Kurzskript zur elementaren Zahlentheorie und RSA - Institut für ...

12 3 DAS RSA-VERFAHREN
(1) Alice wählt zufällig zwei verschiedene Primzahlen p und q im Intervall
[⌈2 n−1
2 ⌉, ⌊2 n 2 ⌋].
(2) Sie berechnet N := p · q und ϕ(N) = (p − 1) · (q − 1).
(3) Dann wählt sie e ∈ R {2, . . . , ϕ(N) − 2} mit ggT(e, ϕ(N)) = 1.
(4) Alice bestimmt d mit e · d ≡ 1 mod ϕ(N).
(5) Schließlich veröffentlicht sie K := (N, e) als ihren öffentlichen Schlüssel
und hält das Paar S := (N, d) geheim.
(6) Die Werte p, q und ϕ(N) löscht Alice.
Angenommen Bob möchte an Alice die Nachricht x mit x ∈ {0, . . . , N − 1}
schicken:
(7) Bob berechnet y := x e mod N und schickt y an Alice.
Alice kann dann die Nachricht y wie folgt entschlüsseln:
(8) Alice berechnet x ⋆ := y d mod N.
Dann gilt x ⋆ = x.
Beweis. (Korrektheit) Wir müssen x ⋆ = x zeigen. Ist x ∈ Z × N
, so folgt die
Behauptung unmittelbar aus dem Satz von Euler 2.8 und e · d ≡ 1 mod ϕ(N),
denn ist e · d − 1 = k · ϕ(N) für ein k ∈ N, so folgt: x ⋆ ≡ x e·d ≡ x e·d−1 ·
x ≡ (x ϕ(N) ) k · x ≡ 1 · x ≡ x mod N. Für ein allgemeines x ∈ Z N gilt ebenso
x e·d ≡ x e·d−1 · x ≡ x k·ϕ(N) · x ≡ x k·(p−1)·(q−1) · x mod N. Wir erhalten also x e·d ≡
(x (p−1) ) k·(q−1) · x ≡ x mod p und x e·d ≡ (x (q−1) ) k·(p−1) · x ≡ x mod q, wobei die
Identitäten für x ≡ 0 mod p und x ≡ 0 mod q trivialerweise richtig sind und für
x ≢ 0 mod p und x ≢ 0 mod q aus dem kleinen Satz von Fermat 2.9 folgen. Da
p und q teilerfremd sind und beide x e·d − x teilen, folgt auch N | x e·d − x, also
x e·d − x ≡ 0 mod N und damit die Behauptung.
Beispiel 3.2. Betrachten wir die Primzahlen
p = 13 und q = 7,
so ergibt sich in der Notation von oben:
N = 91.