionen ¿ndet man bereits
im Altertum. Bei den Griechen wurde z. B. bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. die Ausdehnung
der Luft bei Erwärmung dazu eingesetzt, um nach Entzünden eines Opferfeuers die
Tempeltüren ohne direkten Eingriff von Menschen zu öffnen.
Die systematische Anwendung von regelungstechnischen Prinzipien im technischen Bereich
begann Ende des 18. Jahrhunderts. Bekanntestes Beispiel ist die von Thomas Mead entwickelte
Drehzahlregelung über Fliehkraftpendel, die von James Watt 1798 bei Dampfmaschinen
eingesetzt wurde. Dieses Prinzip wurde später noch verfeinert und lange Zeit in vielen technischen
Anlagen noch genutzt.
Zu einer eigenständigen Disziplin wurde die Regelungstechnik nach dem zweiten Weltkrieg.
Dazu haben vor allem zwei Entwicklungen beigetragen. Zum einen wurden die Gesetzmäßigkeiten
zur Beschreibung von Regelungsvorgängen untersucht und damit eine theoretische
Grundlage für die Reglerentwicklung bereitgestellt. Parallel dazu wurden die gerätetechnischen
Voraussetzungen für die Umsetzung von mathematisch formulierten Reglergesetzen
entscheidend verbessert. Vor allem die Entwicklung im Bereich der Elektronik hat wesentlich
dazu beigetragen, dass auch komplizierte Steuerungs­ und Regelungsalgorithmen realisiert
werden können.
Kennzeichen einer Regelung ist die Messung von Systemgrößen und deren Nutzung zur BeeinÀussung
des zeitlichen Verhaltens des Systems. Der Gegenstand der Untersuchung ist in
der Regelungstechnik also die Dynamik von Systemen. Dabei zeigt es sich, dass die gleichen
1

1.2 GrundlegendeBegriffe(DIN 19226) 2
mathematischen Beziehungen für die Beschreibung des Zeitverhaltens von Anlagen aus sehr
unterschiedlichen technischen Bereichen auftreten.
Ziel der Vorlesung ist es, mathematische Werkzeuge bereitzustellen, um das Zeitverhalten von
technischen Systemen beurteilen zu können und damit die geeigneten Regler auszuwählen
oder zu entwickeln.
Man kann damit Regelungstechnik de¿nieren als
Methoden und Prinzipien zur Analyse und zur BeeinÀussung von dynamischen
Prozessen aus unterschiedlichen technischen Bereichen.
In den nächsten Abschnitten werden die grundlegenden Begriffe eingeführt und typische Regelkreise
betrachtet.
1.2 Grundlegende Begriffe (DIN 19226)
Wie bereits erwähnt, treten vergleichbare Aufgabenstellungen in unterschiedlichen Anwendungsbereichen
auf. Es ist daher sinnvoll, für Systemgrößen und Anlagenteile mit den gleichen
Eigenschaften bzw. Funktionen spezielle Begriffe einzuführen. Diese Begriffe sind in
der Norm DIN 19226 de¿niert und erläutert. Anhand von zwei typischen regelungstechnischen
Beispielen werden sie im Folgenden genauer betrachtet.
a) Temperaturregelung (gasbeheizter Glühofen)
Zur Präzisierung der Aufgabenstellung ist es zweckmäßig, die für die Regelung wichtigen
Anlagenteile schematisch darzustellen (Technologieschema, Wirkschaltplan).
Heizgas
Stellantrieb
Stellventil Gas-Brenner
Stelldruck
Glühgut
Regler und
Messumformer
Gasbeheizter Glühofen
Solltemperatur
Thermoelement

1.2 GrundlegendeBegriffe(DIN 19226) 3
Das Ziel der Regelung ist es, das Glühgut auf eine bestimmte Temperatur zu erwärmen.Diese
vorgegebene Temperatur kann entweder ein konstanter Wert oder aber ein bestimmter Zeitverlauf
­ etwa für die Wärmebehandlung von Stahl­ sein. Eine derartige zeitveränderliche vorgegebene
Größe bezeichnet man als Führungsgröße w. Wenn die Führungsgröße nur zwischen
konstanten Werten verstellt wird, nennt man sie auch Sollwert xs. In der oben dargestellten
Anlage wird der Sollwert an einem Potentiometer eingestellt.
Die zu beeinÀussende Systemvariable ­ im Beispiel die Temperatur des Glühgutes ­ nennt
man Aufgabengröße xa. Diese Größe ist nicht direkt messbar. Als Ersatzgröße wird stattdessen
die Temperatur im Ofen gemessen und für die Regelung benutzt. Diese Größe bezeichnet
man daher als Regelgröße x. Die Regelgröße ist abhängig vom zugeführten Wärmestrom, der
wiederum durch den Heizgasvolumenstrom beeinÀusst wird. Durch eine Änderung des Heizgasvolumenstroms
kann also die Regelgröße ”verstellt” werden. Daher wird der Heizgasvolumenstrom
auch als Stellgröße y bezeichnet. Die gerätetechnische Vorrichtung ­ in der hier
betrachteten Anlage ein Ventil ­ zur Veränderung der Stellgröße wird nach DIN 19226 als
Stellglied bezeichnet. Durch Stellglieder werden im Allgemeinen Systemvariable verändert,
die zum Transport von Leistung notwendig sind und daher ein hohes Energieniveau besitzen.
Die Information an das Stellglied über den einzustellenden Wert der Stellgröße liefert das
Stellsignal yR. In dem hier betrachteten Beispiel wird ein pneumatisches Ventil eingesetzt. Der
Heizgasvolumenstrom hängt von der Ventilöffnung und diese wiederum vom Hub der Ventilspindel
ab. Der Ventilhub kann durch den Stelldruck verändert werden. Das Stellsignal ist also
hier der Stelldruck.
Der zu regelnde dynamische Prozeß, in diesem Fall der Glühofen mit Gasbrenner sowie das
Glühgut, wird als Regelstrecke bezeichnet.
Bei genauer Kenntnis des Zusammenhangs zwischen Stellsignal und Aufgabengröße kann der
Stellsignalverlauf einmal berechnet werden und dann aufgeschaltet werden. Für eine Änderung
der Glühguttemperatur auf einen höheren Wert müsste dazu beispielsweise zunächst das
Ventil für die Aufheizphase weit geöffnet werden und dann soweit geschlossen werden, dass
nur noch die Wärmeverluste über die Ofenwände kompensiert werden. Eine Erfolgskontrolle
¿ndet hier jedoch nicht statt. Weder die Aufgabengröße noch eine von ihr abhängige Regelgröße
wird zurückgeführt und mit dem Sollwert verglichen. Man hat es hier also mit einer
offenen Wirkungskette zu tun. Eine solche Kon¿guration bezeichnet man als Steuerung.
Durch eine reine Steuerung kann im allgemeinen das Ziel, die Regelgröße der Führungsgröße
möglichst genau anzunähern, nicht erreicht werden, da neben der Stellgröße weitere EinÀussgrößen
wirken. So beeinÀussen z. B. Druckschwankungen oder Heizwertschwankungen des
Heizgases den zugeführten Wärmestrom, während durch Schwankungen bei der Umgebungstemperatur
der abgeführte Wärmestrom verändert wird. Derartige zusätzliche EinÀussgrößen,
die messtechnisch nur schwer oder gar nicht erfasst werden können, bezeichnet man als Störgrößen
z. Ein zweites Problem bei einer reinen Steuerung sind Änderungen des Zusammenhangs
zwischen Stellsignal und Aufgabengröße, zum Beispiel durch Alterung oder Verschmutzung
von Anlagenteilen, das heißt durch Parameterschwankungen der Regelstrecke.
Aus den genannten Gründen ist es zweckmäßig, die Regelgröße mit der Führungsgröße zu vergleichen,
also einen Sollwert­Istwert durchzuführen und das Stellsignal in Abhängigkeit von
der so gebildeten Regeldifferenz e zu verändern. Die automatische Einstellung des Stellsignals

1.2 GrundlegendeBegriffe(DIN 19226) 4
übernimmt der Regler. Es entsteht damit ein geschlossener Wirkungsablauf: ein Regelkreis.
Die Regelung gestattet also durch Rückführung der Regelgröße bei ungenauer Kenntnis der
Regelstrecke und bei unbekannten Störungen die selbsttätige Verringerung bzw. im Idealfall
Beseitigung der Regeldifferenz.
b) Lageregelung (Werkzeugmaschine)
Als zweites Beispiel betrachten wir nun eine Regelungsaufgabe aus einem ganz anderen Anwendungsbereich.
Bei einer Werkzeugmaschine soll das Werkstück gegenüber dem Werkzeug
so bewegt werden, dass bei Werkzeugeingriff die gewünschte Kontur entsteht. Der Einfachheit
halber betrachten wir nur eine Bewegungsrichtung. Eine schematische gerätetechnische
Darstellung zeigt Bild 2.
Sollwertpotentiometer
Regler
Leistungsverstärker
Gleichstrommotor
Maschinentisch
Werkstück
Lagepotentiometer
Lageregelung bei einer Werkzeugmaschine
Werkzeug
Das Ziel einer Regelung ist es also, den Maschinentisch mit aufgespanntem Werkstück in
eine vorgegebene Position zu bewegen. Diese Bewegung kann durch Verdrehen der Vorschubspindel
mit einem Gleichstrommotor erfolgen. Da Maschinentisch und Antriebsmotor gerätetechnisch
eine Einheit bilden, ist es naheliegend, diesen Teil der Anlage zur Regelstrecke
zusammenzufassen. Die Drehzahländerung beim Gleichstrommotor erfolgt über einen Leistungsverstärker,
der bei größeren Antrieben aus Stromrichterschaltungen realisiert ist. Dieser
Leistungsverstärker ist hier also das Stellglied. Für die Lagemessung kann z. B. ein Potentiometer
verwendet werden, das dann unser Messglied darstellt. Die Regelgröße ist folglich
bei dieser Regelungsaufgabe die Lage, die Stellgröße ist die Ankerspannung des Gleichstrommotors,
das Stellsignal ist die Spannung am Verstärkereingang und die Rückführgröße ist die
Potentiometerspannung. Als wichtige Störgröße tritt hier das Lastmoment des Motors bedingt
durch den Werkzeugeingriff auf.
Man erkennt also, dass in unterschiedlichen technischen Bereichen vergleichbare Problemstellungen
auftreten und Anlagenteile mit der gleichen regelungstechnischen Funktion eingesetzt
werden. Physikalisch sehr unterschiedliche Größen besitzen dann regelungstechnisch die gleiche
Funktion.
In Tabelle 1 sind die wichtigsten regelungstechnischen Begriffe und ihre englische Übersetzung
zusammengestellt.

1.3 Struktur von Regelkreisen 5
Tabelle 1: Die wichtigsten regelungstechnischen Begriffe
Begriff Symbol Englische Bezeichnung
Regelung feedback control, closed loop control
Steuerung feedforward control, open loop control
Regelstrecke plant
Stellglied actuator
Messglied sensor
Regler controller, regulator
Regelgröße x output y, controlled variable
Stellgröße y control input u, manipulated variable
Störgröße z disturbance d
Aufgabengröße xa
Regeldifferenz e error signal e
Führungsgröße * reference variable r
1.3 Struktur von Regelkreisen
Für regelungstechnische Untersuchungen ist, wie oben gezeigt wurde, nicht die gerätetechnische
Realisierung, sondern die Wirkungsstruktur maßgebend. Zur Darstellung der Wirkungsstruktur
eignen sich Blockschaltpläne (Wirkungspläne) Dabei werden Teilsysteme durch Blöcke
charakterisiert, die durch Wirkungslinien miteinander verbunden sind. Die Wirkungslinien geben
den InformationsÀuss an und nicht etwa den EnergieÀuss.Zwischen einzelnen Blöcken
soll keine Rückwirkung vorhanden sein. Es wird also eine annähernd rückwirkungsfreie Kopplung
der Teilsysteme vorausgesetzt.Falls doch Rückwirkungen auftreten, sind dafür gesonderte
Wirkungslinien einzuführen.
Im Folgenden werden für die beiden oben betrachteten Beispiele sowie für weitere häu¿g
vorkommende Regelkreise Blockschaltpläne zusammen mit den physikalischen Variablen und
ihrer regelungstechnischen Funktion dargestellt.
a) Temperaturregelung (gasbeheizter Glühofen)
Die Zuordnung der Anlagenteile zu den regelungstechnischen Teilsystemen Regelstrecke,
Stellglied, Messeinrichtung und Regler führt auf den dargestellten Blockschaltplan.Die Festlegung,
welche Systemteile zur Regelstrecke gehören und was als Stellglied ausgewählt wird, ist
nicht immer eindeutig. So wäre es durchaus denkbar, den Brenner als eigentliches Stellglied
anzusehen. Da er aber Bestandteil der Ofenanlage ist, wird er hier zur Regelstrecke zugeordnet.

1.3 Struktur von Regelkreisen 6
Solltemperatur
¡�¤¤�£�¢�
Messumformer
und Regler
Regeleinrichtung
¡¢£¤¤¥¦§¨©¤� Stelldruck
Stellglied und
Stellventil
Stellglied
Thermospannung
��������§���£�
Druckschwankungen
Heizgas-
Volumenstrom
¡¢£¤¤§���£�
¡¢��§���£�
Blockschaltplan der Temperaturregelung
Ofen und
Brenner und
Glühgut
Regelstrecke
Thermoelement
Messglied
Ofentemperatur
�£§£¤§���£�
Die Aufgabe der Regelungstechnik ist es, für die Regelungsaufgabe einen geeigneten Regler
zu entwickeln. Häu¿g genügt es, einen Reglertyp auszuwählen und für die Parametereinstellung
zu bestimmen. Das wesentliche Kriterium ist dabei das zeitliche Verhalten der Regeldifferenz.Aus
diesem Grund wird der Sollwert– Istwertvergleich besonders hervorgehoben und
dafür ein eigenes Symbol (das Vergleichsglied bestehend aus einem Kreis mit vorzeichenbehafteten
Pfeilen) eingeführt.
Dies führt auf die Struktur des einschlei¿gen Standardregelkreises.
* e
Regler
yR Stellglied
y
z!
Regelstrecke
! ! ! ! B !
r
Meßeinrichtung
*: Führungsgröße e: Regeldifferenz yR: Stellsignal
y: Stellgröße x: Regelgröße z: Störgröße
Meist wird der oben gezeigte Regelkreis weiter vereinfacht. Dazu werden Stellglied, Regelstrecke
und Messeinrichtung zu einem Block zusammengefasst. Eine solche Aufteilung ist
jedoch nicht zwingend. Bei manchen Anwendungen ist es zweckmäßig, die Messeinrichtung,
den Regler und das Stellglied zu einer Einheit zusammenzufassen.
b) Lageregelung (Werkzeugmaschine)

1.3 Struktur von Regelkreisen 7
Der Blockschaltplanfür die oben betrachtete Lageregelung ergibt sich direkt aus der schematischen
gerätetechnischen Darstellung.
�����
����
Elektronisch
er Regler
c) Füllstandsregelung
Regler Stellglied
Regler-
Ausgangs-
Leistungsverstärker
Schleiferspannung
���������������
Motor-Ankerspannung
spannung ������������
�������������
Blockschaltplan des Lageregelkreises
Regelstrecke
Maschinentisch
, Werkstück,
Antrieb
Lagepotentionmeter
Meßglied
Werkstück-
Lage
�������
������
Eine häu¿g auftretende Regelungsaufgabe ist die Niveauregelung bei Behälterfüllständen.
Die schematische gerätetechnische Darstellungfür einen einfachen Regelkreis dieser Art ist
im nachfolgenden Bild angegeben. Der dort eingezeichnete Regler benötigt keine gesonderte
Energieversorgung. Er wird daher auch als Regler ohne Hilfsenergie bezeichnet.
Zufluß
Stellventil
Hebel
Füllstandsregelung
Schwimmer
Behälter
Abfluß

1.3 Struktur von Regelkreisen 8
Auch hier ist die Aufteilung in Regelstrecke, Stellglied, Regler und Messglied offensichtlich
und führt zu folgendem Blockschaltplan:
!
!
d) DurchÀußregelung
Ventilhub
! !
Hebel Stellventil Behälter
Schwimmerposition
Schwimmer
!
Zu�uß
Flüssigkeitsniveau
Eine Regelungsaufgabe, die insbesondere in verfahrenstechnischen Anlagen häu¿g vorkommt,
ist die DurchÀussregelung Die schematische gerätetechnische Darstellungfür eine typische
DurchÀussregelung ist im nachfolgenden Bild angegeben.
Stellantrieb
Stellventil
Stelldruck
Sie führt auf folgenden Blockschaltplan:
!
!
Regler und
Meßumformer
Differenzdruck
Regler und
Messumformer
DurchÀussregelung
! !
Differenzdruck
Solldurchfluss
!
Messblende
Stellventil Rohrleitung
Meßblende
Druckschwankungen
!
Durch�uß
Es ist hier zweckmäßig, das Stellventil als Bestandteil der Regelstrecke anzusehen, da das
Verhalten des Regelkreises wesentlich durch das Ventil beeinÀußt wird.
!

1.4 StatischesVerhalten von Regelkreisen 9
1.4 Statisches Verhalten von Regelkreisen
Ziel der meisten Regelungen ist es, ein technisches System, gegen den EinÀuß von Störgrößen,
auf einen festen Betriebspunkt zu halten. Dies hat eine einfache Ursache, da z.B. ein
Elektromotor bei einer bestimmten Nenndrehzahl den größten Wirkungsgrad hat.
Aus diesem Grund reduziert sich die regelungstechnische Systembeschreibung auf einen kleinen
Bereich um den festgelegten Betriebspunkt. Somit genügt eine Erklärung des statischen
und dynamischen Verhaltens in der Umgebung dieses Betriebspunktes.
Anhand des nächsten Beispiels wird das statische Ein– und Ausgangsverhalten mit den auftretenden
Störgrößen als Parameter, unter Zuhilfenahme des Kennlinienfeldes untersucht.
DurchÀuß q
q0
h0
h
p3
q
p2
p1
p1 p2 p3
Ventilstellung h
Aus dem Kennlinienfeld ist zu ersehen, dass der DurchÀuß (q) eine Funktion vom Eingangsdruck
(pE) und der Ventilstellung (h) ist.
q f h pE
Da ein statischer Signalzusammenhang vorliegt und wir uns auf kleine Auslenkungen um den
Betriebspunkt beschränken, können wir diese Funktion im Betriebspunkt (hier q0) in eine
Taylorreihe entwickeln.
Für pE konst. gilt:
q q f h0 pE0
q K )
sy h mit K )
sy
" f
"h h0 pE0
" f
"h h0 pE0
h
" f
"pE h0 pE0 pE0 (1.1)
K )
sy : Proportionalbeiwert (1.2)

1.5 Kennlinien von Stellgliedern 10
Analog gilt für h konst.:
q K )
sz p mit K )
sz
" f
"pE h0 pE0
K )
sz : Proportionalbeiwert (1.3)
Die hier aufgestellten Gleichungen sind jeweils dimensionsbehaftet, jedoch kann dies von
Nachteil sein, weil dadurch eine einheitliche Behandlung der Systeme und die numerische
Berechnung mittels Rechnern erschwert wird bzw. unmöglich ist. Aus diesem Grund ist eine
Normierung der physikalischen Größen zweckmäßig.
Bei diesem Verfahren werden diese Variablen zu konstanten Bezugsgrößen, die z.B. die Größen
im Betriebszustand seien können, ins Verhältnis gesetzt.
Mit: x
q
q0
und q K )
sy h bzw. q K )
sz
folgt x K )
sy
Ksy K )
sy
h0
q0
h0
q0
y
h
h0
y bzw. x K )
sz
z
p
pE0
bzw. Ksz K )
sz
p0
q0
x Ksy y bzw. x Ksz z
1.5 Kennlinien von Stellgliedern
p
p0
q0
z
Ksy Ksz: normierter Proportionalbeiwert
Exemplarisch für Systeme mit nichtlinearen Kennlinien soll im Folgenden ein Stellventil beschrieben
werden. Das Stellventil dient zur BeeinÀussung des Volumenstroms. Wie bei allen
Drosselgeräten gilt für den DurchÀuss
q : A
Dabei ist A der Nennquerschnitt, : die DurchÀusszahl, p die Druckdifferenz am Ventil und I
die Dichte des Mediums. Da Ventile für die DurchÀusseinstellung von unterschiedlichen Medien
eingessetzt werden, wurde für die Ventilauswahl eine charakteristische Kenngröße eingeführt.
Dazu legt man Einheitsbedingungen fest. Als Medium wird Wasser mit einer Temperatur
zwischen 5 0 C und 30 0 C gewählt. Der Druckabfall am Ventil soll p 1bar (98100 Pa) betragen.
Der DurchÀuss unter diesen Bedingungen wird VentildurchÀusskoef¿zient (KV Wert)
genannt.
V
2 p
I

1.5 Kennlinien von Stellgliedern 11
Für den KV ­Wert des tatsächlich stömenden Mediums gilt dann
KV q
DerKV ­Wert ist vom Ventilhub abhängig. Für den Nennhub H100 erhält man den Soll­KV ­
Wert KV S , für den Hub 0 den KV ­Wert KV 0. Die Abhängigkeit des KV ­Wertes vom Hub
wird durch die Bauform des Ventils bestimmt. Zwei Bauformen sind üblich:
lineare Kennlinien
gleichprozentige Kennlinien.
Zur Darstellung der Kennlinien werden normierte Größen für den DurchÀuss und den Ventilhub
eingeführt. Als Bezugsgröße für den DurchÀuss wird der Soll­KV ­Wert KV S gewählt.
Man erhält dann den relativen DurchÀusskoef¿zienten
V
KV
KV S
Der Ventilhub wird auf den Nennhub H100 bezogen.
h
H
H100
Für die lineare DurchÀusskennlinie ergibt sich damit die Beziehung
Dabei ist m 1 0 die Steigung der Kennlinie.
p0
p
0 m h
Bei der gleichprozentigen DurchÀusskennlinie haben gleiche relative Hubänderungen h die
gleiche Änderung des relativen DurchÀusskoef¿zienten zur Folge. D.h. es gilt:
KV
KV
Nach Grenzübergang und Integration erhält man
n H
H100
I
I 0

1.5 Kennlinien von Stellgliedern 12
ln KV
KV 0
n H
H100
Mit Hilfe der Umkehrfunktion für den Logarithmus folgt daraus
KV
KV 0
H
n H e 100
Nach Erweiterung mit KV S erhält man daraus die Beziehung für den relativen DurchÀusskoef¿zienten
0 e nh
Der relative DurchÀusskoef¿zient bei geschlossenem Ventil 0 ist dabei als theoretische Größe
anzusehen. Der Kehrwert von 0 wird auch als theoretisches Stellverhältnis bezeichnet.
Für reale Ventile gilt die theoretische Kennlinie bei h 0 nicht. Bei geschlossenem Ventil ist
für reale Ventile der DurchÀuss Null.
In der folgenden Abbildung sind die beiden Kennlinien dargestellt.
Φ
Φ 0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Lineare Kennlinie
Gleichprozentige
Kennlinie
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Ventilkennlinien
Neben den beiden genannten Kennlinienformen sind noch verschiedene andere Kennlinien in
Gebrauch. In der Norm sind dafür jedoch keine mathematischen Beschreibungen festgelegt.
h