Kurvendiskussion Logarithmusfunktionen.pdf - gilligan-online

Aufgabe:
x + 1
Untersuche die Funktion f(x)
= ln ,mit x ∈ D
2
f auf Definitionsbereich, Symmetrie,
x
Asymptoten, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Skizziere sie.
Lösung:
Berechnung der Ableitungen:
x + 1
2
f(x) = ln = ln(x + 1) − ln(x ) = ln(x + 1) − 2ln x
2
x
1 2 x + 2 x + 2
f′
(x) = − = − = −
x + 1 x 2
x + x x(x + 1)
1
f′′
(x) = −
(x + 1)
2
2
+
x
2
2
x
=
x
2
+ 4x + 2 (x + 2 −
=
2
(x + 1) x
2
2)(x + 2 +
(x + 1)
2
2)
Definitionsbereich:
x + 1
> 0 ⇔ x > −1∧
x ≠ 0 ⇒ D
2
x
Die Ränder sind also: -1, + ∞
f
=
{ x ∈ R x > −1∧
x ≠ 0}
Symmetrie:
− x + 1 − x + 1
f( − x) = ln = ln ≠ ± f(x) , also keine der bekannten Symmetrie.
2 2
( −x)
x
Asymptoten:
Verhalten an den Definitionsrändern:
Verhalten für x → +∞ :
x + 1
lim f(x) = lim ln → −∞
x→∞
x→∞
2
x
Verhalten für x →−∞:
lim
+
x→−1
f(x) =
lim
→0
+
x→−1
+
x + 1
ln → −∞
2
x
→0
+
Verhalten an der Definitionslücke und Nennernullstelle x 1 = 0 . Dies ist eine Nennernullstelle
zweiter (also gerader) Ordnung, was einen Pol ohne VZW liefert.
x + 1
lim f(x) = lim ln → +∞ ,
− −
x→0
x→0
2
x
→+∞
also ist an der Stelle x 1 = 0 ein Pol ohne VZW von + → + .
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
1 © j. gilg 04
gilligan

Nullstellen:
Bedingung: f (x) = 0
x +1 x +1
⇔ ln = 0 ⇔ = 1 ⇔
2
2
x x
x
2
=
1
2
+
5
2
, x
3
=
1
2
−
5
2
⇒ N
⇔ x
(
1
1 2
−
2
− x −1
= 0
5
2
/ 0),N
2
(
1
2
+
5
2
/ 0)
Hoch- und Tiefpunkte:
notwendige Bedingung: f ′(x)
= 0
⇔ x + 2 = 0 ⇒ x 4 = −2
∉Df
, also kein Extremwert
Wendepunkte:
notwendige Bedingung: f ′′(x)
= 0
⇔ x
⇒ x
2
6
+ 4x + 2 = 0 ⇒ x
= −2
+ 2
5
= −2
−
2 ∉D
, also kein Wendepunkt
f
hinreichende Bedingung über VZW der zweiten Ableitung:
Die Stelle x 6 = −2
+ 2 ist eine Nullstelle erster (also ungerader) Ordnung der zweiten
Ableitung, demnach liegt ein VZW vor.
< 0
> 0
(x + 2 − 2)(x + 2 + 2)
lim f ′′(x)
= lim
< 0
−
−
2 2
x→−2+
2
x→−2+
2 x
(x + 1)
> 0
Die zweite Ableitung macht an der Stelle x 6 = −2
+ 2 einen VZW von − → + , also einen
Übergang von einer Rechts- in eine Linkskurve, demnach liegt dort ein Wendepunkt.
−1+
2 1+
2
1+
2
f(x6
) = f( −2
+ 2) = ln
= ... = ln ≈ 0,188 ⇒ WP( −2
+ 2 / ln )
2
( 2 2)
2
2
− +
8
6
4
2
0
y
-2 0 2 4 6 8
-2
x
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