Kurzskript zur elementaren Zahlentheorie und RSA - Institut für ...

4.3 Aufgabe 19: (Einheiten, Nullteiler und Partitionen) 15
Einheiten. Diese Zahl stimmt natürlich mit ϕ(p k ) überein, d.h. mit anderen Worten
haben wir gezeigt, dass gilt:
ϕ(p k ) = (p − 1) · p k−1 .
4.3 Aufgabe 19: (Einheiten, Nullteiler und Partitionen)
Sei m ∈ N, m ≥ 2. Es sei ferner N (Z m ) die Menge aller Nullteiler von Z m .
Zeigen Sie, dass {N (Z m ), Z × m} eine Partition von Z m ist.
Musterlösung:
Wäre Z × m ∩ N (Z m ) ≠ ∅, so gäbe es ein Element [a] m ∈ Z m mit [a] m ∈ Z × m und
[a] m ∈ N (Z m ). Dann ist dieses Element verschieden von [0] m , da [0] m /∈ Z × m. Wegen
[a] m ∈ Z × m gibt es ein [b] m ∈ Z × m mit [1] m = [a] m · [b] m . Ferner gibt es wegen [a] m ∈
N (Z m ) ein [n] m ∈ N (Z m ), [n] m ≠ [0] m , mit 0 = [n] m · [a] m . Multiplikation von
[1] m = [a] m · [b] m mit [n] m liefert:
[n] m = [n] m · [a] m · [b] m = ([n] m · [a] m
} {{ }
=[0] m
) · [b] m = [0] m .
Widerspruch zu [n] m ≠ [0] m . Also folgt Z × m ∩ N (Z m ) = ∅.
Um zu zeigen, dass Z m = Z × m ∪ N (Z m ) gilt, genügt es zu zeigen, dass jedes bezüglich
der Multiplikation in Z m nicht invertierbare Element ein Nullteiler von Z m ist. Sei
[x] m ∈ Z m \ Z × m, 0 ≤ x ≤ m − 1. Ist [x] m = [0] m , so ist [x] m ein Nullteiler. Ist [x] m ≠
[0] m , so gibt es einen echten Teiler g > 1 mit g | x und g | m (wäre ggT(x, m) = 1, so
wäre [x] m ja invertierbar, also ein Element von Z × m). Dann gibt es k, l ∈ {2, . . . , m−1}
mit m = k · g und x = l · g. Es folgt:
k · x ≡ m k · (l · g) ≡ m (k · g) · l ≡
}{{} m m · l ≡ m 0.
=m
Wegen k ∈ {2, . . . , m − 1}, folgt [k] m ≠ [0] m . Damit ist aber [x] m ein Nullteiler von
Z m . Dies zeigt die Behauptung.
4.4 Aufgabe 20: (Satz von Wilson)
Sei p eine Primzahl.
(i) Bestimmen Sie alle x ∈ {0, 1, 2, . . . , p − 1} für die p ein Teiler von x 2 − 1
ist.