Kurzskript zur elementaren Zahlentheorie und RSA - Institut für ...

6 1 GRUNDLAGEN
i = 2
q 2 = r 1 quot r 2 = 35 quot 21 = 1
r 3 = r 1 − q 2 · r 2 = 35 − 1 · 21 = 14
s 3 = s 1 − q 2 · s 2 = 0 − 1 · 1 = −1
t 3 = t 1 − q 2 · t 2 = 1 − 1 · (−3) = 4
i = 3
q 3 = r 2 quot r 3 = 21 quot 16 = 1
r 4 = r 2 − q 3 · r 3 = 21 − 1 · 14 = 7
s 4 = s 2 − q 3 · s 3 = 1 − 1 · (−1) = 2
t 4 = t 2 − q 3 · t 3 = −3 − 1 · 4 = −7
i = 4
q 4 = r 3 quot r 4 = 14 quot 7 = 2
r 5 = r 3 − q 4 · r 4 = 14 − 2 · 7 = 0
Damit folgt: ggT(126, 35) = r 4 = 7 und 7 = 2 · 126 + (−7) · 35.
1.3 Restklassenringe und modulares Rechnen
Restklassenringe ganzer Zahlen sind für uns die algebraische Struktur, in der
wir später in kryptographischen Verfahren rechnen wollen. Grundlegend ist die
folgende Definition.
Bemerkung und Definition 1.9. Sei N ∈ N, N ≥ 2. Auf dem Ring der
ganzen Zahlen Z definieren wir die Relation ∼ N vermöge
a ∼ N b :⇐⇒ N | a − b.
Die Relation ∼ N ist eine Äquivalenzrelation, so dass wir die Äquivalenzklassen
nach ∼ N betrachten können. Die Klasse von a ∈ Z modulo N definieren wir als
a mod N := [a] N := {b ∈ Z | b ∼ N a}.