Fehlerrechnung - Gymnasium Gerlingen

Robert-Bosch-Gymnasium
Physik (2-/4-stÉndig), NGO
Praktikum
Fehlerrechnung
Skript zur Fehlerrechnung beim Praktikum
A. PfÄnder
3.2.2011
Seite - 1 -
EinfÄhrung in die Fehlerrechnung
Jede Messung ist grundsÄtzlich mit einem Messfehler behaftet ("wer misst, misst Mist...."); der "wahre Wert"
einer physikalischen GrÅÇe ist grundsÄtzlich unbekannt.
Fehlerarten
a) systematische Fehler:
sie verfÄlschen den (stets unbekannten) wahren Wert immer in dieselbe Richtung (es wird also z.B. immer ein
zu groÇer Wert gemessen); sie kÅnnen durch genaue Analyse des Messverfahrens entdeckt und prinzipiell vermieden
oder durch geeignete GegenmaÇnahmen ausgeglichen, kompensiert werden.
z. B. es wird eine LÄngenmessung stets mit einem MaÅstab ausgefÇhrt, der nicht bei 0 cm, sondern
erst bei 1 cm beginnt; alle Messwerte sind dann um 1 cm zu groÅ; der Fehler am MaÅstab kann
durch genaue Betrachtung leicht erkannt werden.
z. B. es wird mit einem Ohmschen Widerstand eine Messung ausgefÇhrt; der Aufdruck betrÄgt 100
, der tatsÄchliche Widerstandswert betrÄgt aber nur 95. Es wird zunÄchst davon ausgegangen,
dass der Aufdruck "wahr" ist....
z. B. es wird bei einem Fahrbahnversuch die Reibung vernachlÄssigt; sie ist aber grundsÄtzlich stets
vorhanden.
z. B. es wird bei einem Schwingungsversuch mit einem Federpendel die Federmasse nicht berÇcksichtigt....
b) zufÄllige Fehler:
ergeben sich durch die normale Streuung der Messwerte bei wiederholter Messung aufgrund zufÄlliger StÅrfaktoren.
z. B. ErschÇtterungen, Temperaturschwankungen, Spannungsschwankungen (bei Stromversorgungen),
Ableseungenauigkeiten bei (Analog-)MeÅinstrumenten, Quantisierungsfehler (bei DigitalmessgerÄten).
ZufÄllige Fehler kann man zwar gering halten, aber grundsÄtzlich nie ganz ausschalten.

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Durch Mehrfachmessungen lÄsst sich der Einfluss zufÄlliger Fehler auf den Messwert verringern. Die Fehlerrechnung
hilft dabei, aus den zufÄllig streuenden Messwerten auf den wahren Wert RÉckschlÉsse zu ziehen
und Éber die VerlÄsslichkeit der Messung insgesamt Hinweise (AbschÄtzungen) zu geben.
Durch die Fehlerrechnung kÅnnen zufÄllige Fehler weitgehend ausgeglichen werden, systematische Fehler sind
durch die Fehlerrechnung aber nicht identifizier- und behebbar.
Mittelwert und Standardabweichung; absoluter und relativer Fehler
Mittelwert einer MessgrÅÇe
Beispiel: Messung der LÄnge eines Tisches:
Messung Nr. (i)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Messwert l i / m
2,03
2,05
1,98
2,00
2,05
2,01
1,99
2,04
2,03
2,04
Da durch zufÄllige Fehler der Messwert etwa gleich oft nach oben wie nach unten vom wahren Wert abweicht,
betrachtet man als die bestmÅgliche SchÄtzung des unbekannten "wahren" Wertes das sogenannte arithmetische
Mittel aller MeÇwerte:
x 1 n
hier also:
l 1
10
n
x i
i1
10
l i .... 2, 022 m
i1

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Aufgrund dieser Definition des Mittelwertes ist die Summe aller Abweichungen der Einzelmesswerte vom Mittelwert
bei sehr vielen Messwerten gerade Null (die Abweichungen haben positives und negatives Vorzeichen):
n
x i n
i1
i1
x i x 0
falls x i x x i x 0
falls x i x x i x 0
Hinweis: je mehr Messungen gemacht werden, desto nÄher liegt der Mittelwert dem "wahren" Wert.
Varianz (Abweichung, Streuung; die Definition geht auf GauÇ zurÉck)
Die Abweichungen der Einzelmesswerte vom arithmetischen Mittelwert sind umso geringer, je zuver-
lÄssiger die Messung ist und umgekehrt. Eine kleine Varianz deutet auf eine gute Messung hin und umgekehrt.
x i x
Definition der Varianz (nach GauÇ):
Die Varianz (s 2 ) ist die Summe der Quadrate der Abweichungen der Einzelmessungen vom Mittelwert, dividiert
durch die um eins verminderte Zahl der Einzelmessungen.
Durch das Quadrieren erhÄlt man nur positive Werte, wÄhrend die Abweichungen selbst sich wegen des unterschiedlichen
Vorzeichens ja gegenseitig kompensieren. Durch das Quadrieren fallen zudem kleinere Abweichungen
fÉr die Varianz weniger ins Gewicht als starke Abweichungen. Das ist auch gut so fÉr die
AbschÄtzung der VerlÄsslichkeit einer Messung: sie ist gut, wenn die meisten Messwerte wenig vom Mittelwert
abweichen und "grobe AusreiÇer" selten vorkommen. Kommen sie dagegen vor, mÉssen sie stark zu Buche
schlagen.
Der Faktor 1/(n-1) ist bei kleinem n (also z. B. n = 2) viel grÅÇer (nÄmlich 1) als der Faktor 1/n (der wÄre nur
1/2). Bei groÇem n ist 1/(n-1) dagegen annÄhernd dasselbe wie 1/n; d. h. bei wenigen Messungen erhÄlt die Varianz
einen Éberproportional groÇen Wert, was ja auch der Absicht entspricht.
Also ist die Varianz wirklich ein gutes MaÇ fÉr die ZuverlÄssigkeit (QualitÄt) einer Messung.

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Beispiel:
Nr.
l i /m
l i
l
l i l
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,03
2,05
1,98
2,00
2,05
2,01
1,99
2,04
2,03
2,04
0,01
0,03
0,04
0,02
0,03
0,01
0,03
0,02
0,01
0,02
1•10 -4
9•10 -4
16•10 -4
4•10 -4
9•10 -4
1•10 -4
9• 10 -4
4•10 -4
1•10 -4
4•10 -4
Varianz: s 2 1
n1
n
(x i x) 2
i1
10
1
101 i1
l i
l
2
1
9 5, 8 10 3 m 2
s 2 6, 45 10 4 m 2
Die Standardabweichung:
Da die Varianz nicht die Einheit (und auch nicht die Dimension) der MessgrÅÇe, sondern deren Quadrates hat,
bildet man die Wurzel aus s 2 und erhÄlt sodann die Standardabweichung s:
s s 2 hier 6, 45 10 4 m 2 2, 54 10 2 m
allgemein gilt also fÉr die Standardabweichung s:

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s
1
n1
n
(x i x) 2
i1
1
n1
n
(x i x) 2
i1
Das Ergebnis der Beispielmessung ist demnach:
x x s
hier speziell:
l l s
also:
l 2, 02 m 0, 02 m (also 2, 00 m l 2, 04 m )
s ist dabei der absolute Fehler bei der Angabe der gemessenen GrÅÇe. Der relative (prozentuale) Fehler lÄsst
sich jetzt auch sehr einfach berechnen, indem man durch den Mittelwert der gemessenen GrÅÇe dividiert (und
mit 100% mal nimmt); er betrÄgt:
s
l
100%
hier also:
0,02 m
2,02 m 100% 0, 99% 1%
also kann man das Messergebnis auch so angeben:
l 2, 02 m 1%
Jedes Messergebnis in den Naturwissenschaften ist grundsÄtzlich stets nur zusammen mit der Angabe des
VerlÄsslichkeits- (Genauigkeits-)Intervalls aussagekrÄftig bzw. Éberhaupt sinnvoll.

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Hinweis:
Anzahl gÉltiger Ziffern bei der Genauigkeitsangabe einer MessgrÅÇe:
Wird z. B. die LÄnge x eines Tisches gemessen, so kann man folgende Angaben machen:
a) x = 1,2 m
b) x = 1,20 m
c) x = 1,204m
Das bedeutet:
a) Der Tisch wurde mit einem MaÇstab gemessen, der in Dezimeter eingeteilt ist (Zehntels-Meter); es
wurde abgelesen, dass der Tisch einen ganzen und zwei zehntel Meter lang ist. Der Messwert kÅnnte
gerundet sein; die Angabe 1,2 m bedeutet also, dass der Tisch nicht 1,1 m lang war und auch nicht 1,3
m lang, sondern zwischen diesen Werten liegt. Die Messung ist also "auf einen Dezimeter genau".
b) Es wurde ein MaÇstab verwendet, mit dem man Zentimeter ablesen kann. Es wurden 120 cm gemessen,
nicht 119 cm und auch nicht 121 cm. Die Angabe 120 cm bzw. 1,20 m bedeutet, dass auch gerundet
worden sein kann. Der Tisch ist zwischen 1,204 m und 1,195 m lang; im ersten Fall wÄre ab- im zweiten
aufgerundet worden. Die Messung ist also "auf einen Zentimeter genau"
c) Nun wurde ein MaÇstab verwendet, mit dem man noch die Millimeter ablesen kann. Nach Rundung
liegt die LÄnge des Tisches also zwischen 1,2044 m und 1,2035 m. Die Messung ist also auf einen Millimeter
genau".
Am besten gibt man Messergebnisse, d. h. die Messwerte, in der wissenschaftlichen Schreibweise an: mit einer
Mantisse und einem dekadischen Exponenten:
z. B.:
1,24 Ö10 3 m
3,75 Ö10 -4 A
4,0761 Ö10 6 V

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Ñbung: schreibe nachfolgende Werte um:
0,00897 m =
1240 A =
2,3760 cm =
Wo liegt der Unterschied:
0,23 m
0,230 m
und
1,2 m
1,20 m
1,200 m

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Fehler-Fortpflanzung bei der Berechnung abgeleiteter GrÅÇen / exakte Methode
Fehlerfortpflanzung bei Addition / Subtraktion
Oft ist eine zusammengesetzte (abgeleitete) physikalische GrÅÇe aus gemessenen GrÅÇen zu bilden.
z. B.: aus einer gemessenen Wegstrecke und einem gestoppten Zeitintervall ist die gefahrene
Geschwindigkeit zu ermitteln.
Die Fehler der EinzelgrÅÇen seien bekannt. Dann kann man ermitteln, wie groÇ der Fehler bei der errechneten
abgeleiteten GrÅÇe wird.
Beispiel: Umfangsbestimmung einer FlÄche durch LÄngen- und Breitenmessung:
l 40, 2 cm 0, 4 cm; relativer Fehler : 1%
b 20, 0 cm 0, 3 cm; relativer Fehler : 1, 5%
U 2 l 2 b
U
2 l b
Kleinster Wert:
U
2 min
39, 8 19, 7 cm 59, 5 cm
GrÅÇter Wert: U 2 max
40,6 20,3 cm 60,9cm
also:
U
2 60,2 cm 0,7 cm
d. h.: die absoluten Fehler in beiden EinzelmeÇwerten l und b haben sich bei der Bestimmung der abgeleiteten
GrÅÇe addiert (0,4 cm + 0,3 cm = 0,7 cm).

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Bei Addition und Subtraktion fehlerbehafteter physikalischer GrÅÇen addieren sich die Absolutfehler.
Bei Differenzen kann der Relativfehler dadurch sehr stark zunehmen (dann, wenn die Differenz sehr
klein ist, weil die subtrahierten Werte nahe beieinander liegen)!
Allgemein: Der Wert einer abgeleiteten GrÅÇe kann demnach niemals genauer sein als die ungenaueste
(Einzel-)Messung einer darin verarbeiteten GrÅÇe. 1
Fehlerfortpflanzung bei Multiplikation / Division
Beispiel: FlÄchenbestimmung aus der Messung von LÄnge und Breite (Messwerte wie oben!):
A l b
also:
minimaler Wert: A min 39, 8 19, 7 cm 2 784, 1 cm 2
maximaler Wert: A max 40, 6 20, 3 cm 2 824, 2 cm 2
also:
A 804, 2 20, 04 cm 2
Relativer Fehler: 2,5 %
d. h. die relativen Fehler (1% und 1,5 %) haben sich addiert.
1
Wer also nach Bildung eines Quotienten aus den Messwert 1,00 und 3,00 zweier GrÄÅen das Ergebnis (des
Taschenrechners) mit 1,33333 angibt, zeigt damit nicht, dass er besonders genau gerechnet (oder gar gemessen),
sondern dass er die Fehlerrechnung nicht kapiert hat. Das Ergebnis kann nicht auf mehr Stellen genau
angegeben werden, als die Einzelmesswerte bzw. der am ungenauesten gemessene Einzelwert (hier: drei
gÇltige Ziffern; Ergebnis also: 1,33).

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Bei Multiplikation und Division fehlerbehafteter physikalischer GrÅÇen addieren sich die
Relativfehler.
Beim Quadrieren verdoppelt sich der relative Fehler, beim Radizieren (Wurzelziehen) halbiert er sich.
Allgemeine Regeln zur Fehler-Fortpflanzung:
Berechnung des Fehlers nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz aus zwei MessgrÅÇen x 1 und x 2 . C steht dabei fÉr
eine beliebige Konstante. x 1 und x 2 sowie x stehen fÉr die Mittelwerte der GrÅÇen x 1 , x 2 und x; sowie
x 1 , x 2 und x fÉr den mittleren Fehler der jeweiligen GrÅÇe.
Term
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
gesuchte abgeleitete
GrÅÇe
x C x 1 x 2
x C x 1 x 2
x C x 1 x 2
x C x 1
x 2
absoluter Fehler
x C x 1 x 2
x Cx 2 x 1 x 1 x 2
x C x 2x 1 x 1 x 2
2
x 2
relativer Fehler
x
x x 1x 2
x 1 x 2
x
x x 1x 2
x 1 x 2
x
x x 1
x 1
x 2
x 2
2
Potenz
x n x 1
x C (x x C n (x 1 ) n1 1 ) n
x 1
x 1
Bemerkung: Die Regel fÉr die Potenz lÄsst sich auch bei gebrochenem Exponenten wie z. B. bei Wurzeltermen
anwenden:
a a 1 2 ,also : n
1
2
x
2
Der Wert dieses Ausdruckes wird sehr groÅ, wenn die Differenz im Nenner klein wird!

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Vorschlag zur Vereinfachung:
Aus den Mittelwerten der einzelnen physikalischen GrÅÇen wird zunÄchst die abgeleitete GrÅÇe gebildet x ( ).
Dann wird zu jeder EinzelgrÅÇe der Messung (nicht abgeleitete GrÅÇen) die Standardabweichung s des Mittelwertes
a) dazuaddiert b) abgezogen, bzw.: bei einer Division zum Erhalt der abgeleiteten GrÅÇe im ZÄhler zuaddiert
und im Nenner subtrahiert und so ein Maximalwert von x und (durch Subtraktion im ZÄhler und
Addition im Nenner) ein Minimalwert von x gebildet: x min bzw. x max .
Dann wird der prozentuale Fehler der Abweichung nach oben
x max x
x
und nach unten
xx min
x
gebildet und der Messwert anschlieÇend so angegeben:
x Fehler oben / Fehler unten
Ausgleichsrechnung und Regressionsgerade
In der Physik ergeben sich oft lineare ZusammenhÄnge
zwischen den GrÅÇen (ProportionalitÄten)
oder die ZusammenhÄnge lassen
sich durch math. Umformungen linearisieren
(z. B. kann man bei einer ProportionalitÄt
in der graphischen Darstellung das
x y 2
Quadrat von y Éber x auftragen), so dass
man in einer graphischen Darstellung (Graph
der Funktion) wieder eine Gerade erhÄlt:
y x
bzw.
y m x bzw. y m x a
x
x
y i
x
x
x
y(x )
i
x
xx
•
x i
y 2
y 1
x 1
x 2
x
Vermutete Gerade:
y(x) = m x + a
Die Messwertepaare (y i ; x i ) lassen sich auch in einem Diagramm graphisch als Punkte darstellen (siehe Bild
rechts).

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Die Messwerte bzw. ihre graphischen Manifestationen streuen um die sich vermutlich ergebende Gerade. Bei
der Konstruktion geht man natÉrlich gerade umgekehrt vor: man trÄgt die Messwerte in das Schaubild ein und
legt dann eine sog. Ausgleichsgerade so durch die Messwerte, dass deren Entfernung von der Geraden mÅglichst
gering sind und sich "AusreiÇer" nach oben und unter mÅglichst in ihren Entfernungen zur Geraden kompensieren.
Diese Ausgleichsgerade lÄsst sich in ihrem Verlauf nicht nur graphisch "schÄtzen", sondern nach dem GauÇschen
Verfahren der kleinsten Quadrate auch berechnen. Nach diesem Vorgehen muss die Gerade so liegen,
dass die Summe der Quadrate der AbstÄnde (y i - y(x i )) der Messpunkte von der Kurve mÅglichst klein wird:
n
y i yx i
i1
!
Minimum
n Messpunkte
Dieses Verfahren zur Berechnung der Lage der Ausgleichsgeraden heiÇt auch "lineare Regression", die Ausgleichsgerade
bezeichnet man deshalb auch als Regressionsgerade. Aus der oben aufgestellten Forderung folgt
fÉr die Steigung m und den y-Achsenabschnitt a der Regressionsgeraden:
m
n
n x i y i x i y i
i1
n
i1
n
i1
n
n x i 2 x i
i1
n
i1
2 und a i1
n
n
x 2 i
y i x i x i y i
i1
n
i1
n
i1
n
n x i 2 x i
i1
n
i1
2
Mit vielen Taschenrechnern, dem GTR (oder Mathematikprogrammen bzw. der Tabellenkalkulation Excel am
PC) lassen sich nach Eingabe der Wertepaare (x i ; y i ) die Regressionsgerade (also m und a) direkt berechnen.
Ansonsten empfiehlt sich vor der mÉhsamen Berechnung von Hand eher eine graphische LÅsung. Vor der Erfindung
des Taschenrechners war hier noch viel Rechenarbeit gefragt...

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Hinweise zur Vereinfachung (Mittelstufen-Praktika)
Der "Rahmen der Messgenauigkeit"
Oft sind bei einer Messung zwei GrÅÇen mit einander zu vergleichen oder die gemessene GrÅÇe soll einen bereits
bekannten Wert (den Literaturwert z. B.) bestÄtigen.
Beispielsweise soll der Ortsfaktor durch ein Fall-Experiment bestimmt werden. Nehmen wir an, das Ergebnis
lautet:
g = 9,71 m/s 2 Ü 0,30 m/s 2
Dann kann man sagen, dass das Ergebnis "im Rahmen der Messgenauigkeit" mit dem Literaturwert Ébereinstimmt,
denn die Unsicherheit der Messung ist so groÇ, dass der Literaturwert g = 9,81 m/s 2 innerhalb des ZuverlÄssigkeitsintervalls
liegt.
Vereinfachte Bestimmung des GrÅÇtfehlers (Fehlerfortpflanzung / einfaches Verfahren)
Folgende Aufgaben stellen sich hÄufig bei der DurchfÉhrung und Auswertung eines Experimentes:
ein Gesetz ist bereits bekannt und soll durch das Experiment bestÄtigt werden
eine ProportionalitÄt soll bestÄtigt werden, was gleichbedeutend ist mit dem Nachweis der Konstanz eines
Quotienten aus den zueinander proportionalen GrÅÇen
Zwei Seiten einer Gleichung sollen miteinander verglichen werden und auch Gleichheit geprÉft werden (z.
B. Drehmoment auf den beiden Seiten eines Hebels)
Eine GerÄte- oder Materialkonstante soll bestimmt werden und mit einem bekannten Literaturwert verglichen
werden
In all diesen FÄllen ist zu prÉfen, ob das Gesetz, die Konstanz eines Quotienten oder die ábereinstimmung
zweier Werte im Rahmen der vorhandenen Messgenauigkeit bestÄtigt werden kann oder nicht. Ist die prozentuale
(relative) Abweichung kleiner als der GrÅÇtfehler, kann die Frage "im Rahmen der Messgenauigkeit"
bestÄtigt werden, im anderen Fall nicht.
Dazu muss der relative Gesamtfehler der Messung bekannt sein. Fast immer wird nicht nur eine GrÅÇe gemessen
und diese dann mit einer anderen verglichen, sondern es wird eine zusammengesetzte GrÅÇe errechnet und
diese dann mit Vorgabewerten o. Ä. verglichen.

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Eine zusammengesetzte GrÅÇe besteht aus mehreren einzelnen GrÅÇen, die durch einen mathematischen Ausdruck
(Produkt, Quotient, Wurzelausdruck, Summe etc.) miteinander verbunden sind. Jede einzelne dieser GrÅ-
Çen ist mit einem Messfehler behaftet; je nach Aussehen der Berechnungsformel tragen die EinzelgrÅÇen und
deren Fehler in unterschiedlicher Gewichtung zum Gesamtfehler bei. Dazu muss man etwas von der Fehlerfortpflanzung
in mathematischen AusdrÉcken (Termen) verstehen. Die Berechnungen dazu sind rasch auch
recht umfangreich und unÉbersichtlich (s. o.). Um uns die Arbeit zu vereinfachen, berechnen wir den Gesamtfehler
fÉr den schlimmsten Fall des negativen Zusammenwirkens aller Fehler; ein "worst case - Szenario"
sozusagen. Dazu werden die relativen Fehler aller einzelnen zum Ausdruck beitragenden GrÅÇen bestimmt und
diese relativen (prozentualen) Fehler einfach addiert; was sich dabei ergibt, nennt man den abgeschÄtzten (Gesamt-)GrÅÇtfehler.
Hinweis: Absolutfehler verschiedener physikalischer GrÅÇen kann man nicht einfach addieren; dann mÉsst man
z. B. cm und kg (als Einheiten) addieren. Ermittelt man den (prozentualen) Relativfehler, hat man eine von der
physikalischen GrÅÇe unabhÄngige MaÇzahl fÉr den Umfang des Fehlers. Diese Prozentwerte kann man natÉrlich
problemlos addieren.
Ermittlung des (relativen) GrÅÇtfehlers einer EinzelgrÅÇe
Angenommen, es wird nur die StromstÄrke I gemessen und der dabei gemachte Messfehler soll als GrÅÇtfehler
ermittelt werden. Dann muss man den absoluten gemachten Fehler I ermitteln, diesen durch den kleinsten aller
Messwerte fÉr die StromstÄrke teilen und mit 100 % multiplizieren.
Relativer GrÅÇtfehler von I:
I
I min
100%
So verfÄhrt man bei allen physikalischen GrÅÇen fÉr den fraglichen Ausdruck. Dann addiert man alle diese Prozentwerte.
Diese GrÅÇtfehlerrechnung muss fÉr diese eine Messung nur ein einziges Mal angestellt werden und
gilt fÉr alle zugehÅrigen Messwerte. Sorgt nur ein einziger Messwert dafÉr, dass eine GesetzmÄÇigkeit nicht
mehr innerhalb des Rahmens der Messgenauigkeit (d. h. im Rahmen des Gesamt-GrÅÇtfehlers) bestÄtigt werden
kann, sollte man sich Éberlegen, ob es sich um einen "AusreiÇer" handelt, ob der Wert also vernachlÄssigt werden
soll oder ob die AbschÄtzung des GrÅÇtfehlers nicht zu konservativ war. Weichen viele (alle) Werte so
stark ab, so kann die GesetzmÄÇigkeit durch das benutzte Messverfahren zumindest nicht bestÄtigt werden oder
der vermutete Zusammenhang trifft auf die physikalische Fragestellung gar nicht zu.
Ermittlung des absoluten Messfehlers bei einer GrÅÇe
Zum Messen benutzt man ja stets ein MessgerÄt. Diese MessgerÄte sind aufgrund ihres Aufbaus und / oder ihrer
Kalibrierung ebenfalls mit einem Fehler behaftet, den man hÄufig Grundfehler oder GerÄtefehler nennt.

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Hinzu kommt dann noch ein Ablesefehler und weitere Fehler beispielsweise durch VernachlÄssigung von stÅrenden
Effekten (Reibung, Eigengewicht von SchnÉren, Federn, TrÄgheitsmoment von Rollen etc.)
WÄhrend man den absoluten Ablesefehler durch genaues Analysieren der Mess-Skala abschÄtzen kann (im
Zweifel ist der Abstand zwischen zwei Skalenteilungen die Ableseungenauigkeit), muss man den Grundfehler
im Beiblatt zum GerÄt / im Handbuch / in der technischen Anleitung etc. nachschlagen.
Analoge elektrische Messinstrumente (Drehspulinstrumente) haben die Messgenauigkeit auf der Skala als Zahl
vermerkt (1,5 bedeutet z. B. 1,5 % Fehler beim Skalen-Endwert). Digitalmessinstrumente haben meist einen
Éber alle Messwerte hinweg konstanten Fehler (bei unseren Digitalmultimetern von 1%). Hinzu kommt bei Digitalinstrumenten
stets der so genannte Digitfehler: die letzte Ziffer muss ja stets auf einen vollen Wert gerundet
werden, bevor sie angezeigt wird. Sie ist daher stets um eine Ziffer ungenau. Wenn also bei einem DMM eine
StromstÄrke von 0,348 mA gemessen wird, ist der Digitfehler 0,001 mA. Der Relativfehler ist dann
0,001 mA
100%
0,348 mA .
Meist wurde ja nicht nur ein StromstÄrkewert gemessen, sondern mehrere; den relativen GrÅÇt-Digitfehler wÉrde
man daher aus dem Digitfehler und dem kleinsten der gemessenen StromstÄrkewerte ermitteln; falls dieser z.
B. 0,023 mA ist, wÄre der relative GrÅÇtfehler fÉr den Digitfehler:
0,001 mA
0,023 mA 100%
WiderstÄnde, deren Wert man kennt, weil er aufgedruckt ist oder sich durch den Farbcode ergibt, sind natÉrlich
auch fehlerbehaftet. Meist verwenden wir KohleschichtwiderstÄnde mit einem Fehler von 5%. Bei Elektrolytkondensatoren
sind Fehler von 10% und mehr Éblich. Man informiere sich bei Experimenten stets Éber GerÄte-
/ Grundfehler der benutzten Messmittel!
Will man alle Fehler berÉcksichtigen, so ergibt sich der relative Gesamt-GrÅÇtfehler eines Formelausdrucks aus
den relativen GrÅÇtfehler jeder GrÅÇe, wobei diese relativen Einzelfehler sich noch aus einem Grundfehler und
einem Ablesefehler zusammensetzen kÅnnen.