Kurvendiskussion Logarithmusfunktionen.pdf - gilligan-online

Nullstellen:
Bedingung: f (x) = 0
x +1 x +1
⇔ ln = 0 ⇔ = 1 ⇔
2
2
x x
x
2
=
1
2
+
5
2
, x
3
=
1
2
−
5
2
⇒ N
⇔ x
(
1
1 2
−
2
− x −1
= 0
5
2
/ 0),N
2
(
1
2
+
5
2
/ 0)
Hoch- und Tiefpunkte:
notwendige Bedingung: f ′(x)
= 0
⇔ x + 2 = 0 ⇒ x 4 = −2
∉Df
, also kein Extremwert
Wendepunkte:
notwendige Bedingung: f ′′(x)
= 0
⇔ x
⇒ x
2
6
+ 4x + 2 = 0 ⇒ x
= −2
+ 2
5
= −2
−
2 ∉D
, also kein Wendepunkt
f
hinreichende Bedingung über VZW der zweiten Ableitung:
Die Stelle x 6 = −2
+ 2 ist eine Nullstelle erster (also ungerader) Ordnung der zweiten
Ableitung, demnach liegt ein VZW vor.
< 0
> 0
(x + 2 − 2)(x + 2 + 2)
lim f ′′(x)
= lim
< 0
−
−
2 2
x→−2+
2
x→−2+
2 x
(x + 1)
> 0
Die zweite Ableitung macht an der Stelle x 6 = −2
+ 2 einen VZW von − → + , also einen
Übergang von einer Rechts- in eine Linkskurve, demnach liegt dort ein Wendepunkt.
−1+
2 1+
2
1+
2
f(x6
) = f( −2
+ 2) = ln
= ... = ln ≈ 0,188 ⇒ WP( −2
+ 2 / ln )
2
( 2 2)
2
2
− +
8
6
4
2
0
y
-2 0 2 4 6 8
-2
x
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