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1.3 Rechnen mit komplexen Zahlen:
z
iϕ1 iϕ2
1 = x1
+ iy1
= r1e
, z2
= x 2 + iy 2 = r2e
Addition und Subtraktion:
• Kartesische Form:
Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen in kartesischer Form erfolgt wie bei
Vektoren koordinatenweise.
± z = (x + iy ) ± (x + iy ) = (x + x ) ± i(y y )
z1 2 1 1 2 2 1 2 1 + 2
Multiplikation und Division:
• Kartesische Form:
Multiplikation: Einfaches Ausmultiplizieren
z1 ⋅ z2
= (x1
+ iy1)(x2
+ iy2
) = x1x
2 + ix1y
2 + iy1x2
+ i y1y
2 = (x1x
2 − y1y2
) + i(x1y
2 + x2y1)
Division: Nenner reell machen⇒ (Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des
Nenners)
z1
(x1
+ iy1)
(x1
+ iy1)(x
2 − iy2
) x1x
2 + y1y
2 x 2y1
− x1y
2
= =
= ... =
+ i
z (x + iy ) (x + iy )(x − iy )
2 2
2 2
x + y x + y
2
2
2
2
2
• Exponentialform:
Multiplikation: Beträge multiplizieren, Argumente addieren
z
1
⋅ z
2
= r e
1
iϕ
1 iϕ2
i( 1 2 )
r2e
r1r
2 e ϕ +ϕ
=
2
2
Bei der Multiplikation einer komplexen Zahl z mit der rein imaginären Zahl w = e
iα wird der
Zeiger von z um den Winkel α gedreht.
Division: Beträge dividieren, Argumente subtrahieren
z
z
iϕ
1 r1e
1
r1
i( ϕ1−ϕ2
)
= = e
iϕ2
2 r r
2e
2
Potenzen mit rationalen Hochzahlen:
• Exponentialform:
Potenzierung: Betrag potenzieren, Argument multiplizieren
z
k
= (re
iϕ
k
)
= r
k
e
ikϕ
Wurzeln aus komplexen Zahlen:
• Formel von Moivre
Für jede komplexe Zahl in Exponentialform w = re ≠ 0 hat die Gleichung z = w = re
genau n verschiedene Lösungen, nämlich die n n-ten Wurzeln aus w. Alle n-ten Wurzeln
erhält man durch potenzieren der kleinsten Wurzel – der Wurzel mit dem kleinsten
positiven Winkel. Alle n verschiedenen Wurzeln aus w liegen auf einem Kreis um den
Ursprung mit dem Radius n r . Sie bilden ein regelmäßiges n-Eck.
Diese n Wurzeln berechnet man wie folgt:
n
i( ϕ
+ 2
n
k ⋅ π
n
)
z = r ⋅ e mit k = 0,...,n −1
k
2
2
−1
iϕ
2
2
2
n
iϕ
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