Fehlerrechnung - Gymnasium Gerlingen

Robert-Bosch-Gymnasium
Physik (2-/4-stÉndig), NGO
Praktikum
Fehlerrechnung
Skript zur Fehlerrechnung beim Praktikum
A. PfÄnder
3.2.2011
Seite - 12 -
Die Messwerte bzw. ihre graphischen Manifestationen streuen um die sich vermutlich ergebende Gerade. Bei
der Konstruktion geht man natÉrlich gerade umgekehrt vor: man trÄgt die Messwerte in das Schaubild ein und
legt dann eine sog. Ausgleichsgerade so durch die Messwerte, dass deren Entfernung von der Geraden mÅglichst
gering sind und sich "AusreiÇer" nach oben und unter mÅglichst in ihren Entfernungen zur Geraden kompensieren.
Diese Ausgleichsgerade lÄsst sich in ihrem Verlauf nicht nur graphisch "schÄtzen", sondern nach dem GauÇschen
Verfahren der kleinsten Quadrate auch berechnen. Nach diesem Vorgehen muss die Gerade so liegen,
dass die Summe der Quadrate der AbstÄnde (y i - y(x i )) der Messpunkte von der Kurve mÅglichst klein wird:
n
y i yx i
i1
!
Minimum
n Messpunkte
Dieses Verfahren zur Berechnung der Lage der Ausgleichsgeraden heiÇt auch "lineare Regression", die Ausgleichsgerade
bezeichnet man deshalb auch als Regressionsgerade. Aus der oben aufgestellten Forderung folgt
fÉr die Steigung m und den y-Achsenabschnitt a der Regressionsgeraden:
m
n
n x i y i x i y i
i1
n
i1
n
i1
n
n x i 2 x i
i1
n
i1
2 und a i1
n
n
x 2 i
y i x i x i y i
i1
n
i1
n
i1
n
n x i 2 x i
i1
n
i1
2
Mit vielen Taschenrechnern, dem GTR (oder Mathematikprogrammen bzw. der Tabellenkalkulation Excel am
PC) lassen sich nach Eingabe der Wertepaare (x i ; y i ) die Regressionsgerade (also m und a) direkt berechnen.
Ansonsten empfiehlt sich vor der mÉhsamen Berechnung von Hand eher eine graphische LÅsung. Vor der Erfindung
des Taschenrechners war hier noch viel Rechenarbeit gefragt...