Kurzskript zur elementaren Zahlentheorie und RSA - Institut für ...

4 1 GRUNDLAGEN
Lemma 1.5. Seien a, b, c ∈ Z. Dann gilt:
(i) ggT(a, b) = |a| genau dann, wenn a | b.
(ii) ggT(a, a) = ggT(a, 0) = |a| und ggT(a, 1) = 1.
(iii) Kommutativität: ggT(a, b) = ggT(b, a).
(iv) Assoziativität: ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c).
(v) Distributivität: ggT(c · a, c · b) = |c| · ggT(a, b).
(vi) Gilt |a| = |b|, so folgt stets ggT(a, c) = ggT(b, c).
(vii) Ist g = ggT(a, b), g > 0, so existieren s, t ∈ Z mit g = s · a + t · b.
Die Darstellung Lemma 1.5 (vii) liefert der Erweiterte Euklidische Algorithmus,
der in einem beliebigen euklidischen Ring durchgeführt werden kann. Wir geben
ihn der Einfachheit halber nur für ganze Zahlen an. Die hier vorgestellte Version
kann aber leicht in eine Version für Polynome “umgeschrieben” werden, wenn
man die entsprechenden Ungleichungen als Ungleichungen über den Grad der
betrachteten Polynome interpretiert.
Vorab aber noch ein kleines Lemma, das uns beim Beweis der Korrektheit des
Algorithmus sehr nützlich sein wird:
Lemma 1.6. Seien a, b ∈ Z. Dann gilt: ggT(a, b) = ggT(a mod b, b).
Beweis. Division mit Rest liefert a = q · b + (a mod b). Es gilt: ggT(a, b) teilt
sowohl a als auch b, also auch a mod b = a − q · b und damit ggT(a mod b, b).
Umgekehrt teilt ggT(a mod b, b) sowohl a mod b als auch b und damit auch a = q·
b + (a mod b). Wir erhalten also ggT(a, b) | ggT(a mod b, b) und ggT(a mod b, b) |
ggT(a, b). Daraus folgt die Behauptung.
Algorithmus 1.7. (Erweiterter Euklidischer Algorithmus (EEA)) Seien
a, b ∈ Z mit |a| ≥ |b|.
(1) Setze r 0 := a, r 1 := b, s 0 := 1, s 1 := 0, t 0 := 0, t 1 := 1 und i := 1.
(2) Wiederhole den folgenden Schritt, bis r l+1 = 0 gilt für ein l ∈ N 0 :
Berechne q i := r i−1 quot r i als ganzzahligen Quotienten von r i−1 und
r i .
r i+1 := r i−1 − q i · r i (d.h. r i+1 = r i−1 mod r i )