Ganzrationale Funktionen.pdf - gilligan-online

Aufgabe 7:
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch
K. t
(a) Ermittle die Gleichung der Kurve C, auf der alle Tiefpunkte liegen.
(b) Begründe, warum es keine Kurve K gibt, die C senkrecht schneidet.
Aufgabe 8:
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch
sei
(a)
K. t
P t sei diejenige Parabel zweiter Ordnung mit der Symmetrieachse
t
1
4
4
2
f (x) = x − tx mit x ∈R
. Ihr Schaubild sei
t
1
3
3
2
f (x) = x + t x − 3 mit x ∈R
. Ihr Schaubild
t
x = − 3 , die K
4 t im Wendepunkt
berührt. Bestimme die Gleichung der Parabel.
(b) Für welchen Wert von t hat der Inhalt des von der Wendetangente, der Normalen im Wendepunkt
und der x-Achse gebildeten Dreiecks ein Minimum? Führe den Nachweis des Minimums
ohne die zweite Ableitung durch.
Aufgabe 9:
Für jedes t ∈ R \ {} 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f (x)
1 3 2
x tx
1 2
t = − + t x; x ∈R
2
2
Ihr Schaubild sei K t
(a) Untersuche K t auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, Hoch-, Tief- und
Wendepunkte. Zeichne K 3 im Bereich − 1 ≤ x ≤ 4 sowie seine Wendetangente.
(b) Welche Kurve C bilden die Wendepunkte W t der Kurven K t für alle zugelassenen Werte
von t? Für welche Werte von t schneiden C und K t einander in W t senkrecht?
(c) Eine Parabel zweiter Ordnung P t geht durch die gemeinsamen Punkte von K t mit der x-
Achse und berührt K t im Ursprung. Weise durch Rechnung nach, dass K t und P t keine
weiteren gemeinsamen Punkte haben. K t teilt die von P t und der x-Achse eingeschlossene
Fläche. In welchem Verhältnis stehen die Inhalte der Teilflächen?
(d) Welche Beziehung muß zwischen t1 und t 2 ( t1
≠ t 2 ) bestehen, damit sich die Kurven
K t und K
1 t 2
im Ursprung berühren?
Zeige:
Zwei Kurven K t und K
1 t 2
, die sich nicht im Ursprung berühren, schneiden sich genau in zwei
Punkten.
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