Kurzskript zur elementaren Zahlentheorie und RSA - Institut für ...

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Vorbemerkung
Bei den vorliegenden Notizen handelt es sich um einen Auszug aus einem Skript
über elementare Kryptographie. Diese Notizen wurden also nicht explizit für die
Vorlesung “Mathematik für Informatiker I” geschrieben, sondern entstammen
einem teilweise allgemeineren Kontext.
Die hier angeführten Argumentationen und Beweise zur Begründung der
Korrektheit bestimmter Beispiele und/oder Resultate sind zum Teil von
Prof. Dr. Henning Krause im Rahmen der Vorlesung in der vorliegenden
Form oder Notation nicht behandelt worden. Ferner erheben diese Notizen
keinen Anspruch darauf, Algorithmen wie etwas den Erweiterten Euklidischen
Algorithmus oder das Wiederholte Quadriere (“Repeated Squaring”) exakt
in der Form darzustellen, wie die Resultate auf den Folien der Vorlesung von
Prof. Dr. Henning Krause zu finden sind. Daher ist das Studium des Inhalts
dieses Kurzskripts auch nicht relevant für die anstehenden Prüfungsklausuren
im eigentlichen Sinne.
Es ist lediglich so, dass die vorliegenden Notizen als Ergänzung zu der Zusatzübung
Elementare Zahlentheorie vom 13.02.2007 gedacht sind. Wer also
gerne noch einmal bestimmte Resultate in Form eines Fließtextes wiederholen
möchte, kann dieses Kurzskript (auch unter Auslassen der hier angegebenen Beweise)
noch einmal zu Wiederholungszwecken nutzen. Fassen Sie diese Notizen
also einfach als optionales Bonusmaterial auf.
1 Grundlagen
1.1 “Repeated Squaring” (Effizientes Potenzieren)
In einer Reihe kryptographischer Verfahren ist es von essentieller Wichtigkeit,
dass man effizient auch große Potenzen von Gruppenelementen berechnen kann.
Das in diesem Abschnitt kurz vorgestellte Verfahren kann universell in einer
beliebigen Gruppe G verwendet werden, um x k für ein Element x ∈ G und k ∈ N
zu berechnen. Aus diesem Grund geben wir den Algorithmus zur Berechnung
solcher Potenzen auch zunächst in sehr allgemeiner Form an.
Algorithmus 1.1. (“Repeated Squaring”) Sei G eine Gruppe, x ∈ G und
k ∈ N. Ferner sei k = ∑ n−1
i=0 k i · 2 i die Binärdarstellung der Zahl k mit k n−1 = 1.
(1) Setze y := x.