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1 Komplexe Zahlen
1.1 Definition:
2
Die Menge C { x + iy x,y ∈R; i = −1}
= heißt Menge der komplexen Zahlen;
i heißt imaginäre Einheit.
Für y = 0 erhält man die reellen Zahlen, für x = 0 die rein imaginären Zahlen.
Die Menge R der reellen Zahlen läßt sich als Punkt auf der x-Achse (Zahlenstrahl) darstellen.
Zur Darstellung der Menge C faßt man komplexe Zahlen auf als reelle Zahlenpaare, die sich
als Vektoren (Zeiger) oder als Punkte einer [x,y]-Ebene darstellen lassen.
1.2 Darstellung einer komplexen Zahl z:
Kartesische Form:
z = x + iy
x-Achse
reelle Achse
y-Achse
imaginäre Achse
x = Re(z) Realteil von z
y = Im(z) Imaginärteil von z
z = x − iy Konjugiert komplexe Zahl von z
2
2
z = x + y Betrag von z
Polarkoordinaten-Form:
z = r(cosϕ + isinϕ)
r
Abstand zum Ursprung
ϕ
Winkel mit der positiven reellen Achse
z = r(cosϕ − isinϕ)
Konjugiert komplexe Zahl von z
Exponentialform:
iϕ
z = re
Bezeichnungen wie bei der Polarkoordinaten-Form.
z = re
−iϕ
Bezeichnungen:
2
2
Konjugiert komplexe Zahl von z
r = z = x + y Betrag der komplexen Zahl z, r ≥ 0
ϕ = argz
Argument (Winkel) von z, ϕ ∈R
Beziehungen zwischen den unterschiedlichen Darstellungen:
x = r cos ϕ
y = r sin
r =
x
2
tan ϕ =
ϕ
+ y
y
x
2
⎪
⎧ϕ = arctan
⇒ ⎨
⎪⎩
ϕ = arctan
y
y x x
± π
für x > 0
für x < 0
(1. oder 4. Quadrant)
( 2. oder 3. Quadrant)
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
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1.3 Rechnen mit komplexen Zahlen:
z
iϕ1 iϕ2
1 = x1
+ iy1
= r1e
, z2
= x 2 + iy 2 = r2e
Addition und Subtraktion:
• Kartesische Form:
Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen in kartesischer Form erfolgt wie bei
Vektoren koordinatenweise.
± z = (x + iy ) ± (x + iy ) = (x + x ) ± i(y y )
z1 2 1 1 2 2 1 2 1 + 2
Multiplikation und Division:
• Kartesische Form:
Multiplikation: Einfaches Ausmultiplizieren
z1 ⋅ z2
= (x1
+ iy1)(x2
+ iy2
) = x1x
2 + ix1y
2 + iy1x2
+ i y1y
2 = (x1x
2 − y1y2
) + i(x1y
2 + x2y1)
Division: Nenner reell machen⇒ (Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des
Nenners)
z1
(x1
+ iy1)
(x1
+ iy1)(x
2 − iy2
) x1x
2 + y1y
2 x 2y1
− x1y
2
= =
= ... =
+ i
z (x + iy ) (x + iy )(x − iy )
2 2
2 2
x + y x + y
2
2
2
2
2
• Exponentialform:
Multiplikation: Beträge multiplizieren, Argumente addieren
z
1
⋅ z
2
= r e
1
iϕ
1 iϕ2
i( 1 2 )
r2e
r1r
2 e ϕ +ϕ
=
2
2
Bei der Multiplikation einer komplexen Zahl z mit der rein imaginären Zahl w = e
iα wird der
Zeiger von z um den Winkel α gedreht.
Division: Beträge dividieren, Argumente subtrahieren
z
z
iϕ
1 r1e
1
r1
i( ϕ1−ϕ2
)
= = e
iϕ2
2 r r
2e
2
Potenzen mit rationalen Hochzahlen:
• Exponentialform:
Potenzierung: Betrag potenzieren, Argument multiplizieren
z
k
= (re
iϕ
k
)
= r
k
e
ikϕ
Wurzeln aus komplexen Zahlen:
• Formel von Moivre
Für jede komplexe Zahl in Exponentialform w = re ≠ 0 hat die Gleichung z = w = re
genau n verschiedene Lösungen, nämlich die n n-ten Wurzeln aus w. Alle n-ten Wurzeln
erhält man durch potenzieren der kleinsten Wurzel – der Wurzel mit dem kleinsten
positiven Winkel. Alle n verschiedenen Wurzeln aus w liegen auf einem Kreis um den
Ursprung mit dem Radius n r . Sie bilden ein regelmäßiges n-Eck.
Diese n Wurzeln berechnet man wie folgt:
n
i( ϕ
+ 2
n
k ⋅ π
n
)
z = r ⋅ e mit k = 0,...,n −1
k
2
2
−1
iϕ
2
2
2
n
iϕ
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1.4 Rechnen mit Beträgen:
z
= x + iy =
z = re
iϕ
= r
x
2
mit
+ y
e
2
iϕ
= 1
Es gilt:
z
z z
+
1 1
1z
2 = z1
⋅ z2
, = mit z2
≠ 0, z1
+ z2
≤ z1
z2
z2
z2
z − w ist der Abstand der Punkte z und w in der Zahlenebene.
z − z0 = r Kreis mit Mittelpunkt z 0 und Radius r
1.5 Rechnen mit konjugiert komplexen Zahlen:
z + w = z + w,
z = z
z + z = 2x = 2Re(z)
z − z = i ⋅ 2y = i ⋅ 2Im(z)
zz =
z
2
⇒
z ⋅ w = z ⋅ w,
z
=
zz
⇔
z
w
Re(z) =
⇔
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
=
1
2
z
w
Im(z) = −
mit
(z + z)
i
2
w ≠ 0
(z − z)
1.6 Polynome mit komplexen Koeffizienten:
"Komplexe Zerlegung"
Fundamentalsatz der Algebra:
Jedes Polynom f (z)
mit komplexen Koeffizienten a ∈ C, i = 0,...,n ∈N,
a ≠ 0, z ∈ C der
2
Form f (z) = a0 + a1z
+ a2z
+ ... + anz
läßt sich als ein Produkt von n Linearfaktoren schreiben:
f(z)
= an(z
− b1)(z
− b2
) ⋅⋅⋅(z
− bn
)
Die komplexen Zahlen ∈ C, k = 1,...,n ∈N
sind die Nullstellen von f (z).
1.7 Polynome mit reellen Koeffizienten:
b k
n
"reelle Zerlegung"
Es gilt, da alle Koeffizienten reell sind: f (z) = f(z)
. Jedes Polynom f (z)
mit reellen
Koeffizienten ak
∈ R, i = 0,...,n ∈N,
an
≠ 0, z ∈ C der Form f (z) = a0 + a1z
+ a2z
+ ... + anz
läßt sich als ein Produkt von Linearfaktoren und/oder quadratischen Faktoren mit reellen
Koeffizienten schreiben, wobei die quadratischen Faktoren keine reellen Nullstellen haben
und folglich im Reellen nicht zerlegbar sind.
Hat das Polynom f (z)
mit reellen Koeffizienten eine Nullstelle b, so gilt:
f(b) = 0 ⇔ f(b) = 0 = 0 ⇔ f(b) = 0 ,
d.h. auch b ist Nullstelle und umgekehrt, da b = b ist. Diese beiden konjugiert komplexen
Nullstellen zusammengefaßt ergeben einen quadratischen Term mit reellen Koeffizienten:
(z − b)(z − b) = z
2
− (b + b)z + bb = z
2
− 2
⋅Re(b)
⋅ z + b
∈R
k
2
∈R
n
2
n
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