Kurzskript zur elementaren Zahlentheorie und RSA - Institut für ...

14 4 AUSGEWÄHLTE ÜBUNGSAUFGABEN MIT LÖSUNGEN
4.1 Aufgabe 16: (Primfaktoren)
Es sei n ∈ N keine Primzahl. Zeigen Sie, dass es eine Primzahl p gibt mit p | n
und p ≤ ⌈ √ n ⌉. Dabei bezeichnet ⌈a⌉ für eine beliebige reelle Zahl a die kleinste
ganze Zahl g, so dass g ≥ a gilt (“Aufrunden” auf die nächst größere ganze Zahl).
Musterlösung:
Da n keine Primzahl ist, gibt es a und b mit 1 < a, b < n und n = a · b. Nach dem
Satz über die Primfaktorzerlegung gibt es Primzahlen p 1 und p 2 mit p 1 | a und p 2 | b.
Wären p 1 , p 2 > ⌈ √ n ⌉, so folgte ⌈ √ n ⌉ 2 < p 1 · p 2 ≤ a · b = n. Andererseits ist aber
n 2 ≤ ⌈ √ n ⌉ 2 , was einen Widerspruch ergibt. Also ist p 1 oder p 2 kleiner oder gleich
⌈ √ n ⌉.
4.2 Aufgabe 17: (Restklassen modulo Primpotenzen)
Es sei p eine Primzahl und k ∈ N. Wir betrachten die Menge der Restklassen
Z p k. Zu a ∈ {0, 1, 2, . . . , p k − 1} sei
α 0 + α 1 · p + . . . + α k−1 · p k−1
die p-adische Darstellung der Zahl a (also insbesondere α i ∈ {0, 1, 2, . . . , p − 1}
für alle i). Man nennt a eine Einheit modulo p k , wenn a und p k teilerfremd sind,
d.h. wenn ggT(a, p k ) = 1 gilt.
(i) Zeigen Sie, dass a genau dann eine Einheit modulo p k ist, wenn α 0 ≠ 0
gilt.
(ii) Wie viele solcher Einheiten gibt es in Z p k? Begründen Sie Ihre Antwort
schlüssig.
Musterlösung:
(i) Es ist a genau dann eine Einheit modulo p, wenn ggT(a, p) ≥ p. Dies ist aber
genau dann der Fall, wenn für a = α 0 + α 1 · p + . . . + α k−1 · p k−1 gilt, dass α 0 ≠ 0 ist.
(ii) Nach Teil (i) wissen wir, dass a genau dann eine Einheit modulo p ist, wenn
α 0 ≠ 0 gilt. Die Zahlen α 1 , . . . , α k−1 aus der p-adischen Zahldarstellung von a können
wir also beliebig aus der Menge {0, 1, 2, . . . , p − 1} wählen und erhalten mit
α 0 + α 1 · p + . . . + α k−1 · p k−1
immer eine Einheit modulo p, sofern nur α 0 ≠ 0 gilt. Daher gibt es genau
(p − 1) · p · . . . · p = (p − 1) · p k−1
} {{ }
(k−1)-mal