Ganzrationale Funktionen.pdf - gilligan-online

Aufgabe 1:
Es sei f (x)
t 2 3 2
(2x − 3tx ) + 1mit x ∈R,
t R \ { 0; 2}
= − gegeben. Bestimme die Extremwerte und
t ∈
2
t
den Wendepunkt. Für welche Werte von t ist der allen f t gemeinsame Extremwert ein Tiefpunkt?
Bestimme die Ortskurve des von t abhängigen Extremwerts.
Aufgabe 2:
2 2
t >
Es seien f (x) = 2t x − tx mit t 0 und
3
g (x) = x gegeben. Untersuche beide Funktionen auf
2
Symmetrie, Nullstellen und Wertemenge. f t und die x-Achse schließen für x ≥ 0 eine Fläche
mit der Maßzahl A ein. Zeige, dass das Schaubild von g diese Fläche in einem von t unabhängigen
Verhältnis teilt. Zeige, dass Ft
(x) = t x ⋅ x − x Stammfunktion von f t ist und bestimme
die gemeinsamen Punkte von F t und g in Abhängigkeit von t.
t
3
3
Aufgabe 3:
Es sei f (x)
1 4
x
8t 3 2 2
t = − x + 2t x mit t ∈R \ { 0}
gegeben. Untersuche die Funktion auf Extremund
Wendepunkte. Zeichne f 1 . Welche Funktionen f t haben genau einen Sattelpunkt? Bestim-
9 9
me die Gleichung der Ortskurve aller Sattelpunkte.
Aufgabe 4:
Es seien f(x)
1 3
x
3
2
+
= − + x und p (x) = ax +
7
x, mit a ∈R
32 2
a gegeben. Welche Parabel p
2
a berührt
die Kurve von f? Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen den beiden Kurven?
Aufgabe 5:
Zu jedem t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f (x)
1 4
x
3 2 2
tx
5
t = − + t mit x ∈R
.
8 2 2
Ihr Schaubild sei K. t
(a) Untersuche K t auf Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrem- und
Wendepunkte. Zeichne K 1 für − 4 ≤ x ≤ 4 .
(b) Bestimme die Ortskurve C aller Tiefpunkte. Zeichne C in das vorhandene Achsenkreuz ein.
2
(c) Bestimme a ( a ≠ 0 ) so, dass die Parabel P t mit der Gleichung p
1
a,t
(x) = ax − die Kurve
4t
K t in deren Wendepunkte schneidet.
Zeige:
K t und P t schneiden sich außer in den beiden Wendepunkten von K t in zwei weiteren Punkten.
Aufgabe 6:
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f (x)
1 4 2
x x
3
t = + − t mit x ∈R
.
2t
2
Ihr Schaubild sei K. t
(a) Untersuche K t auf Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrem- und
Wendepunkte. Zeichne K 1 für − 2 ≤ x ≤ 2.
(b) Zeige: Für t1,t
2 ∈ R
+ und t1
≠ t2
haben die zugehörigen Schaubilder keinen Punkt gemeinsam.
(c) Gib die Ortskurve der Wendepunkte an.
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
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Aufgabe 7:
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch
K. t
(a) Ermittle die Gleichung der Kurve C, auf der alle Tiefpunkte liegen.
(b) Begründe, warum es keine Kurve K gibt, die C senkrecht schneidet.
Aufgabe 8:
Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch
sei
(a)
K. t
P t sei diejenige Parabel zweiter Ordnung mit der Symmetrieachse
t
1
4
4
2
f (x) = x − tx mit x ∈R
. Ihr Schaubild sei
t
1
3
3
2
f (x) = x + t x − 3 mit x ∈R
. Ihr Schaubild
t
x = − 3 , die K
4 t im Wendepunkt
berührt. Bestimme die Gleichung der Parabel.
(b) Für welchen Wert von t hat der Inhalt des von der Wendetangente, der Normalen im Wendepunkt
und der x-Achse gebildeten Dreiecks ein Minimum? Führe den Nachweis des Minimums
ohne die zweite Ableitung durch.
Aufgabe 9:
Für jedes t ∈ R \ {} 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f (x)
1 3 2
x tx
1 2
t = − + t x; x ∈R
2
2
Ihr Schaubild sei K t
(a) Untersuche K t auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, Hoch-, Tief- und
Wendepunkte. Zeichne K 3 im Bereich − 1 ≤ x ≤ 4 sowie seine Wendetangente.
(b) Welche Kurve C bilden die Wendepunkte W t der Kurven K t für alle zugelassenen Werte
von t? Für welche Werte von t schneiden C und K t einander in W t senkrecht?
(c) Eine Parabel zweiter Ordnung P t geht durch die gemeinsamen Punkte von K t mit der x-
Achse und berührt K t im Ursprung. Weise durch Rechnung nach, dass K t und P t keine
weiteren gemeinsamen Punkte haben. K t teilt die von P t und der x-Achse eingeschlossene
Fläche. In welchem Verhältnis stehen die Inhalte der Teilflächen?
(d) Welche Beziehung muß zwischen t1 und t 2 ( t1
≠ t 2 ) bestehen, damit sich die Kurven
K t und K
1 t 2
im Ursprung berühren?
Zeige:
Zwei Kurven K t und K
1 t 2
, die sich nicht im Ursprung berühren, schneiden sich genau in zwei
Punkten.
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Aufgabe 10:
Gegeben seien die Funktionen f und p mit:
1 4 1 3 1 2 26
f(x) = − x + x + x − x + 2
30 5 10 15
11 2 23 17
p(x) = x − x +
30 15 10
(a) Zeige, dass f an den Stellen x1 = −3 und x 2 = 5 jeweils eine Nullstelle besitzt. Berechne die
restlichen Nullstellen. Bringe f auf Nullstellenform und mache eine qualitative Skizze. Führe
eine komplette Kurvendiskussion durch und verfeinere damit Deine Skizze.
(b) Begründe mit der Lage des Extremwerts, dass p keine Nullstellen hat und zeichne p in das
selbe Koordinatensystem ein. Bestimme die Gleichung der Tangente und Normalen an p an
der Stelle x 0 = 2. Die Tangente und die Normale bilden mit der x-Achse ein rechtwinkliges
Dreieck. Berechne dessen Flächeninhalt.
(c) Zeige, dass sich f und p an der Stelle x 3 = 3 berühren. Berechne die restlichen Schnittpunkte.
(d) Berechne die beiden Flächen, die f und p einschließen. In welchem Verhältnis stehen die
beiden Teilflächen zueinander?
Aufgabe 11:
Berechne das Flächenstück oberhalb der x-Achse, das von den Bildkurven zu den Funktionen
1 2
2 3
f(x) = − x + a und g(x) = −ax
+ a mit 0 < a < 1 begrenzt wird. Für welchen Wert von a hat
a
diese Fläche den größten Inhalt? Wie groß ist er? Fertige eine Skizze an!
Hinweis für eine Skizze:
3
Überlege zuerst was größer ist: a oder a für 0 < a < 1?
Aufgabe 11:
2
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen der Bildkurve zu f(x) = −x
+ 4x + 6 und der Geraden
g durch die Punkte A(
− 2 /?) und B(4 /?) auf der Bildkurve.
Aufgabe 12:
Berechne folgende Integrale:
0
−1
2
(a) ∫ ( 2 − x)dx
(b) ∫ dx
2
x
(c)
−5
3
−3
∫ x dx
(d) ∫ ⋅ xdx
1
1
x
−1
Was ist der Unterschied zwischen dem Wert eines Integrals und dem zugehörigen Flächeninhalt
der Funktion mit der x-Achse in denselben Grenzen? Was für eine wichtige Konsequenz
hat das für Flächenberechnungen?
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